第五章线性参数的最小二乘法处理yj资料

5-1第五章

线性参数(cānshù)的最小二乘法处理第一页，共62页。5-2设有一金属尺，在温度t时长度可表示为yt=y0（1+t）,其中(qízhōng)，y0为温度零度时的精确长度。为金属材料的线膨胀系数，求y0与的最可信赖值及其精度估计。设a=y0，b=y0,则有yt=a+bt。在理论(lǐlùn)上，有引题:求标准(biāozhǔn)米尺线膨胀系数从中任选两个方程可解得a、b,从而确定y0、α。线性参数的最小二乘法处理由于测量误差的存在，需要n>2第二页，共62页。5-3但是事实上，不可避免地存在测量误差。设在t1，t2，t3……….tn温度条件(tiáojiàn)下分别测得金属尺的长度是l1，l2，l3……….ln，则有误差方程最小二乘法(chéngfǎ)a、b及

y0、α线性参数(cānshù)的最小二乘法处理第三页，共62页。5-4几何(jǐhé)解释对应于ti的测量(cèliáng)数据li,i=1,2,…,nyott1t2…

…

tn残余(cányú)误差：a、b的最可信赖值为什么？怎样求a

和b？精度估计？线性参数的最小二乘法处理第四页，共62页。5-5第一节最小二乘法原理第二节正规(zhèngguī)方程第三节精度估计第四节组合测量的最小二乘法处理线性参数的最小二乘法(chéngfǎ)处理第五页，共62页。5-6大纲(dàgāng)要求掌握最小二乘原理。掌握正规方程:等精度测量线性参数的最小二乘处理不等精度测量线性参数的最小二乘处理掌握最小二乘精度估计(gūjì)方法。线性参数(cānshù)的最小二乘法处理第六页，共62页。5-7若测量数据,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为

则各测量结果出现于相应真值附近区域内的概率分别为：

第一节最小二乘法(chéngfǎ)原理各误差相互独立，由概率(gàilǜ)乘法定理，各测量数据同时分别出现在相应区域的概率(gàilǜ)应为：理论(lǐlùn)分析第七页，共62页。5-8等精度(jīnɡdù)测量：根据概率论的最大或然原理，由于测量值已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有由于结果(jiēguǒ)只是接近真值的估计值，因此上述条件应为引入权pi理论(lǐlùn)分析第一节最小二乘法原理

第八页，共62页。5-9必须指出(zhǐchū):上述最小二乘原理是在测量误差无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用。实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。最小二乘原理(yuánlǐ):测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。第一节最小二乘法(chéngfǎ)原理第九页，共62页。5-10为确定t个不可直接测量的未知量的估计量，可对与该t个未知量有函数(hánshù)关系的直接测量量Y进行n次测量，得测量数据（n>t）并设有如下函数(hánshù)关系：设直接(zhíjiē)量Y1,Y2,…,Yn的估计量分别为y1,y2,…,yn，则有：第一节最小二乘法(chéngfǎ)原理第十页，共62页。5-11误差(wùchā)方程(残差方程)：最小二乘法(chéngfǎ)等精度(jīnɡdù)测量：不等精度测量：第一节最小二乘法原理

第十一页，共62页。5-12矩阵(jǔzhèn)形式实测值矩阵

估计值矩阵

残差矩阵

误差方程系数矩阵

矩阵(jǔzhèn)形式误差(wùchā)方程第一节最小二乘法原理

第十二页，共62页。5-13误差方程的矩阵(jǔzhèn)形式1）等精度测量线性参数的最小二乘原理的矩阵形式

或

其中(qízhōng)：矩阵(jǔzhèn)形式2）不等精度测量线性参数的最小二乘原理的矩阵形式

或

第一节最小二乘法原理

第十三页，共62页。5-14矩阵(jǔzhèn)形式不等精度

等精度第一节最小二乘法(chéngfǎ)原理第十四页，共62页。5-15第二节正规(zhèngguī)方程一、等精度测量(cèliáng)线性参数最小二乘法的正规方程二、不等精度测量(cèliáng)线性参数最小二乘法的正规方程三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程（略）四、最小二乘法与算术平均值的关系

第十五页，共62页。正规(zhèngguī)方程为了获得更可靠的结果，测量次数n总要多余未知参数的个数t，即所得误差(wùchā)方程式的个数总要多余未知数的个数。一般代数解方程法无法求解。最小二乘法可由误差(wùchā)方程得到有确定解的代数方程组，从而求解未知参数。这个具有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程。（或称为法方程）5-16第十六页，共62页。线性参数(cānshù)最小二乘法处理程序根据问题列出误差方程式按最小二乘法原理，利用(lìyòng)求极值的方法由误差方程得到正规方程求解正规方程，得到待求估计量给出精度估计5-17第十七页，共62页。5-18第二节正规(zhèngguī)方程一、等精度测量线性参数(cānshù)最小二乘处理的正规方程且连续多元(duōyuán)函数I(x1,x2,…,xn)的极值条件第十八页，共62页。5-19正规(zhèngguī)方程特点：

系数矩阵是对称阵；主对角线分布着平方项系数，正数第二节正规(zhèngguī)方程第十九页，共62页。5-20看正规(zhèngguī)方程组中第r个方程：则正规(zhèngguī)方程可写成即正规(zhèngguī)方程的矩阵形式第二十页，共62页。5-21将代入，得矩阵(jǔzhèn)形式第二节正规(zhèngguī)方程第二十一页，共62页。5-22的数学(shùxué)期望这里(zhèlǐ)Y=[Y1,Y2,…,Yn]T,X=[X1,X2,…,Xn]TC=ATA

可见为X的无偏估计。

第二节正规(zhèngguī)方程第二十二页，共62页。例1已知铜棒的长度(chángdù)和温度之间具有线性关系：，为获得０℃时铜棒的长度(chángdù)和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长度(chángdù)，如下表，求，的最可信赖值。5-23例题(lìtí)1020304050602000.362000.722000.82001.072001.482000.60解：1）列出误差(wùchā)方程第二十三页，共62页。5-24按照最小二乘的矩阵(jǔzhèn)形式计算则有：令为两个(liǎnɡɡè)待估参量，则误差方程为第二十四页，共62页。5-25那么(nàme)：第二十五页，共62页。5-26例2在串联谐振回路中，已知Y=ωL－1/ωC,式中ω，Y，L，C分别是外加电信号的角频率和回路的电抗、电感(diànɡǎn)、电容，不同角频率时的电抗测量值li如下表，求L、C的最可信赖值。ωi521li0.80.2-0.3例题(lìtí)第二节正规(zhèngguī)方程第二十六页，共62页。5-27解：令b=-1/C，则有误差vi=li-(Lωi+b/ωi)。L、b是两个待估计参数(cānshù)。正规方程为例题(lìtí)i

ai1

ai2

ai1ai1

ai2ai2

ai1ai2ai1li

ai2li

123

50.2250.04140.1620.540.2510.40.111111-0.3-0.3Σ301.2934.1-0.04第二节正规(zhèngguī)方程第二十七页，共62页。5-28例题(lìtí)解得第二节正规(zhèngguī)方程第二十八页，共62页。5-29作代换(dàihuàn)：二、不等精度测量线性参数(cānshù)最小二乘法处理的正规方程把不等精度测量线性参数最小二乘法处理转化(zhuǎnhuà)为等精度测量问题。第二十九页，共62页。5-30由此可得不等精度测量(cèliáng)线性参数最小二乘处理的正规方程：第三十页，共62页。5-31整理(zhěnglǐ)得：第三十一页，共62页。5-32即不等精度(jīnɡdù)的正规方程将代入上式，得（待测量Ｘ的无偏(wúpiān)估计）第三十二页，共62页。5-33例5.2某测量过程(guòchéng)有误差方程式及相应的标准差：试求的最可信赖值。解：首先(shǒuxiān)确定各式的权第二节正规(zhèngguī)方程第三十三页，共62页。5-34作代换(dàihuàn)：iai1

ai2

li

a’i1

a’i2

l’i

12345

4116.444425.764128.604834.4031310.814932.4331413.2141239.6331515.2741545.81

第二节正规(zhèngguī)方程第三十四页，共62页。5-35i

12345

161616103.04103.04166432137.60275.209812797.29291.87914436118.98475.92922545137.34687.15

59530156594.341833.18例题(lìtí)x1=4.186x2=2.227第二节正规(zhèngguī)方程第三十五页，共62页。5-36三、非线性参数最小二乘处理的正规(zhèngguī)方程针对(zhēnduì)非线性函数其测量误差方程(fāngchéng)为令，现将函数在处展开，则有第三十六页，共62页。5-37将上述(shàngshù)展开式代入误差方程，令则误差方程(fāngchéng)转化为线性方程(fāngchéng)组于是(yúshì)可解得，进而可得。近似值第三十七页，共62页。5-38四、最小二乘法与算术(suànshù)平均值的关系为确定一个(yīɡè)量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得到n个数据,相应的权分别为，则误差方程为运用最小二乘法(chéngfǎ)的正规方程为有误差方程知ai=1，因此有

这正是不等精度测量的加权算术平均值！算术平均值原理可以看作是最小二乘法原理的特例。第三十八页，共62页。5-39第三节精度(jīnɡdù)估计一、直接测量数据的精度估计

二、最小二乘估计量的精度估计

给出估计量x1,x2,…,xt的精度。第三十九页，共62页。5-40第三节精度(jīnɡdù)估计一、测量数据(shùjù)精度估计(一）等精度(jīnɡdù)测量数据的精度(jīnɡdù)估计可以证明是自由度为(n－t)的变量。对包含t个未知线性参数的Y()进行n次等精度测量得l1,l2,…,ln

，由残差v1,v2,…,vn得标准差σ的估计量。根据变量的性质，有vi互相独立，且服从正态分布第四十页，共62页。5-41则可取(kěqǔ)作为(zuòwéi)的无偏估计量。因此测量(cèliáng)数据的标准差的估计量为测量次数未知量个数残差平方和当t=1时？

第三节精度估计

第四十一页，共62页。5-42iωilivi1

50.8-0.0191220.20.063331-0.3-0.0275例5.2试求例2中电抗(diànkàng)的测量精度解：已知残余误差(wùchā)方程为：vi=li-(0.182ωi-1/2.2ωi)。第三节精度(jīnɡdù)估计第四十二页，共62页。5-43(二)不等精度测量(cèliáng)数据的精度估计一、直接测量数据的精度(jīnɡdù)估计测量数据(shùjù)的单位权标准差未知量个数方程个数加权残差平方和当t=1时？

第三节精度估计

第四十三页，共62页。5-44二、最小二乘估计量的精度(jīnɡdù)估计最小二乘法所确定(quèdìng)的估计量x1,x2,…,xt的精度取决于测量数据l1,l2,…,ln的精度和线性方程组所给出的函数关系。第三节精度(jīnɡdù)估计第四十四页，共62页。5-45二、最小二乘估计量的精度(jīnɡdù)估计1、等精度测量(cèliáng)时估计量的精度估计设有n×n协方差矩阵(jǔzhèn)这里，Dlii为li的方差,Dlii=E[(li-Eli)2]=σi2；Dlij为li与lj的协方差,Dlij=E[(li-Eli)(lj-Elj)]=ρijσiσj,i≠j.若l1,l2,…,ln是等精度独立测量的结果，则有且相关系数ρij＝０。第三节精度估计

第四十五页，共62页。5-46对于(duìyú)估计量x1,x2,…,xt，其协方差矩阵为二、最小二乘估计量的精度(jīnɡdù)估计第三节精度(jīnɡdù)估计第四十六页，共62页。5-47二、最小二乘估计量的精度(jīnɡdù)估计设因此(yīncǐ)，有第三节精度(jīnɡdù)估计第四十七页，共62页。5-48解：已知正规(zhèngguī)方程为例5.3试求例题5.1中电感(diànɡǎn)和电容估计量的精度。有估计量L、b的标准差为测量(cèliáng)数据的标准差为σ=0.0716而C=-1/b，σC=?第三节精度估计

第四十八页，共62页。5-49二、最小二乘估计量的精度(jīnɡdù)估计2、不等精度测量(cèliáng)估计量的精度估计第三节精度(jīnɡdù)估计第四十九页，共62页。5-50第四节

组合测量(cèliáng)（combinedmeasurement）的最小二乘法处理第五十页，共62页。5-51组合(zǔhé)测量基本概念组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量（一般是等精度测量），然后对这些测量数据进行处理(chǔlǐ)，从而求得待测参数的估计值，并给出其精度估计。第四节组合(zǔhé)测量的最小二乘法处理例如要测量x,y,z三个量，可以采用如下组合测量组合测量的优点是既能提高测量精度又能减少测量次数。若x,y,z三个量单独测量，每个测量4次的话，总共需测12次。若用组合测量，三个量都还是各测了4次，但总测量次数只有7次，较前减少了5次，而又能达到同样的目的。x=l1y=l2z=l3

x+y=l4y+z=l5x+z=l6x+y+z=l7第五十一页，共62页。5-52组合(zǔhé)测量基本概念通常组合测量数据是用最小二乘法进行处理，它是最小二乘法在精密测试中的一种(yīzhǒnɡ)重要应用。t个被测量(cèliáng)(t>1)n个误差方程式

求解n种组合(n>t)测得

最小二乘法第四节组合测量的最小二乘法处理

第五十二页，共62页。5-53【例题(lìtí)】要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离(jùlí)x1,x2,x3.已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求x1,x2,x3及其标准偏差。第四节组合(zǔhé)测量的最小二乘法处理第五十三页，共62页。5-54直接测量(cèliáng)各组合量Li，得首先列出误差(wùchā)方程0123xxx123LLLLLL123456第四节组合(zǔhé)测量的最小二乘法处理第五十四页，共62页。5-55由于(yóuyú)由此可得：第四节组合测量的最小二乘法(chéngfǎ)处理第五十五页，共62页。5-56则有第四节组合(zǔhé)测量的最小二乘法处理第五十六页，共62页。5-57那么(nàme)，测量数据的标准差为将最佳(zuìjiā)估计值代入误差方程中，得到求估计量的精度(j