第2章控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型控制工程是一门研究“控制论”在工程中应用的科学。

控制器被控对象输入量r输出量y扰动量n检测元件偏差e反馈量b数学模型生物系统工程系统经济系统社会系统第二章控制系统的数学模型

建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，这是控制工程的基本方法。数学模型是描述物理系统的数学表达式。建立数学模型的基本方法：1.机理分析法

：通过分析系统的内部运动规律，求解系统输入量与输出量之间的数学关系。2.系统辨识法

：利用实验数据建立系统输入量与输出量之间的数学关系。第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型§2-3传递函数及基本环节的传递函数§2-5信号流图及梅逊公式§2-2拉氏变换及反变换§2-1控制系统的微分方程及线性化方程§2-4框图及其简化第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程微分方程是根据系统的动力学特性列写出来的反映其动态特性的基本方程，这些方程通常需要用微分式表达，所以称为微分方程。连续系统工程物理系统离散系统传递函数状态空间表达式差分方程脉冲传递函数微分方程第二章控制系统的数学模型一、机械系统的微分方程§2-1控制系统的微分方程及线性化方程

牛顿第二定律：一物体的加速度，与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，而且加速度与合外力同方向(作用在物体上的合外力与该物体的惯性力构成平衡力系)。用公式可表示为式中——作用在物体上的合外力；

——物体的加速度；

——物体的质量；

——物体的惯性力。(2-1)第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程如图2-1a所示的机械平移系统，可应用牛顿第二定律，得出微分方程式(2-2)

(2-2)图2-1b为回转运动的机械系统，相应的运动微分方程为(2-3)图2-1机械系统a)平移系统b)回转系统第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程例2-1机械系统加速度计工作原理如图2-2所示，它用于测量某一运动物体(如车辆、飞机)的加速度。测量时，加速度计的框架固定在待测的运动体上，当运动体作加速运动时，该框架随之作同样的加速运动。图2-2a加速度计第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程例2-2设有如图2-3a所示的齿轮传动链，由电动机M输入的扭矩为，为输出端负载，为负载扭矩。图中所示的为各齿轮齿数，、、及、、分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角。图2-3齿轮传动链a)原始轮系b)等效轮系第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程(2-4)根据式(2-3)可得如下动力学方程组式中——传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；齿轮对的反转矩；——对的反转矩；对的反转矩；对的反转矩；输出端负载对的反转矩，即负载转矩。————————第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程由齿轮传动的基本关系可知于是由式(2-4)可得令称为等效转动惯量；令称为等效阻尼系数；

令称为等效输出转矩。

第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程将上式改为则图2-3a所示的传动装置可简化为图2-3b所示的等效齿轮传动第二章控制系统的数学模型二、电气系统的微分方程§2-1控制系统的微分方程及线性化方程电气系统的微分方程根据欧姆定律、基尔霍夫定律、电磁感应定律等基本物理规律列写。例2-3无源电路网络

图2-4无缘网络如图2-4所示的系统中，为输入电压，为输出电压。根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有

第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程由式(2-6)得(2-9)由式(2-7)得将式(2-9)代入，得(2-10)由式(2-8)得(2-11)将式(2-9)、式(2-10)、式(2-11)代入式(2-5)，得即第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程例2-4有源电路网络

图2-5有缘网络如图2-5所示系统中，为输入电压，为输出电压，为运算放大器开环放大倍数。设运算放大器的反相输入端为A点。因为一般值很大，又，所以，A点电位(2-12)

一般运算放大器的输入阻抗很高，所以

(2-13)据此，可列出即第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程例2-5电枢控制式直流电动机

如图2-6所示的系统，其中为电动机电枢输入电压；为电动机输出转角；为电枢绕组的电阻；为电枢绕组的电感；为流过电枢绕组的电流；为电动机感应电势；为电动机转矩；为电动机及负载折合到电动机轴上的转动惯量；为电动机及负载折合到电动机轴上的粘性阻尼系数。图2-6有缘网络根据基尔霍夫定律，有(2-14)根据磁场对载流线圈的作用定律，有式中——电动机转矩常数。(2-15)第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程根据电磁感应定律，有(2-16)式中——反电势常数。根据牛顿第二定律，有(2-17)将式(2-15)代入式(2-17)，得(2-18)将式(2-16)、式(2-18)代入式(2-14)，得电枢电感La通常较小，若忽略不计，系统微分方程可简化为当电枢电感La，电阻Ra均较小，都忽略时，系统微分方程可进一步简化为第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程三、液压系统的线性化微分方图中，x为阀芯位移输入；y为液压缸活塞位移输出；qL为负载流量；q1、q2分别为液压缸左、右腔的输入、输出流量；pL为负载压差；pS为供油压力；m为负载质量；A为活塞工作面积；d为阀芯直径。图2-7阀控液压缸

图2-8qL=f(x,pL)曲线

第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程又若阀口结构完全相同且对称，不考虑阀和缸的泄漏，则，。于是有，因为，，于是式(2-19)变为

所以可以导出(2-20)由液压流体力学可知(2-19)式中

阀口流量系数；

——

——

——

——

阀口过流面积，若为全周矩形开口，有

阀口压力降；

油液密度。

或

上式称为滑阀的静特性方程，是一个非线性函数，如图2-8所示。

第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程设阀的额定工作点参量为

和

则

(2-21)将式(2-20)在额定工作点附近展成泰勒(Taylor)级数，有

(2-22)设，式(2-22)减去式(2-21)，并舍去高阶项，得线性化流量方程

(2-23)不考虑泄漏时液压缸流量连续性方程为

(2-24)不考虑阻尼力等时液压缸力平衡方程为

(2-25)第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程将式(2-23)、式(2-24)和式(2-25)联立，消去中间变量，即得系统线性方程

线性化的过程中，有以下几点需要注意：1)线性化是相对某一额定工作点的，工作点不同，则所得的方程系数也往往不同；2)变量的偏差愈小，则线性化精度愈高；3)增量方程中可认为其初始条件为零，即广义坐标原点平移到额定工作点处；4)线性化只用于没有间断点、折断点的单值函数。

在机械工程中，常用到液压传动及其控制系统，由于典型的液压元件比电气元件更为非线性，在数学描述上更加复杂，为便于分析，往往在一定条件下，将非线性系统进行线性化处理。第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程由以上的一些例子，可总结出列写系统微分方程的一般步骤：1)将系统划分环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节可考虑列写一个方程；根据物理定律或通过实验等方法得出的物理规律列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化、线性化；2)将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。

第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的微分方程及线性化方程四、相似系统数学模型相同的物理系统称为相似系统。在相似系统的数学模型中，作用相同的变量称为相似变量。表2-1为质量-弹簧-阻尼机械平移系统、机械回转系统、电气系统和液压系统的相似变量。相似系统的特点是一种物理系统研究的结论可以推广到其它相似系统中去。利用相似系统的这一特点，可以进行模拟研究，即用一种比较容易实现的系统(如用电气系统)模拟其它较难实现的系统。

表2-1相似系统的相似变量第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

一、拉氏变换及其特性

(一)拉氏变换的定义

拉氏变换(LaplaceTransform)是分析工程控制系统的基本数学方法之一。时间函数f(t)，当t<0时，f(t)=0，t0时，f(t)（称原函数）的拉氏变换记为L[f(t)]或F(s)（称象函数），且定义为式中s=+j

若式(2-26)的积分收敛于一确定值，则函数f(t)的拉氏变换F(s)存在，这时f(t)必须满足(2-26)1)在任一有限区间内，f(t)分段连续，只有有限个间断点。2)当时间t→，f(t)不超过某一指数函数，即满足式中M、a──实常数。第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

例2-6单位阶跃函数的拉氏变换。单位阶跃函数如右图所示，定义为01f(t)t由拉氏变换的定义式可求得：第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

例2-7单位脉冲函数的拉氏变换。单位脉冲函数如右图所示，定义为0f(t)t且（t）有如下特性

由拉氏变换的定义式可求得：第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

例2-8单位斜坡函数的拉氏变换由拉氏变换的定义式可求得：单位脉冲函数如右图所示，定义为0f(t)t例2-9指数函数eat的拉氏变换。第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

例2-10正弦函数sint和余弦函数cost的拉氏变换根据欧拉公式，有于是可以利用上面指数函数拉氏变换的结果，得出正弦函数和余弦函数的拉氏变换。

第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

拉氏变换对照表表2－2第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

1.线性定理

(二）拉氏变换的运算法则

2.延迟定理拉氏变换是一个线性变换，若有常数k1、k2，函数f1(t)、f2(t)，则

(2-28)证明：设f(t)的拉氏变换为F(s)，对任一正实数T有

(2-29)第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

3.位移定理

4.相似定理

f(t)的拉氏变换为F(s)，对任一常数a（实数或复数）有

证明：(2-30)证明：f(t)的拉氏变换为F(s)，有任意常数a，则

(2-31)第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

5.微分定理

设f(n)(t)表示f(t)的n阶导数，n=1，2，…正整数，f(t)的拉氏变换为F(s)，则

(2-32)证明：则可进一步推出f(t)的各阶导数的拉氏变换为

(2-33)(2-34)第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

6.积分定理

证明：f(t)的拉氏变换为F(s)，则

(2-35)依次可推导出

(2-37)第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

7.初值定理

证明：令s→，对上式两边取极限

当则由微分定理

设f(t)及其一阶导数均为可拉氏变换的，则f(t)的初值为

(2-38)第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

8.终值定理

由微分定理

令s→0，对上式两边取极限

证明：设f(t)及其一阶导数均为可拉氏变换的，则f(t)的终值为

(2-39)第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

9.象函数的微分性质10.象函数的积分性质证明：因为

对上式两边微分

证明：(2-40)(2-41)第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

11.卷积定理令证明：(2-42)第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

二、拉氏反变换及其计算方法1.拉氏反变换的定义(1)查表法，表2－2；(2)部分分式法。2.拉氏反变换的计算方法已知F(s)，求时间函数f(t)的拉氏反变换，记作，定义为

式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s)在该点及其邻域不处处可导。

(2-43)第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

用部分分式法将式(2-45)分为各简单分式之和

，应分三种情况进行讨论：

(1)A(s)=0无重根(3)A(s)=0有重根(2)A(s)=0的根中有共轭复根F(s)通常可表达为复数s的有理代数式；

(2-44)设s1、s2、s3、、sn为分母的根，则

(2-45)第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

(1)A(s)=0无重根时用(s－s1)乘以上式两边，并以s=s1代入式中，得

将原式化为部分分式(2-46)依次类推可得

(2-47)(2-48)第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

因为(2-49)第二章控制系统的数学模型例2-11求的拉氏反变换。

§2-2拉氏变换及反变换解

的部分分式运用式(2-47)求系数、第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

2.A(s)=0的根中有共轭复根

通过下面的例子说明通过部分分式求拉氏反变换的方法。例2-12求象函数的原函数。(2-50)用

乘式(2-50)的两边，并令

，得

第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换令上式两边实部和虚部分别相等，得，即，解得，为确定系数，用乘方程(2-50)两边，并令，得的部分分式可求得第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换其中，，则的拉氏反变换为第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

3.A(s)=0有重根的情况

(2-51)第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

例2-13求的拉氏反变换。

解根据式(2-51)求得

第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

的部分分式为分别查表可求得的拉氏反变换为第二章控制系统的数学模型§2-2拉氏变换及反变换

三、用拉氏变换解常系数线性微分方程用拉氏变换解微分方程的步骤：1)对微分方程进行拉氏变换，将其转换为拉氏域内的代数方程；2)求出特征方程的解和解对应的留数，并对化简后的部分分式和进行拉氏反变换，从而求出微分方程的时间解。例

解方程

其中，

解

将方程两边取拉氏变换，得

第二章控制系统的数学模型§2-3传递函数及基本环节的传递函数一、传递函数的概念

线性定常系统的传递函数(TransferFunction)：当初始条件为零时，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设线性定常系统输入为r(t)，输出为c(t)，描述系统的常微分方程的一般形式为

系统的传递函数G(s)为

(2-54)当初始条件为零时，对上式两边进行拉氏变换，得

(2-53)第二章控制系统的数学模型§2-3传递函数及基本环节的传递函数1.描述系统本身的固有特性，与输入量/输出量无关；2.不同的物理系统，若其动态特性相同，可用同一传递函数描述。传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了系统的阶数，如s的最高幂数为n，则该系统为n阶系统。传递函数的特性：第二章控制系统的数学模型对于传递函数

对分子分母因式分解可以得到其中，为传递函数的零点，为传递函数的极点。可见传递函数有m个零点，n个极点和一个实常数倍数。这些零点和极点中当然可以有重零点和重极点。

零点和极点是控制理论中重要的概念，它们在控制系统的分析与设计中有着重要的作用。二、传递函数的零点和极点§2-3传递函数及基本环节的传递函数第二章控制系统的数学模型§2-3传递函数及基本环节的传递函数三、基本环节(又称典型环节)的传递函数

几点重要说明：根据元件的功能来研究元件，如测量、放大、执行元件等，主要用于研究系统的结构、组成、控制原理2.按照运动方程式将元件或系统划分为若干环节，主要用于建立系统的数学模型，研究系统的特性一个系统可看作由一些基本环节组成，能组成独立的运动方程式的部分便称为环节环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或由几个元件组成，而方程的系数仅与该环节元件的参数有关，与其它环节无关，有时称为“单向元件”环节。第二章控制系统的数学模型§2-3传递函数及基本环节的传递函数1、比例环节（又称放大环节）p1p0F输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。即

经拉氏变换后

故比例环节的传递函数为如一个理想的电子放大器的放大系数或增益、齿轮传动的传动比均为比例环节。

(2-55)第二章控制系统的数学模型§2-3传递函数及基本环节的传递函数2、惯性环节（又称非周期环节）ui(t)Ruo(t)i(t)C在这类环节中，因含有储能元件，故对突变形式的输入信号，不能立即输送出去。其微分方程为

对上式进行拉氏变换，求得惯性环节的传递函数为式中K──放大系数；

T──时间常数。

第二章控制系统的数学模型§2-3传递函数及基本环节的传递函数3、微分环节xQ1Q2输出正比于输入的微分的环节，称微分环节，即其传递函数为

——微分时间常数

第二章控制系统的数学模型§2-3传递函数及基本环节的传递函数4、积分环节qq2x输出正比于输入的积分的环节称积分环节，即其传递函数为

T

——积分时间常数

第二章控制系统的数学模型§2-3传递函数及基本环节的传递函数5、振荡环节在这类环节含有两种储能元件，在信号传递过程中，因能量的的转换而使其输出带有振荡的性质，其微分方程为

对上式进行拉氏变换，求得振荡环节的传递函数为式中n──无阻尼固有频率

──阻尼比

第二章控制系统的数学模型§2-3传递函数及基本环节的传递函数6、一阶微分环节7、二阶微分环节描述该环节输出、输入间的微分方程具有如下形式

其传递函数为描述该环节输出、输入间的微分方程具有如下形式

其传递函数为第二章控制系统的数学模型§2-3传递函数及基本环节的传递函数8、延时环节X(t)X(t-)该环节的输出滞后输入时间后不失真地复现输入，其数学描述式为

其传递函数为第二章控制系统的数学模型§2-4方框图及其简化

框图(BlockDiagram)是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示，又称为方块图。系统运动规律系统的线性化微分方程求解微分方程系统的传递函数系统方块图求解拉氏反变换求解拉氏反变换第二章控制系统的数学模型§2-4方框图及其简化一、方框图单元、比较点和引出点引出点:引出点表示信号引出和测量的位置，同一位置引出的几个信号，在大小和性质上完全一样。

方块图单元G(s)输入R(s)输出X(s)比较点:比较点代表两个或两个以上的输入信号进行相加或相减的元件，或称比较器。箭头上的“+”或“－”表示信号相加或相减，相加减的量应具有相同的量纲。

输入R(s)输出E(s)=R(s)-B(s)输入B(s)C(s)C(s)第二章控制系统的数学模型§2-4方框图及其简化二、系统构成方式及运算法则系统各环节之间一般有三种基本连接方式，串联、并联和反馈连接，方块图运算法则是求取方块图不同连接方式下等效传递函数的方法。1、串联连接由串联环节所构成的系统，当无负载效应影响时，它的总传递函数等于各环节传递函数的乘积。当系统由n个环节串联而成时，总传递函数为

(2-56)第二章控制系统的数学模型§2-4方框图及其简化2、并联连接并联环节所构成的总传递函数，等于各并联环节传递函数之和/差。C1(s)G(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)第二章控制系统的数学模型§2-4方框图及其简化3、反馈连接

反馈，是将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过反馈回路回输到输入端，又重新输入到系统中去。即输出对输入有影响。反馈与输入相加的称为“正反馈”，与输入相减的称为“负反馈”。R(s)E(s)B(s)G(s)H(s)C(s)第二章控制系统的数学模型§2-4方框图及其简化整个闭环传递函数是由前向传递函数和开环传递函数构成。式中，当为负反馈时取“+”，正反馈时取“-”。闭环传递函数：输出信号与输入信号之比前向传递函数：输出信号与偏差信号之比反馈传递函数：反馈信号与输出信号之比开环传递函数：反馈信号与偏差信号之比第二章控制系统的数学模型§2-4方框图及其简化三、方框图变换法则1.比较点前移/后移AG-BABG(s)AG1/G(s)AAG-BBG(s)A-B/GA