第三章布尔代数与逻辑函数化简

第三章布尔代数与逻辑函数化简3.1基本公式和规则3.2逻辑函数的代数法化简3.3卡诺图化简3.1基本公式和规则3.1.1基本公式表3－1基本公式表3－2证明分配律的真值表A+BC=(A+B)(A+C)其它公式的证明__)1(_=+=BBA)(+=+BBABAAB因为)1())((__=++=++=+-AABABAAABAA因为其它公式的证明)1()(=+=+=+B1AB1AABA因为CAABBCACABBCAABCCAABAABCCAABBCCAAB_______)1()1()(+=+++=+++=+++=++3.1.2基本法则1、代入法则逻辑等式中的任何变量A，都可用另一函数Z代替，等式仍然成立。

例1证明证明等式两边的B用B+C代入便得到这样就得到三变量的摩根定律。同理可将摩根定律推广到n变量_______________CBACBA..=++___________BABA.=+_______________________CBACBACBA..=+.=++nnnnAAAAAAAAAAAA_2__1____________________21_2__1____________________21...++=.........=+...++2.对偶法则

对于任何一个逻辑表达式F，如果将其中的“+”换成“·”，“·”换成“+”，“１”换成“0”，“0”换成“1”，并保持原先的逻辑优先级、变量不变，两变量以上的非号不动，则可得原函数F的对偶式G。根据对偶法则知原式F成立，则其对偶式也一定G成立。其对偶式为CAAB_+)()(_CABA+.+3.反演法则

由原函数求反函数，称为反演或求反。多次应用摩根定律，可以求出一个函数的反函数。

例2求的反函数解用摩根定律求__EDCBAF++++=EDCBAEDCBAEDCBAEDCBAF....=+...=+++.=++++=_____________F3.1.3基本公式应用1.证明等式例3用公式证明解ABBABABA+=+____))((__BABA++=ABBABABA.=+_________BAABBBBAABAA+=+++=2.逻辑函数不同形式的转换

逻辑函数的表达形式通常可分为五种：与或表达式、与非-与非表达式、与或非表达式、或与表达式、或非-或非表达式。不同的表达式之间可以相互转换。例4将函数与或表达式转换为其它形式。解(1)与非-与非式

(2)与或非式(３)或与式(4)或非-或非式CABACAABF+=+=CAABF_+=CAABCAABF__.=+=___CABAF+=))((_______CABACABACABAF++==+=CABACABAF+++=++=__))((多余项定律&B&AC&AF&AB&C≥1AFA&BCAF≥1ABCA&F≥1≥1BAAC≥1≥1≥1与或CAABFa_)(+=与非CAABFb____)(.=与或非___)(CABAFc+=或与))(()(_CABAFd++=或非_________)(CABAFe+++=3.2逻辑函数的代数法化简3.2.1逻辑函数与逻辑图图3–2函数的逻辑图&AB&≥1F11__BAAB+BCBBACBACABF++++=___CBA_+A≥1&&&&&BCABCABCABBCBFF=AC+B&AC≥1FB图3–4函数化简后的逻辑图图3–3原函数逻辑图3.2.2逻辑函数化简的原则

逻辑函数化简，通常遵循以下几条原则：

(1)逻辑电路所用的门最少；(2)各个门的输入端要少；(3)逻辑电路所用的级数要少；(4)逻辑电路能可靠地工作。3.2.3与或逻辑函数的化简1.应用吸收定律1例5解例6解所以)(_ABAAB=+DA+=原式DCBACDABF__+++=,_____________DCBADCBACDBADCBADCBAF++++=_______________________________CBADCBADCBADBADCBADCBADCADCBADCBADCBDCBADCBA=+=+=+=+_________CBADBADCADCBF+++=2.应用吸收定律2、3例8解例9解令ABABB+=+=__原式)(_BABAAAABA+=+=+CDBABABABACDBAABBABA)()(________+++=+++=原式则,__GBABA=+3.应用多余项定律例10化简解例11化简解DCBACABDCBACABDABCBACDBACBAC++=+++=+++=+++=_________)(原式DCACABBDDCACAB____+=++=原式)(__CAABBCCAAB+=++4.综合例子例12化简解EGBBDCADEGHEGBBDCADEGHEGBBDCAADEGHEGBACEGBDCAABA______+++=++++=++++=++++++=原式)(多余项定律5.拆项法例13化简此例就是用和分别去乘第三项和第四项，然后再进行化简。_________________)()(CBCABACBABCACBACBACBBACCBAAACBCBBA++=+++++=+++++=原式直接用公式已无法再化简时，可采用拆项法。拆项法就是用去乘某一项，将一项拆成两项，再利用公式与别的项合并达到化简的目的。)(_xx+)(_CC+)(_AA+6.添项法

在函数中加入零项因子，利用加进的新项，进一步化简函数。例14化简

解)(__.....ABfxxxx或____________________________________________________)(ABCABABCABCABABABCCABABABABCCABABAB=+=.++=.++=原式3.3卡诺图化简3.3.1卡诺图化简的基本原理例15解BCABCBABA+=++=____原式________________CBAABCBCACBACBAF++++=__BCA+1.最小项标准式定义

最小项：对于一个给定变量数目的逻辑函数，所有变量参加相“与”的项叫做最小项。在一个最小项中，每个变量只能以原变量或反变量出现一次。例如,一个变量A有二个最小项：二个变量AB有四个最小项：

3.3.2逻辑函数的标准式——最小项

以此类推，四个变量ABCD共有24=16个最小项，n变量共有2n个最小项。。_1,)2(AA。ABBABABA,,,)2(____22.由一般式获得最小项标准式(1)代数法：对逻辑函数的一般式采用添项法。由上式可看出，第二项缺少变量A，第三项缺少变量B，我们可以分别用和乘第二项和第三项，其逻辑功能不变。例如)(_AA+)(_BB+(2)真值表法。将原逻辑函数A、B、C取不同值组合起来，得其真值表，而该逻辑函数是将F=1那些输入变量相或而成的，如表3-3所示。表3–3某逻辑函数的真值表从真值表上得到表3–4三变量最小项的编号3.最小项的性质(1)对任何变量的函数式，全部最小项之和为1，即(2)两个不同最小项之积为0，即(3)n变量有项最小项，且对每一最小项而言，有n个最小项与之相邻。å-==1201niim0=.jimm)(ji¹n23.3.3卡诺图的结构卡诺图的结构特点是需保证逻辑函数的逻辑相邻关系，即图上的几何相邻关系，因此卡诺图的变量标注均采用循环码。一变量卡诺图：有=2个最小项，因此有两个方格。0表示取A的反变量，1表示取A的原变量。二变量、三变量、四变量、五变量卡诺图分别有4、8、16和32个最小项，卡诺图如下图所示。12图3–51－5变量的卡诺图3.3.4逻辑函数的卡诺图表示法若将逻辑函数式化成最小项表达式，则可在相应变量的卡诺图中，表示出这函数。如

，

在卡诺图相应的方格中填上1，其余填0。0ABC000111100110100111567____mmmmCBACBACABABCF+++=+++=例将用卡诺图表示。解：在B=1,C=0对应的方格(不管A，D取值)，得m4、m5、m12、m13，在对应位置填1；：在C=1,D=0所对应的方格中填1，即m2、m6、m10、m14；：在B=0，C=D=1对应方格中填1，即m3、m11；：在A=C=0,D=1对应方格中填1，即m1、m5；

ABCD

：在A=B=C=D=1对应方格中填1，即m15。_CB_DCCDB_DCA__图3–7逻辑函数直接用卡诺图表示CCBBAADD111111111111ABCD00011110000111103.3.5相邻最小项合并规律

(1)两相邻项可合并为一项，消去一个取值不同的变量，保留相同变量；(2)四相邻项可合并为一项，消去两个取值不同的变量，保留相同变量，标注为1→原变量，0→反变量；(3)八相邻项可合并为一项，消去三个取值不同的变量，保留相同变量，标注与变量关系同上。图3–8相邻最小项合并规律1111ABCD0001111000011110ABDACD(a)11111111ABCD0001111000011110BDCD(b)11111111ABCD0001111000011110BDBD(c)11111111ABCD0001111000011110B(d)3.3.6与或逻辑化简运用最小项标准式，在卡诺图上进行逻辑函数化简，得到的基本形式是与或逻辑。其步骤如下：(1)将原始函数用卡诺图表示；(2)根据最小项合并规律画卡诺圈，圈住全部“１”方格；(3)将上述全部卡诺圈的结果，“或”起来即得化简后的新函数；(4)由逻辑门电路，组成逻辑电路图。例22化简解第一步：用卡诺图表示该逻辑函数。：对应m3、m11对应m4、m5、m12、m13对应m1、m5对应m10、m11图3-9例22函数的卡诺图表示11111111ABCD0001111000011110第二步：画卡诺圈圈住全部“１”方格。图3－10化简过程11111111ABCD0001111000011110ABDABCBC第三步：组成新函数。每一个卡诺圈对应一个与项，然后再将各与项“或”起来得新函数,故化简结果为

第四步：画出逻辑电路。&AB&≥1F&BCCABD图3－11例22化简后的逻辑图DBACBACBF____++=例23化简解在卡诺圈有多种圈法时，要注意如何使卡诺圈数目最少，同时又要尽可能地使卡诺圈大。逻辑图如图3-13所示。其化简函数为(a)111111111ABCD0001111000011110ABCBDABCABDACD(b)111111111ABCD0001111000011110ABCBDACDABC图3–12例23化简过程______DCABDCABCBAF+++=图3–13例23逻辑图&AB&≥1F&ACCBD&ACDB例24化简图3–14例24的化简过程1111111111ABCD0001111000011110ACDABCDBCABACDBCD(b)(c)1111111111ABCD0001111000011110ACDABCDBDBCACDAB例26化简图3–15例26化简过程及逻辑图&AC&≥1F&ACDAC&ACDBB11111111ABCD0001111000011110ABCABCACDACD(b)11111111ABCD0001111000011110(a)(c)3.3.7其它逻辑形式的化简1.与非逻辑形式与非式就是全由与非门实现该逻辑，将与或式两次求反即得与非式。其化简步骤如下：第一步：在卡诺图上圈“１”方格，求得最简与或式；第二步：将最简与或式两次求反，用求反律展开一次，得到与非表示式；第三步：根据与非式，用与非门组成逻辑电路。例27将例22-26用与非门实现。解例22与或结果为图3–16例22用与非门实现&AB&F&BCCABD&(例23)___________________DCADBCABCBADCABDCABCBADCABDCABCBAF...=+++=+++=AFACCBDADBBC&&&&&(a)图3–17例23用与非门实现(例24)________________________DBBACBDCADCACDBADBBACBDCADCACDBADBBACBDCADCACDBAF.....=+++++=+++++=AFADDBCBDCACBCDBA&&&&&&&(b)图3–18例24用与非门实现2.或与逻辑形式

首先从卡诺图上求其反函数，其方法是圈“０”方格，然后再用摩根定律取反即得或与式。例28求的反函数和或与式。1111011001100010ABCD0001111000011110ACDBCBD图3–19例28的反函数解求反函数过程如图3-19所示。再由反函数求得原函数，利用摩根定律就得或与式。总结如下：

在卡诺图上圈“0”方格，其化简结果：变量为0→原变量；变量为1→反变量，然后变量再相“或”起来，就得每一或项，最后再将每一或项“与”起来而得或与式。故此例可不通过求反函数，直接由上述过程得到或与式(如图3-20所示)：图3–20从卡诺图上直接圈得或与式1111011001100010ABCD0001111000011110A+C+DB+CB+DBFBDCACD≥1&≥1≥1图3–21或与逻辑图3.或非逻辑形式

将或与逻辑两次求反即得或非表示式：图3–22例28的或与逻辑图BFBDCACD≥1≥1≥1≥1DCACBDBDCACBDBF++++++=++++==______))()((