第一章傅里叶光学基础

信息光学的研究方法和用途光学+信息科学方法！将信息科学中的线性系统理论引入光学

把光学成像系统看成一种二维的图像信号的传输、变换和处理系统由空间域扩展到空间频率域，对光学成像系统进行空间频谱分析光学成像系统的单一成像功能扩展到二维信息处理二维信号（图像）的各种运算方法，图像处理与识别技术，高密度信息存储的光学方法，三维面形测量，全息散斑干涉技术（特点）数学基础

常用函数—变形xf(x)xf(x-x0)x0xf(x/a)xf(-x)x-f(-x)xbf(x)平移(原点移至x0)折叠与f(x)关于y轴镜像对称取反与f(x)关于x轴镜像对称倍乘y方向幅度变化比例缩放a>1,在x方向展宽a倍a<1,在x方向压缩a倍常用函数—变形xf(x)01x,0<x<10其它例:f(x)={求f(-2x+4)解：f(-2x+4)=f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移xf(-x)0-1先折叠xf(-2x)0-1/2再压缩x0f[-2(x-2)]3/2最后平移cos(x),|x|p/20 其它求f(-x/2+p/4)练习：f(x)={

常用函数—变形先折叠，偶函数折叠后不变xf(x)0p/2-p/2解：f(-x/2+p/4)=f[-(x-p/2)/2]，包含折叠、扩展、平移再扩展,

最后平移xf(-x)0p/2-p/2求f(-x/2+p/4)曲线下面积:注意：在缩放前后的变化cos(x),|x|p/20 其它f(x)={常用函数

注意：1.函数在时域和空域各代表什么物理对象

2.一维向二维扩展，各代表什么物理对象一.阶跃函数StepFunctionx01Step(x)1,x>01/2,x=00,x<0定义:Step(x)={代表：开关,无穷大半平面屏0x常用函数(续)

二.符号函数Signum

x01Sgn(x)-11,x>00,x=0-1,x<0定义:Sgn(x)={原型 代表“p”相移器、反相器与Step函数的关系:Sgn(x)=2Step(x)-1常用函数(续)

三.矩形函数RectangleFunction定义xrect(x)01/2-1/21原型特点:rect(0)=1,矩形宽度=1，矩形面积=1,偶函数快门;单缝,矩孔,区域限定x0ax0axx0,y0yab0常用函数(续)

四、三角形函数TriangleFunction底宽:2|a|,面积:S=|a|底宽:2最大值：tri(0)=1曲线下面积:S=1xtri(x)01-111xa+x0-a+x0x0又写成：L(x)要关注它和矩形函数的关系（两个相同矩形函数的卷积）常用函数(续)

五、sinc函数xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0x0特点:最大值：sinc(0)=1；limsinc(x)=0

x曲线下面积:S=1，偶函数0点位置:x=n(n=1,2,3…)等间隔两个一级0点之间的主瓣宽度=2常用函数

五.sinc函数(续)Sinc函数的重要性:数学上sinc函数和rect函数互为傅里叶变换物理上，单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数xsinc2(x)01-11sinc

(x)sinc2(0)=1,S=1与sinc(x)相比,曲线形状不同,但曲线下面积相同二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)sin2(px)(px)2附:sinc2函数sinc2(x)=[sinc(x)]2常用函数(续)

六、高斯函数GaussianFunctionGaus(x)=exp(-px2)Gaus(0)=1S=1是非常平滑的函数，即各阶导数均连续。Gaus(x)0x二维情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp[-p(x2+y2)]可代表单模激光束的光强分布常用函数(续)

七、圆域函数CircularFunction定义:circ(r)=circ函数是不可分离变量的二元函数描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率1xy0a0常用函数(续)

八、复指数函数ComplexexponentialfunctionAexp(jq)=Acosq+jAsinqq：振子的位相角对于简谐振动，q=2pnt推广到二维：Aexp[j2p(ux+vy)]A0qw=2pn

九、d-函数的阵列--梳状函数comb(x)表示沿x轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列。例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅。间隔为t的脉冲系列:定义:

n为整数梳状函数与普通函数的乘积:f(x)0x=x0xcomb(x).0利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.xy二维梳状函数:comb(x,y)=comb(x)comb(y)

第一章傅里叶光学基础

一、定义及存在条件函数f(x,y)在整个x-y平面上满足狄氏条件,定义函数：为函数f(x,y)的傅里叶变换,记作：

F(u,v)=

{f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],

或

f(x,y)

F(u,v)F.T.f(x,y):原函数,

F(u,v):像函数或频谱函数变换核积分变换:傅里叶变换的核:exp(-j2pux)

由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:f(x,y)和F(u,v)称为傅里叶变换对；记作: f(x,y)=

-1{F(u,v)}.显然-1{f(x,y)}=f(x,y)

综合可写:

f(x,y)

F(u,v)F.T.F.T.-1x(y)

和u(v

)称为一对共轭变量,它们在不同的范畴(时空域或频率域)描述同一个物理对象。描述了各频率分量的相对幅值和相移。x,y,

u,v均为实变量，F(u,v)一般是复函数,F(u,v)=A(u,v)ejf(u,v)振幅谱位相谱F(u,v)是f(x,y)的频谱函数体现了分解与叠加的概念傅里叶变换存在的条件（狄氏条件）是：原函数在全平面绝对可积；原函数在全平面只有有限个间断点，在任何有限的区域内只有有限个间断点；原函数没有无穷大型的间断点。从物理上来说，“物理的真实”就是变换存在的充分条件。对于某些不符合狄氏条件的函数,求F.T.的方法：例:g(x,y)=1,在(-,+)不可积对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,函数系列变换式的极限原来函数的广义F.T.可定义:g(x,y)=limrect(x/t)rect(y/t)

t

则{g(x,y)}=lim{rect(x/t)rect(y/t)}

t

§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform

二、广义F.T.根据广义傅立叶变换的定义和d函数的定义:

{g(x,y)}=limτ2sinc(τu)sinc(τv)=d(u,v)

t

则

{rect(x/t)rect(y/t)}=t2sinc(tu)sinc(tv)

{1}=d(u,v)按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.{rect()}重要推论:{rect(x)}=sinc(u) 函数的傅里叶变换1、函数通常用于描述质量或能量在空间或时间上高度集中的各种现象，如质点、点电荷、点光源、瞬时脉冲2、物理意义：点源函数具有权重为1的最丰富的频谱分量3、偏导数的定义

二、极坐标系下的傅里叶和傅里叶-贝塞尔变换

特别适合于圆对称函数的F.T.

依F.T.定义：

极坐标变换令:

则在极坐标系中:则极坐标系下的的二维傅里叶变换定义为：圆对称函数的F.T.仍是圆对称函数,称为F-B(傅-贝)变换,记为G(r)={g(r)},g(r)=-1{G(r)}

当f具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)=g(r,q)=g

(r).依F.T.定义:利用贝塞尔函数关系

傅里叶-贝塞尔变换

例:利用F-B变换求圆域函数的F.T.定义: 是圆对称函数作变量替换,令r’=2prr,并利用:

三.虚、实、奇、偶函数的F.T.将频谱函数G(u)分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换)，然后根据g(x)的虚、实、奇、偶性质讨论频谱的相应性质。注意：并非实函数的频谱一定是实函数，只有厄米函数(实部为偶函数、虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数。例:rect(x)(实、偶)sinc(u)(实、偶)F.T.但是,rect(x-1)(实、非偶)复函数F.T.

四、F.T.定理--F.T.的基本性质1.线性定理Linearity

设g(x,y)G(u,v),h(x,y)H(u,v),F.T.F.T.2.空间缩放Scaling(相似性定理）{ag(x,y)+b

h(x,y)}=aG(u,v)+b

H(u,v)F.T.是线性变换注意：空域坐标(x,y)的扩展(a,b<1)，导致频域中坐标(u,v)的压缩及频谱幅度的变化；反之亦然。g(x)x01/2-1/21g(ax)a=2x01/4-1/41fG(u)01-11f02-21/2空域压缩F.T.F.T.频域扩展3.位移定理Shifting

{g(x-a,y-b)}=

G(u,v)exp[-j2p(ua+vb)]

设g(x,y)G(u,v),F.T.频率位移：原函数在空间域的相移，导致频谱的位移。{g(x,y)exp[j2p(ux+vy)]}=G(u-

u’,v-v’)空间位移：原函数在空域中的平移，相应的频谱函数振幅分布不变，但位相随频率线性改变。推论:由{1}=d(u,v){exp[j2p(u’x+v’y)]}=d(u-u’,v-v’)复指函数的F.T.是移位的d函数(物理意义）4.帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压，则∫|g(x)|2dx

代表信号的总能量(或总功率)|G(u)|2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)

设g(x,y)G(u,v),F.T.Parseval定理说明：信号的能量由|G(u)|2曲线下面积给出，或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒Parseval定理的证明交换积分顺序,先对x求积分:利用复指函数的F.T.利用d函数的筛选性质5、卷积与卷积定理（convolution）宽度为a的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2pux)扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。探测器输出的光功率分布axf(x)1/f0x卷积运算设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)物体分布成像系统像平面分布f(x)成像xx

0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果。需用卷积运算来描述f(x)成像xx

0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)x若f(x)与h(x)有界且可积，

定义：*:卷积符号

g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果。对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x)，则第二个函数的贡献是h(x-x)。需要对任何可能的x求和。g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积二维函数的卷积:th(t)1/5

590f(t)1/3

46t0f(t)1/3

46t0th(-t)1/5

-9-50xh(x-t)

x-9x-5t

460练习:计算rect(x)*rect(x)

9111315

g(x)

x

0

2/151.用哑元t画出函数f(t)和h(t);2.将h(t)折叠成h(-t);3.将h(-t)移位至给定的x,

h[-(t-x)]=h(x-t);4.二者相乘;5.乘积函数曲线下面积的值即为g(x).步骤:探测器输出的光功率分布:af(x)1/f0xx卷积运算的特点展宽效应：假如卷积的两个函数只