第2讲逻辑代数1

脉冲数字电路

电子技术基础（3）第二讲逻辑代数2009年9月11日2009－09－111中国科学技术大学快电子刘树彬

第一章数字逻辑概论1.1数字电路与数字信号1.2数制1.3二进制数的算术运算1.4二进制代码1.5二值逻辑变量与基本逻辑运算1.6逻辑函数及其表示方法2009－09－112中国科学技术大学快电子刘树彬

几种常用的计数体制十进制(Decimal)二进制(Binary)十六进制(Hexadecimal)与八进制（Octal）

(an-1an-2…a1a0.a-1a-2…a-m)rN=an-1×rn-1+…+a0×r0+a-1×r-1+…+a-m×r–m

缩写方式：

权值2009－09－113中国科学技术大学快电子刘树彬

十进制（Decimal）以10为基数的计数体制基数：10位权：10i，i=……-3,-2,-1,0,1,2,3,……数码：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9表达式式中Ki为基数10的第i次幂的系数，即数码位权数码2009－09－114中国科学技术大学快电子刘树彬

MSBLSB二进制（Binary）以2为基数的计数体制基数：2位权：2i，i=……-3,-2,-1,0,1,2,3,……数码：0,1表达式式中Ki为基数2的第i次幂的系数，即数码位权数码MSB：MostSignificantBitLSB：LeastSignificantBit2009－09－115中国科学技术大学快电子刘树彬

二进制数的波形表示数字电子技术和计算机应用中，二值数据常用数字波形表示2009－09－116中国科学技术大学快电子刘树彬

二进制数据的传输串行传输一根数据信号导线和共同接地端，所需设备简单传输1位数据需要1个（或几个）时钟周期未来高速数据传输的趋势并行传输多根数据信号导线和其他部件，设备复杂在同样时钟下，传输速度比串行快几倍不适合高速远距离数据传输2009－09－117中国科学技术大学快电子刘树彬

二进制（Binary）选择二进制的原因：两个状态的材料最容易获得基本运算规则简单，运算操作方便十－二进制的转换二进制→十进制：每一位二进制数乘以位权，然后相加十进制→二进制：整数部分：除2取余小数部分：乘2取整2009－09－118中国科学技术大学快电子刘树彬

例:

二进制数10011.101转换成十进制数各二进制数码乘以位权，然后整数,小数分别相加

(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3＝16+0+0+2+1+0.5+0+0.125＝（19.625)D二进制数转换为十进制数例:二进制数（01010110）转换为十进制数

各二进制数码乘以位权，然后相加2009－09－119中国科学技术大学快电子刘树彬

十──二进制转换（整数部分）

“除2取余”，直到商为0：除2：除2：则（23)D=（10111)B例：将十进制数23转换成二进制数2009－09－1110转换的另一种方法则（133)D=（10000101)B

对于较大的数，不必逐次除2例：将十进制数133转换成二进制数133―1285―4―11

02009－09－1111中国科学技术大学快电子刘树彬

十──二进制转换（小数部分）

方法：“乘2取整”乘2：乘2：将十进制小数反复乘2，取各次乘2后的整数（个位数）为二进制小数相应位的数码，第一次乘2后的整数为最高位，依次类推，得到转换后的二进制小数每次乘2时，要先舍去上次乘2所得积中的整数，只用小数继续乘22009－09－1112中国科学技术大学快电子刘树彬

例：将十进制数（0.706）转化为二进制数，误差要小于求二进制数表达式中的各系数Ki则（0.706)D=（0.101101001)B读取顺序此时，小数0.472<0.5,即b-10=0，符合题中误差要求，可以不再继续转换2009－09－1113中国科学技术大学快电子刘树彬

十六进制和八进制十六进制以16为基数的计数体制16个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六-二进制之间转换八进制以8为基数的计数体制八-二进制之间转换2009－09－1114中国科学技术大学快电子刘树彬

第一章数字逻辑概论1.1数字电路与数字信号1.2数制1.3二进制数的算术运算1.4二进制代码1.5二值逻辑变量与基本逻辑运算1.6逻辑函数及其表示方法2009－09－1115中国科学技术大学快电子刘树彬

二进制的算术运算数字电路中，0和1表示数量时，两个二进制数可进行算数运算无符号二进制数的算术运算二进制加法二进制减法乘法和除法带符号二进制数的减法运算二进制的补码二进制补码的减法运算溢出和溢出的判别2009－09－1116中国科学技术大学快电子刘树彬

第一章数字逻辑概论1.1数字电路与数字信号1.2数制1.3二进制数的算术运算1.4二进制代码1.5二值逻辑变量与基本逻辑运算1.6逻辑函数及其表示方法2009－09－1117中国科学技术大学快电子刘树彬

二进制码数字信息：数值和文字符号编码：建立代码与十进制数值、字母、符号的一一对应的关系十进制数码的二进制编码——BCD码8421BCD码、2421码、余3码……格雷码ASCII码模拟世界A/D数字世界D/A编码处理存储处理18几种常见的BCD码Binary-Coded-Decimal2009－09－1119中国科学技术大学快电子刘树彬

格雷码只有1位变化3位产生变化2009－09－1120中国科学技术大学快电子刘树彬

ASCII编码世界上使用最广泛的符号编码7-bitASCII编码第8位经常用来检错（校验位）例子：Digital的ASCII表示字母 二进制编码 十六进制编码D 1000100 44i 1101001 69g 1100111 67i 1101001 69t 1110100 74a 1100001 61l 1101100 6C2009－09－1121中国科学技术大学快电子刘树彬

第一章数字逻辑概论1.1数字电路与数字信号1.2数制1.3二进制数的算术运算1.4二进制代码1.5二值逻辑变量与基本逻辑运算1.6逻辑函数及其表示方法2009－09－1122中国科学技术大学快电子刘树彬

逻辑代数是按一定的逻辑规律进行运算的代数，或者说，是用代数的形式来研究逻辑问题的一种数学工具逻辑代数的基本思想是由英国数学家乔治·布尔（GeorgeBoole）于1854年提出的。它是研究开关理论及分析、设计数字电路的数学基础和工具。

“AnInvestigationoftheLawsofThought,onWhichAreFoundedtheMathematicalTheoriesofLogicandProbabilities”

1916-20011815-18641938年，克劳德·仙农（ClaudeE·Shannon）将其用于开关和继电器的设计。因此，逻辑代数又被称为开关代数。

“AMathematicalTheoryofCommunication”，1948逻辑代数（布尔代数）2009－09－1123中国科学技术大学快电子刘树彬

逻辑代数（布尔代数）只有0和1两个值，无中间值，不代表大小基本逻辑运算：与、或、非0和1元素的性质OR AND Complement

a+0=a

a·0=0 =1

a+1=1 a·1=a =0二进制加法运算

0+0=00+1=11+0=11+1=10二进制乘法运算

00=001=010=011=1布尔代数或运算

0+0=00+1=11+0=11+1=1布尔代数与运算

00=001=010=011=12009－09－1124中国科学技术大学快电子刘树彬

与逻辑举例：设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮。则得真值表：

与运算——只有当决定一件事情的几个条件全部具备之后，这件事情才会发生。这种因果关系称为与逻辑。若用逻辑表达式来描述，则可写为与运算其它符号：and,&,∧，∩25或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。这种因果关系称为或逻辑。

或逻辑举例：

若用逻辑表达式来描述，则可写为：

L＝A+B

或运算其它符号：or,#,∨,∪2009－09－1126中国科学技术大学快电子刘树彬

非运算非运算——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。非逻辑举例：

若用逻辑表达式来描述，则可写为：

非运算非逻辑举例：

若用逻辑表达式来描述，则可写为：

2009－09－1128其他常用逻辑运算与非：由与运算和非运算组合而成或非：由或运算和非运算组合而成2009－09－1129其他常用逻辑运算异或：当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1同或：当两个变量取值相同时，逻辑函数值为1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0L=A·B+A·BL=A·B+A·B2009－09－1130国际符号与国标符号的对比2009－09－1131中国科学技术大学快电子刘树彬

第一章数字逻辑概论1.1数字电路与数字信号1.2数制1.3二进制数的算术运算1.4二进制代码1.5二值逻辑变量与基本逻辑运算1.6逻辑函数及其表示方法2009－09－1132中国科学技术大学快电子刘树彬

逻辑函数的表示方法逻辑函数：描述输入变量和输出变量之间的因果关系五种表示方法逻辑真值表（简称真值表）用0和1分别代表不同输入量的状态，列表表示输入与输出之间关系的表格逻辑函数表达式（或称逻辑函数式，简称逻辑式或函数式）把逻辑函数的输入与输出的关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式逻辑图将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等关系用相应的逻辑符号表示出来波形图输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图，表示电路逻辑关系卡诺图下次讲解2009－09－1133中国科学技术大学快电子刘树彬

从工程实际出发：提出逻辑命题

逻辑语言用真值表描述

真值表导出逻辑函数

逻辑函数怎样对实际的工程问题进行描述？2009－09－1134中国科学技术大学快电子刘树彬

楼梯照明控制电路L=AB+AB逻辑命题利用两个单刀双掷开关A,B控制楼梯电灯逻辑变量A,B─“1”：开关向上；“0”：开关向下；L─A,B的函数开关A、B均扳向上或均向下，灯亮，逻辑1；否则灯灭，逻辑0真值表2009－09－1135中国科学技术大学快电子刘树彬

逻辑函数表示方法之间的相互转换真值表→逻辑表达式真值表中每一组使函数值为1的输入变量取值都对应一个乘积项在这些乘积项中，若对应的变量取值为1，则写成原变量；若对应的变量取值为0，则写成反变量将这些乘积项相加，就得到了逻辑表达式称为：“与─或”表达式，或者为：“积之和”表达式表达式→逻辑图L=AB+AB2009－09－1136逻辑函数表示方法之间的相互转换将L=0对应的输入变量以逻辑“或”的形式表示用原变量表示变量取值0，反变量表示变量取值1再将所有L=0的逻辑“或”的项进行逻辑“与”，因而有：称为：“或─与”表达式，或者为：“和之积”表达式2009－09－1137中国科学技术大学快电子刘树彬

波形图表示方法L=AB+AB2009－09－1138中国科学技术大学快电子刘树彬

第二章逻辑代数2.1逻辑代数逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本规则逻辑函数的代数化简法2.2逻辑函数的卡诺图化简法最小项的定义及其性质逻辑函数的最小项表达式用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数2009－09－1139中国科学技术大学快电子刘树彬

逻辑函数表达式的书写及基本运算法则先做括号内的逻辑运算对某变量取“非”，可以不加括号

例如：不必写成：在表达式中，若即有“与”运算，又有“或”运算，则按先“与”后“或”的原则，省去括号 例如：可写成：但则不能省括号

2009－09－1140中国科学技术大学快电子刘树彬

逻辑代数的基本定律和恒等式基本定律——加A+0=AA+1=1A+A=A（重叠律）A+A=1（互补律）基本定律——乘A∙0=0A

∙1=AA

∙A=A（重叠律）A

∙A=0（互补律）结合律(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)交换律A+B=B+AAB=BA分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)基本定律——非A=A（还原律）41逻辑代数的基本定律和恒等式反演律（摩根定理）A∙B

∙C

∙

∙

∙＝A+B+C+

∙

∙

∙A+B+C+

∙

∙

∙=A

∙B

∙C

∙

∙

∙吸收率A+AB=AA+AB=A+BA(A+B)=A(A+B)(A+C)=A+BC其他常用恒等式AB+AC+BC=AB+ACAB+AC+BCD=AB+AC（两乘积项相加时，若一项取反后是另一项的因子，则此因子多余，可消去）（若两个乘积项中分别包含了A、A两个因子，而这两项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项可消去）逻辑代数无移项规则等初等代数运算规则！2009－09－1142中国科学技术大学快电子刘树彬

逻辑代数基本定律和恒等式的证明真值表例：摩根定理的证明2009－09－1143中国科学技术大学快电子刘树彬

用其他更基本的定律证明吸收率：A+AB=A(1+B)=A·1＝AA+AB=(A+A)(A+B)——分配率A+BC=(A+B)(A+C) =A+B恒等式：AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC逻辑代数基本定律和恒等式的证明2009－09－1144中国科学技术大学快电子刘树彬

逻辑代数的基本规则代入规则在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的某变量都用一个函数代替，则等式依然成立反演规则将逻辑函数L中的与换成或，或换成与；再将原变量变换为非变量；并将1换成0，0换成1；那么所得的逻辑函数式就是非函数L对偶规则把L中的与换成或，或换成与，1换成0，0换成1，那么就得到L的对偶式L’当某个逻辑恒等式成立时，则其对偶式也成立2009－09－1145中国科学技术大学快电子刘树彬

逻辑代数的基本规则——代入规则任意变量A仅有0和1两种可能的状态，无论0和1代入