广东省惠州市芦洲中学高二数学理期末试卷含解析

广东省惠州市芦洲中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线y=kx+b经过一、二、三象限，则有（）A．k＜0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0参考答案：C【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】根据直线对应图象经过的象限，确定直线斜率和截距的取值范围即可．【解答】解：∵直线y=kx+b经过一、二、三象限，∴直线y=kx+b的斜率k＞0，∴f（0）=b＞0，故选：C．2.函数的单调递增区间是 (

)A.

B.(0,3)

C.(1,4)

D.

参考答案：D3.△ABC中，a、b、c是内角A、B、C的对边，且lgsinA、lgsinB、lgsinC成等差数列，则下列两条直线，的位置关系是

A.重合

B.相交

C.垂直

D.平行参考答案：A本题涉及三角函数、数列与直线三章内容，具有较强的综合性，注重考查理性思维，灵活选用方法。本题采用特值法，令，不难选出A。4.点（-1，2）关于直线y=x-1的对称点的坐标是（A）（3，2）

（B）（-3，-2）

（C）（-3，2）

（D）（3，-2）参考答案：D因为解：设对称点的坐标为（a，b），由题意可知，解得a=3，b=-2，所以点（-1，2）关于直线y=x-1的对称点的坐标是（3，-2）故选D

5.一抛物线型拱桥，当水面宽2m时，水面离拱顶3m，当水面宽4m时，水面（

）（A）下降1m

(B)上升1m

(C)上升2m

(D)上升3m参考答案：B6.抛物线的准线方程是（

）。.

..

.参考答案：A略7.已知是函数的极小值点,那么函数的极大值为A.15

B.16

C.17

D.18参考答案：D8.已知抛物线y=﹣x2的焦点为F，则过F的最短弦长为(

)A． B． C．4 D．8参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】当AB与y轴垂直时，通径长最短，即可得出结论．【解答】解：由抛物线y=﹣x2可得：焦点F（0，﹣1）．∴当AB与y轴垂直时，通径长最短，|AB|=2p=4．故选：C．【点评】本题考查了抛物线的焦点弦长问题，利用通径长最短是关键．9.如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（0°＜θ＜90°）的平面所截，截面是一个椭圆．当θ为30°时，这个椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】NF：平面与圆柱面的截线．【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可求出题意的离心率．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，∵a2=b2+c2，∴c=，∴椭圆的离心率为：e==．故选：A．10.函数的图象为C，下列结论中正确的是(

▲

)A.图象C关于直线对称

B.图象C关于点（）对称C.函数内是增函数D.由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线上横坐标为2的点到其焦点的距离为________参考答案：略12.抛物线的准线方程为________.参考答案：13.已知不等式组的解集是不等式的解集的子集，则实数的取值范围是

．参考答案：

解析：由得；由得，

则等式组的解集是，而是不等式的解集的子集，则令，得且，得．14.P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可．【解答】解：由椭圆方程可知，a=5，b=3，∴c=4∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8在△PF1F2中，cos∠F1PF2=====cos60°=∴72﹣4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12又∵在△F1PF2中，=|PF1||PF2|sin∠F1PF2∴=×12sin60°=3故答案为315.已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，则的最大值为

．参考答案：根据柯西不等式，可得（）2=（1?+1?+1?）2≤（12+12+12）[（）2+（）2+（）2]=3[3（a+b+c）+3]=18当且仅当==），即a=b=c=时，（）2的最大值为18因此的最大值为3．故答案为：316.下列命题中_________为真命题．①“”成立的必要条件是“”；②“若，则，全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．参考答案：②④17.已知双曲线C：﹣=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A、B两点，且=3，则双曲线C的离心率的最小值为．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，根据=3，可得3x2﹣x1=2c，结合坐标的范围，即可求出双曲线离心率的最小值．【解答】解：由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，设A（x1，y1），B（x2，y2），右焦点F（c，0），∵=3，∴c﹣x1=3（c﹣x2），∴3x2﹣x1=2c．∵x1≤﹣a，x2≥a，∴3x2﹣x1≥4a，∴2c≥4a，∴e=≥2，∴双曲线离心率的最小值为2，故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足a1=1，|an+1﹣an|=pn，n∈N*．（Ⅰ）若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．参考答案：解：（Ⅰ）∵数列{an}是递增数列，∴an+1﹣an＞0，则|an+1﹣an|=pn化为：an+1﹣an=pn，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列an为常数数列，不符合数列{an}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|an+1﹣an|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{an}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{an}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+=﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评： 本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大考点： 数列的求和；数列递推式．

专题： 等差数列与等比数列．分析： （Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{an}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|an+1﹣an|=pn”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{an}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{an}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．解答： 解：（Ⅰ）∵数列{an}是递增数列，∴an+1﹣an＞0，则|an+1﹣an|=pn化为：an+1﹣an=pn，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列an为常数数列，不符合数列{an}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|an+1﹣an|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{an}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{an}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+=﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评： 本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大19.已知向量＝，，向量＝(，－1)

(1)若，求的值?；(2)若恒成立，求实数的取值范围。参考答案：(1)∵，∴，得，又，所以；(2)∵＝，所以，又??∈[0，?]，∴，∴，∴的最大值为16，∴的最大值为4，又恒成立，所以。20.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表

送餐单数

38

39

40

41

42

天数10

15

10

10

5乙公司送餐员送餐单数频数表

送餐单数

38

39

40

41

42

天数5

10

1020

5（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.参考答案：（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，则.(2)①的可能取值为228,234,240,247,254.;;;;.所以X的分布列为：X228234240247254P所以.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为。所以甲公司送餐员日平均工资为元。由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元。因为238.8241.8，故推荐小王去乙公司应聘。21.已知椭圆的焦距为，短半轴长为2，过点P（﹣2，1）斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求弦AB的长．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知可得：2c=4，b=2，a2=b2+c2，联立解得即可得出．（2）直线l的方程为：y﹣1=x+2，即y=x+3．设A（x1，y1），B（x2，y2）．与题意方程联立化为：4x2+18x+15=0，利用弦长公式|AB|=即可得出．【解答】解：（1）由已知可得：2c=4，b=2，a2=b2+c2，联立解得：c=2，b=2，a2=12．∴椭圆C的标准方程为=1．（2）直线l的方程为：y﹣1=x+2，即y=x+3．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：4x2+18x+15=0，∴x1+x2=﹣，x1?x2=，∴|AB|===．【点评】本题考查了题意的标准方