函数的连续性与间断点

第三章函数的连续性

引言：客观世界的许多现象都是连续变化的，比如,时间的变化是连续的。所谓连续就是不间断，但是在数学上要用数学的语言来描述着这种现象。一、函数连续性的概念二、函数的间断点及其分类三、连续函数求极限的简便法则

§3-1函数的连续性与间断点学习目标§3-1函数的连续性与间断点1．理解函数在一点连续与间断的概念,掌握判断分段函数在一点连续的方法；2．会求函数的间断点；3．了解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。§3-1函数的连续性与间断点1.自变量与函数的增量设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量从初点x1变化到终点x2时，终点与初点的差称为自变量的改变量或增量，记为∆x=x2-x1显然有x2

=x1+∆x对应的函数值从从初值y1=f(x1)变化到终值y2=f(x2)=f(x1+∆x),其差称为函数的改变量或增量，记为∆y=y2-y1或∆y=f(x1+∆x)-f(x1)§3-1函数的连续性与间断点1.自变量与函数的增量自变量的改变量或增量，记为∆x=x2-x1

函数的改变量或增量，记为∆y=y2-y1或∆y=f(x1+∆x)-f(x1)∆x、∆y可正可负例

设f(x)=2x+1，分别求Δx和Δy.

（1）x由2变到2.1,（2）x由2变到1.8,解:（1）Δx=2.1-2=0.1Δy=f(2.1)-f(2)=

(2×2.1+1)-(2×2+1)=5.2-5=0.2（2）Δx=1.8-2=-0.2Δy=f(1.8)－f(2)=(2×1.8+1)-(2×2+1)=4.6-5=-0.4一、函数连续性的概念§3-1函数的连续性与间断点§3-1函数的连续性与间断点2.函数的点连续的概念一、函数连续性的概念函数的点连续的形象描述：观察函数f(x)=x+1与在点x0=1处的连续性。xyo1-112y=f(x)xyo1-112y=g(x)函数f(x)图象在点x0=1处连续，是一条连续的曲线；函数g(x)图象在点x0=1处断开了。§3-1函数的连续性与间断点2.函数的点连续的概念一、函数连续性的概念定义1设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当x→x0时f(x)的极限存在，并且等于该点处的函数值f(x0)，即,则称函数y=f(x)在点x0处连续，称x0为函数f(x)的连续点。由定义可知，函数f(x)在点x0处连续，

x0必属于函数f(x)的定义域。§2-7无穷小量的比较例如：讨论函数

，在

处的连续性.

函数

在

处连续∴§3-1函数的连续性与间断点2.函数的点连续的概念一、函数连续性的概念§3-1函数的连续性与间断点2.函数的点连续的概念一、函数连续性的概念引入增量记号，定义1中的x→x0和f(x)→f(x0)，可以改写为∆x=x-x0→0，∆y=f(x0+∆x)-f(x0)→0。

定义2设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当∆x=x-x0→0，∆y=f(x0+∆x)-f(x0)→0，即,则称函数y=f(x)在点x0处连续。定义2反映了函数连续性的本质特征：自变量变化很小时，函数值变化也很小。

函数y=f(x)在点x0连续的几何解释显然△y

不趋于0

连续的几何解释:自变量的改变量△x→0时,函数的改变量△y→0§3-1函数的连续性与间断点2.函数的点连续的概念函数在点x0

连续的定义此定义主要用于证明函数的连续性

利用此定义可证明:基本初等函数在定义域内的连续性。§3-1函数的连续性与间断点§3-1函数的连续性与间断点2.函数的点连续的概念一、函数连续性的概念函数

在处连续例如：讨论函数

，在

处的连续性.

§3-1函数的连续性与间断点3.左连续和右连续定义4设函数f(x)在点(a，x0]内有定义,当x→x0-时的左极限存在，且等于函数值f(x0)，即,则称函数y=f(x)在点x0处左连续。

设函数f(x)在点[x0，b)内有定义,当x→x0+时的左极限存在，且等于函数值f(x0)，即,则称函数y=f(x)在点x0处右连续。函数f(x)在点x0处连续的充要条件是f(x0-0）=f(x0+0）=f(x0)

在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.§3-1函数的连续性与间断点4.函数f(x)的区间连续性一、函数连续性的概念初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★§3-1函数的连续性与间断点定理1基本初等函数在定义域内是连续的.定理2一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.§3-1函数的连续性与间断点4.函数f(x)的区间连续性一、函数连续性的概念1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;注意1.在分段区间上定连续。2.分段点连续性需利用定义去判断。步骤：1、求函数值f(x0)=?2、求极限值？3、判断：？5.分段函数的连续性一、函数连续性的概念§3-1函数的连续性与间断点2.求极限值1.求函数值3.判断：

分段点两边函数表达式不同需分左右极限§3-1函数的连续性与间断点例2证§3-1函数的连续性与间断点§3-1函数的连续性与间断点一、函数连续性的概念例3解分段函数的定义可知，f(0)=0§3-1函数的连续性与间断点一、函数连续性的概念练习左连续但不右连续,解分段函数的定义可知，f(2)=22=4例4§3-1函数的连续性与间断点一、函数连续性的概念解分段函数的定义域为（-∞，+∞）在函数的分段点x=0处，函数的左右极限分别为：所以函数f(x)在点x=0处不连续例5在x=1处连续，求a、b的值∴a=-1b=2解分段函数的定义可知，f(1)=1§3-1函数的连续性与间断点课堂小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数;由连续的定义可知，

函数

在点

必须满足三个条件：函数在点

处有定义存在连续以上三个条件只要有一个不满足，则函数在点x0处不连续（或间断）。课本：P113-114习题3-1（A）1,2,4课后作业定义1设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当x→x0时f(x)的极限存在，并且等于该点处的函数值f(x0)，即,则称函数y=f(x)在点x0处连续，称x0为函数f(x)的连续点。二、函数间断点及其分类此定义常用于判断分段函数分段点的连续性函数的点连续的概念§3-1函数的连续性与间断点由连续的定义可知，

函数

在点

必须满足三个条件：函数在点

处有定义存在连续以上三个条件只要有一个不满足，则函数在点x0处不连续（或间断）。二、函数间断点及其分类无定义的点有情况之一为间断点§3-1函数的连续性与间断点（1）讨论函数在点处的连续性（2）讨论函数在点处的连续性无穷间断点可去间断点二、函数间断点及其分类§3-1函数的连续性与间断点函数在点处左右极限都存在的间断点第一类间断点左右极限存在且相等

可去间断点左右极限存在不相等

跳跃间断点§3-1函数的连续性与间断点二、函数间断点及其分类函数f(x)在点x0

处,左右极限至少有一个不存在的间断点第二类间断点无穷间断点震荡间断点§3-1函数的连续性与间断点二、函数间断点及其分类1.跳跃间断点例1解§3-1函数的连续性与间断点例2研究取整函数f(x)=[x]在点x=2处的连续性.§3-1函数的连续性与间断点解：因为当1≤x<2时，f(x)=[x]=1；当2≤x<3时，f(x)=[x]=2；

易知f(2)=[2]=2f(2+0)=2=f(2);f(2-0)=1≠f(2)在点x=2处的是右连续，但不是左连续.所以取整函数在点x=2处不连续，但不是左连续.2.可去间断点例3§3-1函数的连续性与间断点解例3§3-1函数的连续性与间断点如例3中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数