平衡问题求解八法(保存)

三个重要概念1、物体的平衡状态指物体保持静止或匀速直线运动状态2、共点力作用下物体的平衡条件指处于平衡状态的物体受力所满足的条

件，即合力等于零。3、平衡问题

研究处于平衡状态下的物体的受力问题物体的平衡问题的八种解法1.判断物体是否处于平衡状态的方法(1)从运动角度判断当物体的速度大小和方向不变时，物体处于平衡状态.物体的速度为零时，不一定处于平衡状态，只有物体的加速度为零，物体才处于平衡状态.(2)从受力角度判断共点力作用下物体的平衡条件是合外力为零，表达式：F合＝0或写成分量形式Fx＝0和Fy＝0.①二力平衡时，二力等大、反向、共线.②物体受三个非平行力的作用而平衡时，这三个力的作用线(或延长线)必交于一点，且三力必共面，这三个力构成顺向的闭合三角形.③物体在几个共点力的作用下处于平衡状态时，其中任意一个力必与其他力的合力等大、反向、共线.物体处于平衡状态时的3个重要推论：2.分析平衡问题的基本步骤(1)选定研究对象：整体法和隔离法(2)确定物体是否处于平衡状态：a＝0(3)进行受力分析：画出准确规范的受力示意图(4)建立平衡方程：灵活运用平行四边形定则、

正交分解法、三角形法则及数学方法等平衡问题求解八法二正交分解法一力的合成法三整体法与隔离法四三角形法五相似三角形法六正弦定理法七拉密原理法八对称法一力的合成法物体在三个共点力的作用下处于平衡状态,则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等,方向相反,“力的合成法”是解决三力平衡问题的基本方法.【例1】如图1所示,重物的质量为m,

轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的,平衡时AO水平,BO与水平面的夹角为θ,AO的拉力F1和BO的拉力

F2的大小是多少？

图1解析根据三力平衡特点,任意两力的合力与第三个力等大反向,可作出如图矢量图,由三角形知识可得F1=mgcotθ,所以正确选项为D.答案

D二正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时,常用正交分解法列平衡方程求解:Fx合=0,Fy合=0.为方便计算,建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则.【例2】如图2所示，不计滑轮摩擦,A、B两物体均处于静止状态.现加一水平力F作用在B上使B缓慢右移,试分析B所受力F的变化情况.

图2解析

对物体B受力分析如图,建立如图直角坐标系.在y轴上有Fy=N+FAsinθ-GB=0①在x轴上有Fx=F-f-FAcosθ=0②又f=μN③联立①②③得F=μGB+FA(cosθ-μsinθ).可见,随着θ不断减小,水平力F将不断增大.答案

随着θ不断减小,水平力F将不断增大三整体法与隔离法整体法是把两个或两个以上物体组成的系统作为一个整体来研究的分析方法。

当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时,一般可采用整体法.

隔离法是将所确定的研究对象从连接体中隔离出来进行分析的方法,其目的是便于进一步对该物体进行受力分析，得出与之关联的力.为了研究系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况时,通常可采用隔离法.整体法和隔离法是结合在一起使用的.【例3】有一直角支架AOB,AO水平放置,表面粗糙;OB竖直向下,表面光滑.AO上套有小环P,OB上套有小环Q,两环质量均为m.两环间由一根质量可忽略且不可伸长的细绳相连,

并在某一位置平衡,如图.现将P环向左移一小段距离,两环再次达到平衡,将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是()A.N不变,T变大B.N不变,T变小

C.N变大,T变大D.N变大,T变小解析采取先“整体”后“隔离”的方法.以P、Q绳为整体研究对象,受重力、AO给的向上弹力、OB给的水平向左弹力.由整体处于平衡状态知AO给P向右静摩擦力与OB给的水平向左弹力大小相等;AO给的竖直向上弹力与整体重力大小相等.当P环左移一段距离后,整体重力不变,AO给的竖直向上弹力也不变.再以Q环为隔离研究对象,受力如图所示，Q环所受重力G、OB给Q的弹力F1,绳的拉力T处于平衡;P环向左移动一小段距离的同时T移至T′位置，仍能平衡，即T竖直分量与G大小相等,T应变小,所以正确答案为B选项.答案

B

练习如图所示，A、B两木块用细线相连放在水平面上，两次细线方向不同但倾角一样，两木块与水平面间的动摩擦因数相同.先后用水平力F1和F2拉着A、B一起匀速运动，则(

)A.F1>F2

B.F1＝F2C.FT1>FT2

D.FT1＝FT2解析：设A、B的质量分别为mA、mB，取A、B为一个整体可得：F1＝F2＝μ(mA＋mB)g故A错误，B正确；设细线与水平方向的夹角为θ，单独隔离A木块，用平衡条件可得：FT1cosθ＝μ(mAg－FT1sinθ)，FT2cosθ＝μ(mAg＋FT2sinθ)，得出：故FT1<FT2，C、D均错误.答案：B对受三力作用而平衡的物体,将力矢量图平移，使三力组成一个首尾依次相接的封闭力三角形,进而处理物体平衡问题的方法叫三角形法。力三角形法在处理

动态平衡问题时方便、直观,容易判断.【例4】如图细绳AO、BO等长且共同悬一物,A点固定不动,在手持B点沿圆弧向C点缓慢移动过程中,

绳BO的张力将()A.不断变大B.不断变小C.先变大再变小D.先变小再变大

四动态问题分析法——三角形法，平行四边形法解析

选O点为研究对象,受F、FA、FB三力作用而平衡.此三力构成一封闭的动态三角形如图.容易看出,当FB

与FA垂直即α+β=90°时,FB取最小值,所以D选项正确.答案

D练习半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，MN是竖直放置的光滑挡板.在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态，如图所示是这个装置的截面图.现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止.则在此过程中，下列说法正确的是(

)A.MN对Q的弹力逐渐减小B.地面对P的支持力逐渐增大C.Q所受的合力逐渐增大D.地面对P的摩擦力逐渐增大

[思路点拨]在MN向右平移时，小圆柱体Q处于动态平衡状态，对Q受力分析，作出力的平行四边形，根据力的方向变化，分析边长的变化，从而得出力的大小变化结果.

[解析]

圆柱体Q受重力G，P对Q的弹力F1和MN对Q的弹力F2，如图1－4所示，在MN向右缓慢平移时，G不变，则F不变，F1与水平方向的夹角θ减小，而F2的方向不变，由图可知F1、F2均变大，但Q所受的合力始终为零，故A、C均错误；再以P、Q为一整体受力分析如图1－5所示，由平衡条件知，FNP＝GP＋GQ不变，FfP＝F2，FfP随F2增大而增大，故B错误，D正确.[答案]

D练习如图所示是给墙壁刷涂料用的涂料滚的示意图，使用时，用撑竿推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上.撑竿的重力和墙壁的摩擦均不计，且撑竿足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，设该过程中撑竿对涂料滚的推力为F1，涂料滚对墙壁的压力为F2，则(

)A.F1增大，F2减小B.F1增大，F2增大C.F1减小，F2减小D.F1减小，F2增大解析：涂料滚缓慢沿墙上滚过程中，处于动态平衡状态，合力为零，分析涂料滚受力如图所示，涂料滚上滚过程中，θ变小，F1和F2均变小，故C正确.答案：C练习如图,将球夹在竖直墙AC与木板BC之间,各接触面均光滑,将球对墙的压力用N1表示,球对木板的压力用N2表示.现将木板以C端为轴缓慢地转至水平位置的过程中,下列说法中正确的是（

）

答案BA.N1和N2都增大

B.N1和N2都减小C.N1增大,N2减小

D.N1减小,N2增大五相似三角形法

物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形,其中可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似,对应成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向.【例5】固定在水平面上的光滑半球半径为R,球心O的正上方C处固定一个小定滑轮,细绳一端拴一小球置于半球面上的A点,另一端绕过定滑轮,如图所示.现将小球缓慢地从A点拉向B点,则此过程中小球对半球的压力大小N、细绳的拉力大小T的变化情况是()

A.N不变,T不变B.N不变,T变大C.N不变,T变小D.N变大,T变小根据几何关系知,力三角形FAN′与几何三角形COA相似.设滑轮到半球顶点B的距离为h,线长AC为L,则有由于小球从A点移向B点的过程中,G、R、h均不变,L减小,故N′大小不变,T减小.所以正确答案为C选项.答案

C

解析

小球受力如图所示,根据平衡条件知,小球所受支持力N′和细线拉力T的合力F跟重力是一对平衡力,即F=G.

练习如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂重为G的物体，B端系一根轻绳绕过定滑轮A。开始时角BCA>90°，现在用力F拉绳，使∠BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC，此过程中，杆BC所受的力(

)A．大小不变B．逐渐增大C．逐渐减小

D．先减小后增大[解析]

B点共受三个力作用而平衡：物体对作用点B的拉力与G大小相等、方向相同，杆BC的弹力FN，绳的拉力FT.由平衡条件及平行四边形定则可知B点的受力如图1－8所示，F＝G.由几何知识可知：几何三角形ABC与力三角形相似，即：[答案]

A

∴FN＝·G在杆被拉起的过程中，BC、AC、G不变，所以FN大小不变，故选项A正确．六正弦定理法正弦定理：在同一个三角形中,三角形的边长与所对角的正弦比值相等。在图中有同样,在力的三角形中也满足上述关系,即力的大小与所对角的正弦比值相等.【例6】不可伸长的轻细绳AO、BO

的结点为O,在O点悬吊电灯L,OA绳处于水平,电灯L静止,如图所示.保持O点位置不变,改变OA的长度使A

点逐渐上升至C点,在此过程中绳OA

的拉力大小如何变化？解析

取O点为研究对象，O点受灯的拉力F(大小等于电灯重力G)、OA绳的拉力T1、OB绳的拉力T2,如右图所示.因为三力平衡,所以T1、T2的合力G′与G等大反向.由正弦定理得由图知θ不变,α由小变大,所以据T1式知T1先变小后变大,当α=90°时,T1有最小值.七拉密原理法拉密原理:如果在三个共点力作用下物体处于平衡状态,那么各力的大小分别与另外两个力所夹角的正弦成正比.在图8所示情况下,原理表达式为【例7】如图所示装置,两根细绳拉住一个小球,保持两绳之间夹角θ不变;

若把整个装置顺时针缓慢转动90°,

则在转动过程中,CA绳拉力T1大小的变化情况是__________,CB绳拉力FT2大小的变化情况是________.解析

在整个装置缓慢转动的过程中，可以认为小球在每一位置都是平衡的,小球受到三个力的作用,如图所示,根据拉密原理有由于θ不变、α由90°逐渐变为180°,sinα会逐渐变小直到为零,所以T2逐渐变小直到为零;由于β由钝角变为锐角,sinβ先变大后变小，所以T1先变大后变小.答案

先变大后变小逐渐变小直到为零八对称法研究对象所受力若具有对称性,则求解时可把较复杂的运算转化为较简单的运算,或者将复杂的图形转化为直观而简单的图形.所以在分析问题时，首先应明确物体受力是否具有对称性.【例8】如图10所示,重为G的均匀链条挂在等高的两钩上,链条悬挂处与水平方向成θ角,试求：(1)链条两端的张力大小；(2)链条最低处的张力大小.

解析

(1)在求链条两端的张力时,可把链条当做一个质点处理.两边受力具有对称性使两端点的张力F大小相等，受力分析如图甲所示.取链条整体为质点研究对象.由平衡条件得竖直方向2Fsinθ=G,所以端点张力为(2)在求链条最低点张力时,可将链条一分为二,取一半研究.受力分析如图乙所示,由平衡条件得水平方向所受力为即为所求.答案

1.如图11所示,质量为m的质点,与三根相同的螺旋形轻弹簧相连.静止时,弹簧c沿竖直方向,相邻两弹簧间的夹角均为120°.已知弹簧a、b对质点的作用力大小均为F,则弹簧c对质点的作用力大小不可能为

()

图11A.3FB.F+mgC.F-mgD.mg-F课堂练习解析质点受四个力作用：重力mg，a、b、c的弹力Fa、Fb、Fc,四力合力为零,由于弹簧a、b对质点的作用力方向未知,故本题有多解.当弹簧a、b的弹力均斜向上或斜向下时,因为夹角等于120°,故a、b的弹力的合力大小为F，且竖直向上或竖直向下.当a、b弹力的合力竖直向上,c的弹力也向上时,Fc=mg-F,则当mg=2F时,Fc=F,故选项D正确.当a、b弹力的合力竖直向上，c的弹力向下时，Fc=F-mg,故选项C正确.当a、b弹力的合力竖直向下，c的弹力向上时,Fc=F+mg,故选项B正确.答案

A2.假期里,一位同学在厨房协助妈妈做菜，对菜刀发生了兴趣.他发现菜刀的刀刃前部和后部的厚薄不图12

一样,刀刃前部的顶角小,后部的顶角大(如图12所示),

他先后做出过几个猜想,其中合理的是()A.刀刃前部和后部厚薄不匀,仅是为了打造方便,外形美观,跟使用功能无关

B.在刀背上加上同样的压力时,分开其他物体的力跟刀刃厚薄无关

C.在刀背上加上同样的压力时,顶角越大,分开其他物体的力越大

D.在刀背上加上同样的压力时,顶角越小,分开其他物体的力越大解析把刀刃部分抽象后，可简化成一个等腰三角劈,设顶角为2θ,背宽为d,侧面长为l,如下图甲所示.当在劈背施加压力F后产生垂直侧面的两个分力F1、F2,使用中依靠着这两个分力分开被加工的其他物体.由对称可知这两个分力大小相等(F1=F2),因此画出力分解的平行四边形,实为菱形如图乙所示.在这个力的平行四边形中，取其四分之一考虑(图中阴影部分).根据它跟半个劈的直角三角形的相似关系,有关系式由此可见,刀背上加上一定的压力F时,侧面分开其他物体的力跟顶角的大小有关,顶角越小,sinθ的值越小,F1和F2越大.但是刀刃的顶角越小时,刀刃的强度会减小,碰到较硬的物体时刀刃会卷口甚至碎裂,实际制造过程中为了适应加工不同物体的需要,所以做成前部较薄,后部较厚.使用时，用前部切一些软的物品(如鱼、肉、蔬菜、水果等),用后部斩劈坚硬的骨头之类的物品,俗话说:“前切后劈”,指的就是这个意思,故选项D正确.答案

D3.图13甲为杂技表演的安全网示意图,网绳的结构为正方格形,O、a、b、c、d……为网绳的结点，安全网水平张紧后,若质量为m的运动员从高处落下,并恰好落在O点上,该处下凹至最低点时,网绳dOe,bOg

均成120°向上的张角,如图乙所示,此时O点受到的向下的冲击力大小为F,则这时O点周围每根网绳承受的力的大小为()

图13A.FB.C.F+mg