高考数学二轮复习排列组合与二项式定理(理)张讲解学习

高考数学二轮复习排列组合与二项式定理(理)张1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．1．本部分内容在高考中所占分数大约在3%—6%之间．2．本部分考查的内容主要是：分类与分步计数原理，排列与组合及二项式定理的有关内容．3．命题规律：此部分在命题时，题目类型一般为选择或填空题，高考对本部分内容的考查特点是侧重基础，多数高考试题的难度与课本中习题难度相当，但在高考试卷中分值所占比例超过占总课时的比例．在解答题时，将可能出现与其它知识点(函数、不等式、几何等)相结合的综合题，有一定的难度．1．两个计数原理分类计数原理与分步计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．“分类”与“分步”的区别：关键是看事情完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘．(3)应用题①解排列组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．②常用策略：(a)相邻问题捆绑法；(b)不相邻问题插空法；(c)多排问题单排法；(d)定序问题倍缩法；(e)多元问题分类法；(f)有序分配问题分步法；(g)交叉问题集合法；(h)至少或至多问题间接法；(i)选排问题先取后排法；(j)局部与整体问题排除法；(k)复杂问题转化法．3．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1·b＋…＋Can－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn(n∈N*)．通项(展开式的第r＋1项)：Tr＋1＝Can－rbr.其中C(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即[例1]

(2011·浙江金华十校)有一项活动，需在3名老师、8名男生和5名女生中选人参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男生、女生各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？[分析]

根据“分类互斥”、“分步互依”合理地选用计数原理．[解析]

(1)有三类选人的办法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男生中选一人，有8种方法；5名女生中选一人，有5种方法．由分类计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步选人，第一步选老师，有3种方法；第二步选男生，有8种方法；第三步选女生，有5种方法．由分步计数原理，共有3×8×5＝120种选法．(3)可分两类，第一类又分两步：第一类，选一名老师再选一名男生，有3×8＝24种选法；第二类，选一名老师再选一名女生，有3×5＝15种选法．再由分类计数原理，共有24＋15＝39种选法．[评析]

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的在开始计算之前要进行仔细分析，确定需分类还是分步．(1)分类时要做到不重不漏，分类后再对每类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤恰好完成任务，当然步骤之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(2011·东北四市联考)计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有(

)A．24种 B．36种C．42种 D．60种[答案]

D[解析]

每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行，共有43＝64种安排方案；三个项目都在同一个体育馆比赛，共有4种安排方案；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有60种，故选D.[例2]

(2011·大连二模)由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的不重复的六位数中，不出现“135”与“24”的六位数的个数为(

)A．582 B．504C．490 D．486[答案]

C[解析]

先求出现“135”或“24”的六位数的个数：A·A＋A·A－A·A＝18＋96－4＝110，而组成的不重复的六位数的个数为：A·A＝600，因此不出现“135”与“24”的六位数的个数为：600－110＝490.[评析]

区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序有关．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(

)A．36种B．42种C．48种D．54种[答案]

B[解析]

分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位；中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第1位时有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法．依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42(种)编排方案.[例3]用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有____________个(用数字作答)．[分析]

排列组合问题，一般先选后排，要注意特殊元素或特殊位置优先的策略．[答案]

324[评析]

①排列组合问题常用方法有两类：即特殊元素优先考虑与特殊位置优先考虑两种．②遵循基本原则：先选后排，即先组合后排列．③注意做到不重复不遗漏．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．[答案]

264[解析]

由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，则A；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有2种，甲测“身高”“立定”、“肺活量”中一种，则3×3＝9，故A(2＋9)＝264种.甲乙丙丁上午台阶身高立定肺活量下午

[例4]如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(

)A．96 B．84C．60 D．48[分析]

可按花坛种花种数进行分类，最多用4种，最少用2种．[答案]

B[评析]

本例可看成是一类应用问题——涂色问题，它也是排列组合的一类综合应用问题．如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有(

)A．288种 B．264种C．240种 D．