人教版高数必修五第1讲正弦定理和余弦定理(学生版)

正弦定理和余弦定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教课要点：掌握正弦定理和余弦定理的观点，定义，公式的变形应用教课难点：公式的变形，解直角三角形的应用边与角之间的关系及变形，判断三角形的形状1、正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即ABC中，若A,B,C所对的边分别为a,b,c则____________2、解三角形一般地，我们把三角形的三个角及其________分别叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其余元素的过程叫做解三角形。利用正弦定理能够解决以下两类解三角形问题：（1）已知三角形的随意两角与一边，求其余边和角，有__________解；（2）已知三角形的两边与此中一边的对角，求其余的边和角。3、正弦定理的常有公式拓展：abc2R（R为ABC的外接圆半径）①sinCsinAsinB②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC（边化角公式）③sinAa,sinBb,sinCc2R2R2R

(角化边公式)1a:b:csinA:sinB:sinCabbcca2R⑤sinBsinBsinCsinCsinAsinAabc2R⑥sinBsinCsinA4、余弦定理①定理：三角形任何一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。②定义式：________________________5、余弦定理的变形式和特例①cosCa2b2c2,cosBc2a2b2,cosAb2c2a22ab2ac2bc②C90oc2a2b2③C60oc2a2b2ab④C120oc2a2b2ab⑤C30oc2a2b23ab⑥C45oc2a2b22ab6、余弦定理能够解决的两类三角形问题1）已知三边长，求三个内角；2）已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其余角。种类一：已知三角形两角及随意一边，解三角形；已知三边长，求夹角。例1：（2015山东潍坊一中月考）在ABC中，已知a8,B60o,C75o,则b等于（）A.43B.45C.46D.223练习1：在ABC中，若A60o,B45o,BC32,则AC()练习2：在ABC中，已知a2,B30o,A45o,求b例2：在ABC中，若a3,b1,c2,试求A练习3：在ABC中，若a3,b1,c2,试求B2练习4：在ABC中，若a3,b1,c2,试求C规律总结：已知边求角时，需运用正弦定理余弦定理公式及公式的变形。种类二：已知三角形两边及此中一角，解三角形；已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其余角。例3：(2014北京高考)在中，1ABCa3,b5,sinA,则（）315C.5D.1A.B.359练习5：（2015广东六校结盟第三次联考）)在ABC中，A45o,B75o,c2,则此三角形的最短边的长度是__________练习6：（2014广东深圳模拟）已知ABCa,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且a2,b3,cosB4则sinA的值_________5例4：设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若bc2a,3sinA5sinB,则角C为（）A.B.2C.3D.53463练习7：在△ABC中，b＝5，c＝53，A＝30°，则a等于()A.5B.4C.3D.10练习8：在△中，已知a2b2c2bc，则角A等于()ABC种类三：判断三角形形状及面积例5（：2015辽宁锦州月考）在ABC中a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若ccosAb,则ABC的形状为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上皆有可能练习9：在ABC中，假如a2sinBb2sinA,则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形练习：在ABC中，假如2c2sinA,则ABC的形状为()10asinCA等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形例6：在ABC中，AB3,AC1,B30o,则ABC的面积为____练习11：在ABC中，A60o,AC4,BC23,则ABC的面积等于多少例7：(2014·江西理)在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若c2＝(a－b)2＋6，Cπ＝3，则△ABC的面积是()3A.39333D.33B.2C.2练习12：以4、5、6为边长的三角形必定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)练习13：若2、3、x为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围为________．规律总结：做这块的种类题，娴熟应用正弦定理公式变形，面积的求解时需考虑三角形自己的角度问题。1.在△中，＝3，∠＝45°，∠＝75°，则等于()ABCABACBCA．3－3B．2C．2D．3＋32.在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b若2asinB＝3b，则角A等于()ππππA．12B．6C．4D．3已知△ABC外接圆半径是2cm，∠A＝60°，则BC边的长为__________．4.在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝2，则边a＝________.255．在△ABC中，B＝45°，AC＝10，cosC＝5，求边BC的长．6.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c知足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝()A.1B.3C.2D.244437.π)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝(4A.10B.10C.310D.5105105__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础牢固1.在ABC中，若B2A，a:b1:3，则A＝________.2.在ABC中，若b5,B,tanA2，则sinA＝________；a＝________.43.在ABC中，a3,b26,B2A求cosA的值；求c的值．4．等腰三角形的周长为8，底边为2，则底角的余弦等于（）4A.2B.22C.1224D.335．在△ABC中，已知a8,B60o,C75o，则b等于（）A.42B.43C.46D.3236.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A,a3,b1，则c（）3A.1B.2C.31D.3在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b能力提高8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若ccosA,则△ABC为()bA．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形9.在锐角三角形中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，设B2A，则b的取值范围是()aA．2,2B．0,2C．1,2D．2,310．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c若asinBcosCcsinBcosA1b，且ab，B＝(2则)A．B．C．2D．5633611．设a,b,c分别是△ABC中A,B,C所对边的边长，则直线xsinAayc0与bxysinBsinC0的地点关系是()A．平行B．重合C．垂直D．订交但不垂直12．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则AC边上的高为()32B.33C.3D.33A.22213.在△中，∠＝60°，2＝，则这个三角形是()ABCBbacA．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形7设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝9.求a、c的值；求sin(A－B)的值．15．在△ABC中，假如A60o,c4,a6,判断三角形解的状况．16.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形AB