课外拓展系列-几何图形(初一数学)教学内容

课外拓展系列--几何图形(初一数学)线段、射线和直线直线的基本性质：

经过两点有一条而且只有一条直线，即：两点确定一条直线。

线段：连接A、B两点的线

读作：线段AB或线段BA或线段a。射线：以A为端点，经过点B的线

读作：射线AB直线：经过A、B两点的线

读作：直线AB，或直线BA，或直线l·ABABABal线段的长短比较、及线段的和差线段的基本性质：

在所有连接两点的线中，线段最短。即：两点之间线段最短。

连结两点的线段的长度，叫做两点间的距离。

线段AB与AC长度相等，记为：AB=AC线段的中点：

点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫做线段AB的中点。AB=2AC=2BC线段、射线、直线的区别：

直线没有端点，不可以度量；线段有两个端点，可以度量；射线只有一个端点，不可以度量。思考?能不能说直线的长度是射线的2倍。例题精讲培优P.125-127例：5、6及探究提升例：P是线段AB的中点，点C、D把线段AB三等分。已知线段CP的长为1.5cm，求线段AB的长。ABCDP【分析】已知长度的线段是CP=1.5cm，求线段AB的长。因此，要是能够知道CP与AB的关系，就能求出AB的长了。解：∵点P是线段AB的中点

∴AP=BP=AB

∵点C、D把线段AB三等分

∴AC=CD=DB=AB

∵AP-AC=CP

∴AB

-AB=CP,即AB=6CP=6×1.5=9（cm）例题精讲例2：1)点A、B、C、D、E都在同一条直线上，若AB=a，AD=b，CD=c，CE=d，试用a、b、c、d来表示线段BE的长。2)点C是线段AB上任意一点，点M、N分别是线段AC、BC的中点，已知AB=12,求MN的长。【分析】首先需要学会通过题目画示意图。1）学会用小写字母来表示线段的长，找出线段间的关系，并用已知长度的线段，来表示所求线段。2）线段长度间的等量关系，主要是通过线段的和差关系进行计算。题2）的关键是中点。ABCDEbadcABCMN解：1）∵BC=AD-AB-CD=b-a-c

∴BE=BC+CE=b-a-c+d2）∵点M、N分别是AC、BC的中点

∴MC=AC/2,NC=CB/2

∴MN=AC/2+CB/2=(AC+CB)/2=AB/2=6例题精讲例4：A、B、C、D为同一平面内的4个点，通过这4个点可以确定几条直线？【分析】本题考核的是平面内点与直线之间的关系。其中最重要的性质为两点确定一直线。根据点出现的位置关系，能确定直线的数量是不同的。解：当平面内四个点中，任何3点都不在同一直线时，每两点可以确定一条直线，即可以确定6条直线。

当平面内4个点中，有3个点在同一条直线时，可以确定4条直线。

当4个点共线时，只能确定1条直线。例题精讲例5：在某张高度一定的桌子上放置两块相同的木块，如图所示，R=77cm，S=63cm，求桌子的高度。【分析】这是一个将实际问题转换为线段问题的应用，我们可以对未知量或中间值，用字母来替代，以方便解题。解：设桌子的高度为x厘米，木块的长为a厘米，宽为b厘米，则有：x+a-b=77x+b-a=63

两式相加得：2x=140，即x=70答：桌子的高度为70cm。RS角与角的度量角：由两条有公共端点的射线所组成的图形。

或者说：由一条射线绕它的端点旋转而成的图形。

角的顶点：角的公共端点。

角的始边：起始位置的射线。

角的终边：终止位置的射线。O(顶点）AB终边始边α角的表示方法：

用符号“∠”表示，读作：角1、用三个大写字母表示角：如∠AOB2、用数字或希腊字母表示：如∠α3、在不引起混淆的前提下，用角的顶点来表示：如∠O角与角的度量平角：终边旋转到和始边成一条直线的角周角：终边旋转到与始边重合的角测量角的大小，可以使用量角器。角的基本度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）1°=60′1′=60″例1、单位转换：用度表示30°9′36″。

∵36″=36÷60′=0.6′9.6′=9.6÷60°=0.16°

∴30°9′36″=30.16°例2、计算：160°35′-（45°17′36″-30.16°）【分析】注意单位是否统一。角与角的度量角的平分线：从一个角的顶点引出，把这个角分成两个相等的角的一条射线。ABOC射线OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=

∠AOBD例1、设∠AOB=60°，∠BOD=145°，OC平分∠BOA,求∠DOC的度数。【分析】∵OC平分∠BOA，∴∠BOC=∠AOC=30°

∴∠DOC=∠BOD-∠BOC=145°-30°=115°余角和补角互为余角：和等于直角的两个锐角，其中一个角是另一个角的余角。即：若∠α+∠β=90°，则∠α是∠β的余角。互为补角：和等于平角的两个角，其中一个角是另一个角的补角。即：若∠α+∠β=180°，则∠α是∠β的补角。基本性质：

同角或等角的余角（补角）相等。123例：两个长方形如左图叠合，则∠3=∠2。请说明理由。∵∠1+∠2=RT∠∠1+∠3=RT∠即∠2、∠3都是∠1的余角∴∠3=∠2例题精讲例1：计算10点15分时，时钟上时针和分针所成的角度。【分析】根据题目画出示意图，是解题的基本要求。画图的目的是为了方便分析。时钟上，每相邻两个数字间的角度为30°，而分针走一圈，时针走一格。解：以10点作为参考点，此时时针与分针正好相差2格，即60°。

∵当分针走15分钟时，顺时针方向转了90°

∴如设时针同时顺时针方向转过的角度为x，则有：30：360=x：90

得：x=7.5°

∴此时时针与分针所成角度为：60°+90°-7.5°=142.5°39121011例题精讲例2：点A、O、B在同一条直线上，OC平分∠AOD，OE平分∠BOC，若∠EOD=15°，求∠COD的度数。【分析】根据题目意思画出图形是做几何题最基本的能力。同时，学会在图上用数字表示角。OABDCE1234解：∵OE平分∠BOC，OC平分∠AOD

∴∠4=∠2+∠3，∠1=∠2

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°

即：2∠2+∠3+∠2+∠3=180°

化简，得：3∠2+2∠2=180°

∵∠3=∠EOD=15°

∴∠2=50°例题精讲例3：时钟从3时到时针与分针第一次重合时，时针和分针转过的角度分别是多少？【分析】先画出示意图。其次弄清楚时针与分钟在相同时间转过的角度的关系。很明显，分针与时针转过的角度是成比例关系的。31211CAB解：设当第一次重合时，时针转过了α°，则有：30：360=α：（90+α）

解得：α=8.2°

则：90°+8.2°=98.2°

∴时针转过的角度为8.2°，分针转过98.2°。思考？小学里我们用什么方法来做钟面问题的？例题精讲例5：在线段AB上任取198个点，连同A、B两点共有200个点，问以这200个点中的两点为端点的线段有多少条？【分析】最简单的方法，我们一条一条数，但这很花时间。那么我们开始找规律：1、从左边的点开始，不断往右边的点数线段，得到的数是199、198……，最后把这些数字加起来，就是线段的条数。2、以线段上有几个点为依据对线段进行分类。只有2个点的线段有199条，3个点的有198条，……200个点的线段1条。把这些数加起来，就能得到结果。3、能用以上两种方法去找规律，说明你是一个很棒的小学生。我们还可以再想想，是不是每两个点就能组成线段。因此，200个点中选取2个点，共有200×199÷2=19900种选法。所以，满足条件的线段有19900条。直线相交两条直线相交：只有一个公共点的两条直线，公共点叫做这两条直线的交点。对顶角：两条直线相交，其中相对的任何一对角。对顶角的顶点相同，角的两边互为相反延长线。基本性质：对顶角相等。互相垂直：是特殊的相交。两条相交的直线所构成的四个角中，有一个是直角。其中一条直线是另一条的垂线。交点称作垂足。平行线：在同一平面内，互不相交的直线。性质：两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角

互补。判定方法：1）利用性质；2）平行于同一直线的两条直线平行；3）垂直于同一直线的两条直线平行。垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。（简单的说：垂线段最短）ABP从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

垂线段PO的长度就是点P到直线AB的距离。O例题精讲例1、判断下列说法是否正确：1）相等的两个角，一定是对顶角；

错。对顶角有两个条件：顶点相同，角的边互为反向延长线。2）过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行；

对。这是平行线公理。3）过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线垂直；

错。前题条件是同一平面内，立方体中可以找到不止一条。4）在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；

对。通过平行线判定公理可以得出。5）垂直于同一条直线的两条直线平行；

错。在同一平面内成立，但在立体空间中不对。6）如果平面α内有两条直线和平面β平行，那么α//β；

错。应该为“两条相交的直线”。7）如果直线m与平面α上的一条直线平行，那么m//α；

错。应该为“不在平面α内的直线m”。8）如果直线l与平面α内的两条直线垂直，那么l⊥α。

错。应该为“两条相交的直线垂直”。例题精讲例2、如图，直线AB与CD不平行，点P在AB上，PQ⊥CD于Q，指出下列说法哪些是正确的，哪些不正确。1）线段PQ的长度叫做直线AB到CD之间的距离；2）线段PQ的长度叫做点P到直线CD的距离；3）线段PQ的长度叫做点Q到直线AB的距离；4）线段PQ的长度叫做点P与点Q间的距离。【分析】本题是关于距离的问题。需要弄清楚三个概念：1、点到点的距离；2、点到直线之间的距离；3、两平行直线之间的距离。

因为AB与CD不是平行线，所以不存在两直线间的距离。

而点到直线的距离，是过点向直线作垂线，垂线段的长度才是点到直线的距离。

连接两点间的线段长度叫做两点间的距离。

所以，1、3错，2、4正确。例题精讲例3、如图，已知AB//CD，∠1=40°，∠2=55°，

求∠3和∠4的度数。解：∵AB//CD

∴∠1=∠5

∠4=∠2+∠6（同位角相等）

∵∠2+∠3+∠5=180°

∠5=∠6（对顶角相等）

∴∠3=180°-∠2-∠5=180°-∠2-∠1=85°

∠4=∠2+∠1=95°123564ABCD例题精讲例4、如图，BD//AG//EC，∠DBA=62°，∠ACE=36°，PA平分∠BAC，求∠PAG的度数。【分析】本题已知条件有直线平行，角平分线。因此，可以从这两个角度去找角之间的关系。解：∵BD//AG//EC

∴∠GAB=∠DBA=62°

∠GAC=∠ECA=36°

∵PA平分∠BAC

∴∠BAP=∠PAC

∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=2∠PAC

∴∠PAC=49°

∴∠PAG=∠PAC-∠CAG=49°-36°=13°

DEBCAPG例题精讲例5、如图，∠B+∠C+∠D+∠E=540°，求证：AB//EF。【分析】要证明两条直线平行，先来回忆下判定条件：1）利用平行线性质（同位角相等，内错角相等，同旁内角互补）；2）平行于同一直线的两条直线平行；