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第五章不定积分微分法:积分法:互逆运算§5.1不定积分的概念、性质二、基本积分表

三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念1.原函数例定义.问题1:

在什么条件下,一个函数的原函数存在?定理1.

存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数原函数存在,则是否惟一?(个数问题)问题2:

定理2.

原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又故即属于函数族即(2)原函数之间的关系:注意：

(3)只要给一个原函数F(x)，所有的原函数就可以表示成:F(x)+C任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量2.不定积分定义.例1

求解解例2

求3、不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程。解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为从不定积分定义可知:或或——先积后导，是还原——先导后积，差一常数2)同一函数的不定积分的结果形式会不同.3)可用求导数的方法验证正确性.实例

由于积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。二、基本积分表基本积分表是常数);说明：积分公式导数公式积分公式导数公式（此性质可推广到有限多个函数之和的情形）三、不定积分的线性性质（积分法则）四.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质解例6

求积分例7

小结：1、称是的原函数2、不定积分3、不定积分的线性性质：或或——先积后导，是还原——先导后积，差一常数4.直接积分法:利用恒等变形,及基本积

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