5 场论和路论的关系

§5.1引言一位合格的电子或电机工程师应该兼备电磁场理论和电路理论的知识。电路，即使相当复杂的电路，对于多数电子工程师来说，仍是较易理解和熟悉的。电路网络的综合与分析、电路的计算机优化技术和数字电路技术的广泛应用，充分显示出电路理论的重要性。但是由于人们对经典电路理论的实用性印象极深，而电磁场理论却相对比较抽象，以至于人们有时竟不知不觉将电路理论和电磁场理论割裂开来，认识不到两者的内在联系。本章的目的是建立场论和路论之间的统一关系，强调场论的普遍性，旨在证明，在电路尺寸远小于工作波长时，路论是可以由麦克斯韦方程组导出的近似理论。在电路理论中，电压和电流是两个基本的物理量，电阻、电感和电容是重要的电路参数。根据电路理论，在分析复杂的电路系统时，总是先采用理想的模型，把实际电路看成是由理想的电阻、电感和电容组成的，把电路的电阻全部集中在上，电感全部集中在上，等等。就是说，电阻只是耗能元件,磁能只储存在电感中，而电能只储存在电容中，同时假设连接、和的导线是理想的，其阻抗为零。在此假设基础上，应用克希荷夫定律和其他电路定律求解大多数直流和低频电磁问题，可以得到令人满意的结果。某些射频电磁问题，如传输线，在引入分布参数电路概念后，仍可使用电路理论进行研究。电路理论容易为人理解接受，应用方便，好像无需场论的介入，其实不然，本章将给予说明。在场论中，电场强度、电位移矢量、磁感应强度和磁场强度是四个重要的场量，而有关媒质的参数为电导率、磁导率及介电常数。后面几节的讨论将表明，它们和电路参数存在一定的对应关系。应用麦克斯韦方程组，可以对所有宏观电磁现象做出解释，例如，电小尺寸元件中的场具有准静态性质，尽管电场和磁场是时变场，但其空间分布仍具有静态场的特性。实际上电路参数、和是完全可以根据场论算出的。仅这一点就说明路论和场论是不可分割的。§5.2电阻5.2.1欧姆定律欧姆定律是电路的基本定律之一。它反映电阻两端电压和流经电阻的电流的关系，即(5.1)式中电阻表示消耗电能的理想电路元件。电阻的单位为欧姆()。图5.1一段均匀直导体中的电流欧姆定律只是在线性、各向同性媒质的假设下才成立。欧姆定律只给出电路中的积分结果，不涉及电流在电阻元件中的分布情况，也不涉及元件中各点电场强度的大小和方向，以及电阻元件的形状、大小或种类，例如阻值为欧姆的电阻可由一段尺寸均匀的直导线构成，也可以由形状不规则的导体构成；可以为炭膜电阻，也可以为金属膜电阻，等等。描述它们电路特性的都是方程(5.1)。这个方程简单明了而又实用。图5.1一段均匀直导体中的电流根据场论，在第三章中我们已得到一个和导电媒质特性有关的物态方程，即(5.2a)式(5.2a)称为欧姆定律的微分形式，式中为电流密度，为媒质的电导率，为电场强度。和都是矢量，对于线性各向同性媒质，和的方向一致。式(5.2a)中的电流场可以是均匀的，也可以是不均匀的。式(5.2a)亦可写为(5.2b)式中称为导电媒质的电阻率，单位为欧姆•米(•m)。尽管式(5.2)不如式(5.1)那样直观易懂，但微分形式的欧姆定律却反映导电媒质中每一点的性质，因此具备更精细、更普遍的特点。下面证明欧姆定律式(5.1)可由微分形式的欧姆定律式(5.2)导出。为简单起见，在直流电路中取一段均匀导体，其长度为，截面积为，如图5.1所示。图5.1也可以看成均匀电流场中取出的一段长为，截面积为的电流管，端面与电流线正交，导体两端面为等位面，则两端面间电压降为(5.3a)将式(5.2b)代入式(5.3a)得对于均匀直导体，上式积分得(5.3b)比较式(5.3b)和式(5.1)得(5.4)为均匀直导体的电阻。由此可见，在场论基础上，可以导出欧姆定律式(5.1)。5.2.2焦耳定律在一段含有电阻的电路中，计算损耗功率的关系式为(5.5a)或(5.5b)通常式(5.5)称为焦耳定律，适用于稳态和似稳态电路。式(5.5)也可根据场论推导出来。导电媒质中自由电子在电场力作用下运动，运动过程中电子和结晶点阵不断发生碰撞作用，电子的动能被转化为热能称为功率损耗。设电子电荷在电场力作用下移动距离，则电场力做功为(5.6)相应的功率为(5.7)式中为电子漂移速度，体积元中全部自由电子的损耗功率为式中为单位体积中的电子数；由第三章可知为传导电流密度，于是或(5.8a)因所以(5.8b)式(5.8)是恒定电场的功率密度关系式，也是焦耳定律的微分形式，表示单位体积中损耗的电功率。在体积为的一段导体中，总的损耗功率为(5.9)对于一段均匀直导体的情况，(如图5.1),令，和电流线一致，和电流线垂直，则所得结果和(5.5a)式一致。这又一次反映了场论和路论的统一关系。5.2.3电阻的计算图5.2不规则形状的导体均匀直导线的电阻计算公式(5.4)是简单的，但当导电媒质(即导体)的形状不规则时，电流密度的分布将是不均匀的。在这种情况下，需要用积分方法计算电阻。如图5.2所示，设和电流线垂直的两个端面为等位面，两端面之间的电压降为图5.2不规则形状的导体式中的积分路径规定由低电位到高电位。这和电位梯度的定义是一致的。通过任意横截面的电流为根据定义可得到两端面间导电媒质的电阻为(5.10)【例5-1】有一扇形导体，电导率为，厚度为，圆弧半径分别为和，两侧平面的夹角为，如图5.3所示。求:(1)沿厚度方向的电阻；(2)两圆弧面间的电阻；(3)两侧平面间的电阻。图5.3扇形导体的电阻解(1)上下扇面分别为等位面，其中电场为均匀场，设该电场为，上下底面间的电压为图5.3扇形导体的电阻上下面间的电流密度为于是总电流为厚度方向的电阻为(2)两圆弧面为等位面，其中电场沿径向变化，设沿径向流过的电流为，则其间任意弧面上的电流密度为又因为所以其间电场为两弧面之间的电压为于是电阻为(3)两侧面分别为等位面，其中电场与有关，与无关，设两侧面间电压为，则得电场电流密度为电流为两侧平面间的电阻为§5.3电容5.3.1双导体的电容电容是电路理论中重要的电路参数。电容器则是重要的电路元件，在路论中它也是一种理想元件。根据定义，孤立导体的电容为式中为导体所带的电荷量，为导体的电位。其实孤立导体的电容是指该导体与无穷远处的另一导体间的电容。电容的概念也是以场论为基础引出的。电容的单位为法拉，用表示，工程上实用的电容单位为微法(法)，用表示，以及皮法(法),用表示。由两个导体组成的系统的电容为(5.11)式中为带正电导体的电荷量，为两导体间的电压。根据高斯定律式中为包围带正电导体的曲面，为导体周围媒质的介电常数。正负极性导体间的电压为单位正电荷由负导体运动到正导体时，外力对正电荷所做的功，即于是式(5.11)可表示成(5.12)由上式可见，欲计算两导体间的电容，必须求出其间的电场。电容由电量和电压的比值定义，对于线性媒质的情况，和导体系统的及本身的大小无关。这是因为，如果导体的电荷量增大倍，电场强度也增大倍，其比值保持不变，导体系统电容的大小只和导体的几何尺寸和形状及其周围媒质的介电常数等因素有关。图5.4径向极板的电容【例5-2】如图5.4所示，电容器可以用圆柱坐标系表示，一极板位于平面，另一极板和面成角，电容器高为，径向尺寸，内部填充介质的介电常数为，求电容。图5.4径向极板的电容解忽略边缘效应，由边界条件判断，则极板间电场与有关，与无关，设两极板间电压为则①在的极板处，根据电场边界条件②由式①和式②得在极板上总电荷为③所以电容为④【例5-3】一无限长同轴电缆的内外半径分别为和，其间填充介电常数为的介质，如图5.5所示。求同轴电缆单位长度的电容。解设内导体单位长度带电量为，电荷将均匀分布在导体表面上，内外导体间的电场具有轴对称性，在内外导体之间取单位长度的闭合柱面，在该闭合面上应用高斯定律图5.5同轴电缆截面图图5.5同轴电缆截面图即所以内外导体间的电压为同轴线单位长度电容为5.3.2部分电容对三个以上导体组成的系统，电容概念需要进行扩充，如图5.6所示。若在一平行板电容器中置入一金属球，由于静电感应，面对正极板的一侧带负电，而面对负极板的一侧带正电，其结果将使平板电容器正负两极板间的电位差变小，而极板上总电荷量仍维持不变。这样导致了平行板间的总电容增大。式中、和称为导体系统的部分电容，其等效电路如图5.7所示。图5.6含金属球的平行板电容器图图5.6含金属球的平行板电容器图5.7三导体系统的等效电路(5.13)式中为常数，称为电位系数，其大小与导体系统的几何参数有关。图5.8图5.8个导体系统(5.14)式中为电位系数矩阵。式(5.14)可改写为(5.15)式中为电容系数矩阵，显然。可以证明，电位系数和电容系数均具有互易性，即，(5.16)令(5.17)(5.18)进行适当变换后，式(5.15)可变为以和表示的关系式，即(5.19)式中代表第个导体自身的电容，被称为自电容，即第个导体与大地（或无穷远处）之间的电容。而代表第和第个导体间的电容，被称为互电容，自电容与互电容统称为部分电容。可见，所有导体与大地之间以及任意两个导体之间都存在着部分电容。对于由个导体组成的系统，部分电容的总数为。电路中常用的电容器一般由两个导体组成，并标有明确的电容值。如果两导体中，有一导体被另一接地导体完全包围，即两导体之间的电场完全被限制在两导体之间时，电容值具有明确的物理意义。设导体2接地，导体1被2完全包围，即，。由式(5.19）得：(5.20)因为，则及实际上此电容器的电容值就是两导体之间的互电容。当导体2不接地，没有静电屏蔽作用，即，。由式(5.19)可得图5.9三导体系统各部分电容的关系(5.21)图5.9三导体系统各部分电容的关系上式表明，两导体上带的电荷量不仅与两导体间的互电容有关，而且与两个导体的自电容及有关，因此，且不能以一个电容来说明导体上的电量与其电位之间的线性关系，而必须采用部分电容的概念来说明。由此可见，对于三个导体以上的多导体系统只能用部分电容来描述。图5.9给出了三导体系统的各部分电容的相互关系。 §5.4电感5.4.1自感电感也是一个重要的电路参数，包括自感和互感，在正弦交流电路中，若只含一个纯电感时，如图5.10(a)所示。电感上的电压和电流的关系为(5.22)当电路包括两个以上电感线圈时，如图5.10(b)所示。电感上的电压和电流的关系为(5.23)式中、和也是从电磁场理论出发得出的。（（a）电感电路（b）互感电路图5.10电感和互感图5.11单匝线圈的自感设载有电流的单匝线圈与其交链的磁通为，如图5.11所示。假设线圈内外不存在铁磁性物质，则和之间存在线性关系，比值是一个常数。图5.11单匝线圈的自感(5.24)式中称为自感系数，简称为自感，它取决于线圈的几何形状和尺寸以及磁介质的磁导率，自感的单位为亨，工程上的实用单位为毫亨或微亨。式中磁通为(5.25)根据矢量磁位的定义，及斯托克斯定理，可以得到的另一表达式(5.26)式中为线圈回路。将式（5.26）代入式(5.24）中，得(5.27)若有匝相同的线圈，则得磁链，及相应回路的电感(5.28)(5.29)式(5.27)和式(5.29)都是由单个载流回路定义的自感，亦称电感。上述自感只考虑了载流导线外部环面内的磁通，称为外自感；而导线内部的磁场在导线内部区域产生的磁通，同样与电流相交链，其磁链与电流的比值称为内自感。所以单个载流回路的自感应为内自感和外自感之和，即(5.30)式中为内自感，为外自感。【例5-4】一空气同轴线，内导体的外半径为，外导体的内半径为，设外导体的壁厚很小，求同轴线单位长度的电感。图5.12同轴线横截面解同轴线的内外导体构成电流回路，在直流或低频情况下，电流在导体截面中均匀分布，由于对称性，磁场也只存在方向分量。同轴线单位长度的电感可分为内导体中的内自感，内外导体之间的外自感，和外导体中的内自感三部分。图5.12同轴线横截面内导体的内自感如图5.12所示，由安培环路定律得于是穿过宽度为和单位长度的截面的磁通量为此处磁通只和半径为的圆截面内的电流交链。因此与电流相交链的磁链为在内导体内的总磁链为根据定义，内导体单位长度的内自感为(H/m)①内自感也可以通过能量关系求出=所得结果相同(H/m)内外导体间的外自感根据安培环路定律于是内外导体之间单位长度上的磁通为同轴线单位长度的外自感为(H/m)②(3)外导体中的内自感按题意，外导体的壁很薄，可以认为电流只在的壁面上流动，这样外导体中的内自感为零。于是同轴线单位长度的总电感为(H/m)③若考虑外导体的壁厚，为外导体的外半径，需给出外导体的内自感。利用能量关系也可方便地算出(H/m)此时，同轴线单位长度的总电感为【例5-5】一非常长的非磁性圆柱的半径为，每单位长度上紧密缠绕匝线圈，形成空芯电感器(螺线管)，若通过线圈的电流是恒定的。求该电感器单位长度上的电感。解该螺线管内部的磁感应强度可由安培环路定律求出。如图5.13所示，构造一个长度为的矩形围线，显然，螺线管外部没有磁场，则即可见，螺线管内磁场是均匀的，那么半径为的圆柱体内的磁通量为所以，该电感器单位长度的电感为图5.13载流长螺线管图5.13载流长螺线管5.4.2互感如果空间存在两个载流线圈和，如图5.14所示。线圈中电流产生的磁场，穿过自身环面的磁通量为，已知该磁通量与电流的比值称为线圈的自感。显然，若磁场穿过线圈的磁通量为，该磁通量与电流成正比，则和电流的比值称为线圈对线圈的互感系数，简称为互感。互感的单位也是亨。即图图5.14两个线圈间的互感(5.31)式中，是以回路为边界的曲面。同理，线圈对线圈的互感为(5.32)及(5.33)式中为电流产生的磁场穿过回路的磁通，是以为边界的曲面。如果两个载流回路分别由和匝线圈组成，则互感变为(5.34a)(5.34b)不难证明，线圈回路间的互感是互易的，即如图5.14所示，电流和线圈交链的磁通为(5.35)已知矢量磁位为代入式(5.35)得(5.36)同理可写出(5.37)式(5.36)和式(5.37)分别代入式(5.31)和式(5.32)后得(5.38)式(5.38)称为聂曼公式。多匝线圈回路的互感同样也具有互易特性。互感的大小和线圈的几何形状及尺寸有关，也和线圈之间的相互位置有关。【例5-6】如图5.15所示，求无限长直导线和直角三角形导线回路间的互感。图5.15直导线和三角形回路间的互感解令三角形回路为，电流为，无限长直导线为，电流为，均为单圈回路，根据互感定义，有图5.15直导线和三角形回路间的互感①②由此可见，互感可以通过式①和式②求出。很明显，三角形回路中由电流在空间产生的磁场不易计算，因为在三角形中电流在三个有限边长中流动，且流动方向各异，另外，无限长直导线的闭合回路面积也不好确定，看来由式①和②计算互感较方便，而的计算却不容易。由安培环路定律，无限长直导线中电流产生的磁场③将式③代入式②④式中为三角形域⑤又⑥将式⑤和式⑥代入式④后于是又可根据互易特性得到5.5基尔霍夫定律和麦克斯韦方程克希荷夫定律包括节点电流定律和回路电压定律。这两个定律是经典电路理论的基础，它们也可以由麦克斯韦方程推导出来。5.5.1基尔霍夫电流定律如图5.16所示，以流出网络节点的电流为正，从节点流入的电流为负，那么，基尔霍夫电流定律可以表述为：任一瞬时任一节点的电流的代数和恒为零，换句话说，流入该节点的电流必等于从该节点流出的电流，其数学表达式为图5.16节点电流图5.16节点电流这个定律的物理意义是很明显的，表明电荷是守恒的，电荷不会在节点处积累或消失，换句话说，电流在节点处是连续的。下面再由场论出发进行讨论，根据电流连续性定律(5.40)式中为围绕一节点的任意封闭曲面。等式左边为流入和流出闭合面的所有传导电流的总和。即应用高斯定律，式（5.40）右边为代入式(5.40)并移项即结果和式(5.39)一致，此时可为传导电流或位移电流，则代表节点处这些电流的代数和，这样就证明了基尔霍夫电流定律。5.5.2基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律可以描述为：任一瞬时网络中任一回路内全部电压降的代数和为零，即(5.41)式中包括电流在流过电路元件，如电阻、电感和电容时产生的压降，也包括回路中电源的电动势。基尔霍夫电压定律实际上是能量守恒原理的体现。基尔霍夫电压定律的理论基础是法拉第电磁感应定律(5.42)而式中为矢量磁位，代入式(5.42)后，再利用斯托克斯公式，可得(5.43)即(5.44)式(5.44)旋度为零，这样括号部分可表示为某一标量的梯度或(5.45)式中标量位是由电荷建立的，矢量位是电流建立的。关于时变场的电位和矢量位的进一步讨论见第八章，我们在这里只用于推导基尔霍夫电压定律。式(5.45)中的电场，包括电源产生的电场称为外施场，用表示，和电路中某点的电场用表示。即(5.46)根据导体中的欧姆定律(5.47)图5.17图5.17、和串联电路(5.48)式(5.48)就是以场量表示的克希荷夫电压定律，为电源提供的外施电场，等号右边三项分别为电阻、电容和电感元件中的电场。为了看得更清楚些，我们可以将式(5.48)写成积分形式，积分路径沿着网络回路进行。(5.49)图5.17为一个由直流或低频电源、电阻、电感和电容组成的串联电路，假定回路的全部电阻都集中在一段代表的电阻器上，全部电感集中在段的电感线圈中，全部电容集中在段电容器中，假定连接电阻器、电感器和电容器的线段、、和是阻抗为零的理想线段，电源的内阻也为零。式(5.49)中等号左边的积分等于电源的电动势，因外施场只存在于电源内，所以(5.50)式(5.49)中等号右边第一项积分代表在回路电阻上的压降(5.51)已知电路的电阻为(5.52)于是(5.53)式(5.49)等号右边第二项积分代表在回路电感上的压降(5.54)根据电感定义 （5.55）若电感是常数，且只存在于一段，式(5.55)可写成(5.56)式(5.49)中最后一项代表在回路电容器上的压降，电容只存在于一段，电容器中的电场于是(5.57)根据电容定义，式(5.57)可写成式中为电容器的电容，为电容器极板上的电荷量，又于是(5.58)将式(5.50)、式(5.54)、式(5.56)及式(5.58)代回式(5.49)后得(5.59)或(5.60)即这样就导出了克希荷夫电压定律。因此克希荷夫电压定律又可表述为：沿闭合回路中的电动势等于回路中的全部电路元件上电压降的代数和。图5.18图5.18互耦电路根据互感定义于是在图中左边回路中感应的电压为(5.61)这样式(5.60)改写为(5.62)其一般表达式仍为对于复杂网络的任一网孔的回路，及网孔回路中有多个电源及多种电路元件的情况，克希荷夫电压定律也照样成立，不另证明。若图5.18中连接的是正弦低频交流电源，则式(5.59)可以用相量表示令于是(5.63)式(5.63)是我们最熟悉的正弦交流电路复阻抗的欧姆定律。结束本节的讨论时，有必要再次指出，上述克希荷夫电路定律在稳态和似稳态条件下才成立。§6.1引言麦克斯韦方程指出：在空间任意点，时变的电场将产生时变的磁场，时变的磁场将产生时变的电场；同时在位置上向邻近点推移。可以想象，当空间存在一个激发时变电磁场的波源时，必定会产生离开波源以一定速度向外传播的电磁波动。这种以有限速度传播的电磁波动称为电磁波。在电磁波传播的过程中，对应于任意时刻，空间电磁场中具有相同相位的点构成等相位面，或称波阵面。波阵面为平面的电磁波称为平面电磁波。如果在平面波阵面上，每点的电场强度均相同，磁场强度也相同，这种电磁波称为均匀平面电磁波。在距离产生电磁波的源很远处，球面波阵面上的一小部分可视为平面，该处的电磁波可视为均匀平面电磁波。本章研究均匀平面电磁波在各种媒质中传播的基本规律，其中以无界、线性、均匀和各向同性媒质中的传播为主要对象，本章也将讨论不同媒质界面上波的反射和透射现象。§6.2时变电磁场波动方程麦克斯韦方程反映了宏观电磁现象的一般规律，因此，电磁波在媒质中传播的基本规律可以从求解具体边界条件和初始条件下的麦克斯韦方程来获得。在无界、线性、均匀和各向同性并且不存在自由电荷的理想介质中，麦克斯韦方程组为(6.1a)(6.1b)(6.1c)(6.1d)对第一个方程两边取旋度，得(6.2)应用矢量恒等式将代入上式得出(6.3)将式(6.1b)代入式(6.2)可得(6.4)图6.1图6.1均匀平面波(6.5)方程(6.4)和(6.5)分别称为无界、均匀、线性、各向同性的理想介质中磁场强度和电场强度的波动方程，亦称为时变亥姆霍兹方程。对于均匀平面电磁波，由于其场强值在波阵面上处处相等，因此描述这种电磁波的波动方程可将一般方程(6.4)和(6.5)简化成一维波动方程。对于图6.1所示的均匀平面电磁波，如以方向表示波的传播方向等相位面与面平行，则根据均匀平面波的定义可直接写出(6.6a)(6.6b)将式(6.6b)代入麦克斯韦第一方程，得出(6.7)方程两端在同一方向的分量必须相等，因此有(6.8a)(6.8b)(6.8c)由式(6.8c)可见，分量与时间无关，因为与时间无关的恒定分量不是波动的部分，故可取，这就意味着，电场没有与传播方向平行的分量，说明电场的分量位于与波的传播方向垂直的平面上。因此电场强度可表示为(6.9)将式(6.6a)和式(6.9)代入麦克斯韦第二方程，得(6.10)由此得出(6.11a)(6.11b)(6.11c)由式(6.11c)看出，也与时间无关，因此它不是波动的部分，故可取，从而有(6.12)由此可见，均匀平面波的电场和磁场均无传播方向的分量，只有与传播方向垂直的分量。即对传播方向而言，电场和磁场只有横向分量，没有纵向分量，这种电磁波称为横电磁波，简写为波。将式(6.12)代入式(6.4)中，得亥姆霍兹方程的标量形式(6.13a)(6.13b)同理，将式(6.9)代入式(6.5)中，得(6.14a)(6.14b)方程(6.13)和方程(6.14)构成了描述均匀平面波的一维波动方程组。§6.3均匀平面波在无耗介质中的传播6.3.1波动方程的解均匀平面波在均匀、线性、各向同性的无耗介质中传播时，若电磁场随时间按正弦规律变化，可用复数表示，于是一维波动方程(6.14a)简化为(6.15)式中为场强随时间变化的角频率，单位为弧度/秒(rad/s)。(6.16)和分别为振荡频率和周期。令(6.17)则电场波动方程(6.15)可改写为(6.18)该方程的解为(6.19)式中和为复常数。若，，则式(6.19)可写为(6.20)该式称为电场的复数表达式。相应的瞬时表达式为(6.21)同理，由方程(6.14b)可得到电场分量的解，其复数表达式为(6.22)及瞬时表达式为(6.23)6.3.2相位常数和相速由式(6.21)和式(6.23)可知，是函数相位的一部分，称为相位常数。(6.24)式中为波速，。因此也称为波数。可以看出，随着的增大，式(6.21)和式(6.23)中右边第一项的相位越滞后，说明这一项表示沿正方向传播的波，称为前向行波；反之，随着的增大，式(6.21)和式(6.23)中右边第二项的相位越超前，说明这一项表示沿负方向传播的波，称为后向行波。本节只研究在无限大理想介质中传播的单行波，取前向行波。可令，，，则式(6.21)变为(6.25a)式中为电场分量的振幅；为初始相位。同理，式(6.23)变为(6.25b)由式(6.25a)可得该波的等相位面方程为(6.26)式中为常数。将式(6.26)对微分，可得到等相位面运动的速度，称为相速，用表示。如图6.2所示，即(6.27)对于无限大、均匀、理想介质中的均匀平面波，相速等于波速，即图6.2正弦波的传播图6.2正弦波的传播式中为真空中的光速，(m/s)。6.3.3本质阻抗麦克斯韦方程(6.1b)在随时间正弦变化的电磁场中可写为(6.29)由此电场的分量对应的磁场为(6.30)令(6.31)则(6.32)由于的单位为V/m，的单位是A/m，所以具有阻抗的量纲，单位为欧姆()。由式(6.31)可知，只与媒质的参数有关，称为媒质的本质阻抗(或波阻抗)。在真空中，。由式(6.25a)表示的的前向行波对应的表示为(6.33)对理想介质而言，为实数，表示纯电阻，所以和分量在时间上同相。如图6.3所示。可见电场、磁场和传播方向相互垂直，且满足右手螺旋法则。类似地，我们可以推导出电场分量及其对应的分量的表达式，若用复数表达形式，有(6.34)(6.35)式中负号是由右手螺旋法则决定的，当电场在正方向，传播方向为正时，磁场方向必然为负方向。如图6.4所示。图6.3理想介质中平面波电场和磁场图6.4理想介质中平面波电场和磁场6.3.4坡印廷矢量电场和磁场在空间的相互转换作用导致电磁波动，电磁波动伴随着电磁能量的传递。正是由于这种电磁能量在空间的传播，才使人类能建立起庞大的通信网络。1884年，坡印廷在“关于电磁场中的能量传递”一文中，首次阐述了电磁能流与电磁场量间的关系，并给出了一般表示式，后人称其为坡印廷定理。在电磁场中，已知电场能量密度和磁场能量密度分别表示为(6.36)和(6.37)麦克斯韦假设：在任意时刻，空间任一点的电磁能量密度应为此时电场能量密度与磁场能量密度之和，即(6.38)这个假设至今尚无直接实验证明，但建立在此假设上的许多理论，已为实验所证实。这样就间接地证明了假设的正确性。根据上述假设，电磁场中任意体积内储存的总电磁能量为设空间某点的电磁能量密度随时间的变化率为(6.39)由麦克斯韦方程出发，推导得即(6.40)再由麦克斯韦方程出发，推导得(6.41)将式(6.40)和式(6.41)代入式(6.39)，得(6.42)运用矢量恒等式将上式代入式(6.42)中，得把上式两边在给定的体积V内积分,有(6.43)利用高斯定理，上式改写为(6.44)式(6.44)就是坡印廷定理的数学表达式。坡印廷定理的数学表达式除了式(6.44)之外，在当今很多关于电磁理论的书籍中，还广泛采用着另外一种形式(6.45)式(6.45)右边第一项表示由于传导电流的流动在体积中产生的欧姆功率损耗；第二项表示体积中电磁能量随时间的减少率。这两项之和表示体积中总的电磁能量的减少率。根据能量守恒定律，它必然等于通过体积的表面散发出去的功率。所以式(6.45)左边中表示穿出单位面积的功率流密度，称为坡印廷矢量，单位瓦特/米2(W/m2)。用表示，即(6.46)可见，坡印廷矢量垂直于和构成的平面，且电场、磁场和坡印廷矢量满足右手螺旋法则。需要指出的一点是，由于坡印廷定理的整个推导是在麦克斯韦方程基础上进行的，没有引入任何新的物理概念，因此坡印廷定理是适用于宏观电磁现象的一个普遍定理。由于和均是空间和时间的函数，因此由式(6.46)定义的坡印廷矢量也是空间和时间的函数，用该式计算的值代表了通过闭合曲面单位面积功率的瞬时值。而实际上，在许多情况中，我们主要不是对功率流的瞬时值感兴趣，而更关心的是它的平均值。为此需要建立计算平均坡印廷矢量的数学表达式。设电场强度和磁场强度的瞬时形式为式中和为幅值，和为初相角。根据式(6.46)可算出的瞬时表达式(6.47)式(6.47)表明：由两部分构成，等式右边第一项不随时间变化，可称为‘直流分量’，实际上它就是所谓的平均坡印廷矢量，等式右边第二项是时间的周期函数，称为‘交变分量’。它反映了起伏变化的情况。根据求周期函数平均值的理论，可求得积分后得(6.48)式中为平均坡印廷矢量，是波的周期。对于随时间按正弦规律变化的电磁场，采用复数表示法将会在计算中显得更方便。设电场强度和磁场强度的复数形式为显然，平均坡印廷矢量可表示为(6.49)式中表示的共轭，即。【例6-1】介质中沿方向传播的均匀平面波电场强度为，求(1)相对介电常数，(2)传播速度，(3)本质阻抗，(4)波长，(5)磁场强度，(6)波的平均功率密度，（7）电场强度和磁场强度的复数表示形式。解(1)相对介电常数由电场强度的表达式可知已知：因此：(2)传播速度为(3)本质阻抗为(4)波长为(5)根据均匀平面波的电场、磁场和传播方向满足右手螺旋法则的规律，及电场强度和磁场强度的关系，可得

(6)媒质中的平均功率密度是(7)电场强度和磁场强度的复数形式为§6.4均匀平面波在有耗媒质中的传播§6.3节中的所谓无耗介质只是一种理想情况，实际的媒质都是有损耗的。在有耗媒质中电导率，但仍然保持均匀、线性及各向同性等特性。土壤、海水、石墨和金属等都是无线电和电子工程中经常遇到的有耗媒质，研究波在有耗媒质中的传播特性，具有实际的意义。由物理常识可知，在有耗媒质中传导电流存在，因此有耗媒质也称为导电媒质。在该媒质中传播的电磁波发生能量损耗，导致波的幅值随传播距离增大而下降。实际的研究表明，幅值下降的同时，波的相位也发生变化，致使整个传输波的波形发生畸变。6.4.1复介电常数和复本质阻抗由于研究的是随时间按正弦规律变化的电磁场，所以可用复数形式的麦克斯韦方程。(6.50)(6.51)方程(6.50)又可改写为(6.52)式中称为复介电常数。(6.53)在有耗媒质中，传导电流密度和位移电流密度分别为由式(6.53)可知，比值是复介电常数虚部和实部的比值，它也代表传导电流密度和位移电流密度的比值。工程上称之为损耗正切，可表示为(6.54)式中称为损耗角。在应用了复介电常数后，复数形式麦克斯韦方程可改为除了用复介电常数代替无耗介质中的以外，有耗媒质中的麦克斯韦方程形式上和无耗介质中的麦克斯韦方程完全相同。这里假定为实数，所以可直接写出有耗媒质中的本质阻抗为图6.5平面波在有耗媒质中的传播图6.5平面波在有耗媒质中的传播式中称为复本质阻抗。由式(6.55)可见，有耗媒质的复本质阻抗是个复数，其结果使均匀平面波中电场强度矢量与磁场强度矢量间存在相位差。6.4.2波动方程及其解在描述无耗介质中均匀平面波传播规律的一维波动方程(6.15)中，若用代替，即得出有耗媒质中的均匀平面波波动方程为(6.56)式中称为复波数。(6.57)由于为复数，故可令(6.58)式中为传播常数，为衰减系数，为相位常数。由式(6.56)和式(6.58)可写出有耗媒质中，电场强度分量沿正方向的行波解为(6.59)其对应的磁场强度分量为(6.60)该电场强度分量和磁场强度分量的瞬时表达式分别为(6.61)(6.62)由式(6.61)和式(6.62)可见，随着的增大，电场强度和磁场强度的振幅以因子衰减；同时，电场的相位超前磁场相位。如图6.5所示。有耗媒质中均匀平面波的坡印廷矢量瞬时值为平均坡印廷矢量为(6.63)由式(6.63)可见，随着传播距离的增加，坡印廷矢量的平均值也呈指数规律下降。6.4.3低损耗媒质低损耗媒质是一种弱导电媒质，其，这种媒质也称为良介质。在该媒质中位移电流占主导地位。分别对式(6.57)和式(6.58)两边平方，得等式两边实部和虚部分别相等，得联立上两式解得(6.64)(6.65)式(6.64)和式(6.65)分别为有耗媒质中平面波的衰减系数和相位常数表达式。在有耗媒质中，波传播的相速为(6.66)由上式可以看出：，即在相同的和的情况下，由于媒质的损耗使波的传播速度变慢，波长变短。值得注意的是，相速不仅与媒质参数有关，还与频率有关。在有耗媒质中，不同频率的波以不同的相速传播的现象称为色散现象，有耗媒质称为色散媒质。通常，信号是由不同的频率成分组成的，当载有信号的平面波在有耗媒质中传播时，由于色散现象会导致信号波形的畸变。在微波工程中，经常遇到的是低损耗媒质，其条件为应用二项式展开后，式(6.64)和式(6.65)可近似为(6.67)(6.68)相应地，低损耗媒质的本质阻抗为(6.69)相速近似为(6.70)式(6.68)和式(6.70)说明在低损耗媒质中的相位常数和相速与无耗介质中的近似相同。而式(6.67)和式(6.69)表明，波在低损耗媒质中传播时确实存在衰减，而且电场强度和磁场强度存在微小的相位差。6.4.4高损耗媒质高损耗媒质是强导电媒质，其中，高损耗媒质也称为良导体。在这种媒质中，传导电流比位移电流大得多。通常时，可认为该媒质为良导体。在此情况下复介电常数为(6.71)衰减系数和相位常数分别为(6.72)(6.73)同理，复本质阻抗为(6.74)若将复本质阻抗表示为(6.75)则(6.76)式中称为表面电阻，为表面电抗。金属导体都是良导体，良导体的衰减系数和相位常数大小相同，表面电阻和电抗也相同。由式(6.74)可见，磁场强度的相位滞后于电场强度。良导体中波的相速为(6.77)于是，良导体中均匀平面波的电场强度和磁场强度分别为传导电流密度为在处，时刻电流密度的值，即在导体表面上的电流密度幅值。在工程上，用电流密度幅值衰减为导体表面上幅值的倍，电磁波所传输的距离来定义趋肤深度，用表示，即得(6.78)由式(6.78)看出，趋肤深度与频率、电导率和磁导率的乘积的平方根成反比。频率越高，电导率和磁导率越大，则趋肤深度越小。以紫铜为例，其及，当时，；当时，；当时，。可见，高频条件下，导体中的电流绝大部分集中在导体表面附近，这种现象称为趋肤效应。实际中电磁波传播的距离后，其振幅衰减至1%以下，可认为波已衰减为零了。对于的理想导体，，说明电磁波不能透入理想导体中。在无线电装置中，完成电磁屏蔽作用的屏蔽罩就是根据趋肤效应来设计的，当频率为时，铝罩的趋肤深度为，这个数值远小于一般铝罩的壁厚，故外界射频电磁波将不影响罩内的电子装置正常工作，为对低频磁场有更好的屏蔽效果，可采用金属铁磁材料。趋肤效应还可被用于金属表面热处理。为了便于工程应用，表6-1给出了几种常用金属的电导率以及相速、趋肤深度和表面电阻计算公式。表6-1典型金属的趋肤深度、表面电阻和相速材料名称电导率磁导率趋肤深度表面电阻相速备注金银紫铜铝黄铜焊锡f单位为Hz【例6-2】一线极化均匀平面波在海水中传播，取为传播方向，在处，，海水的媒质参数为，，，求(1)海水的损耗正切，衰减系数，相位常数，本质阻抗，相速，波长及趋肤深度；(2)场强幅值减小为处的十分之一时的距离。解根据题意(rad/s)(1)损耗正切因为，因此海水可视为良导体处理所以，衰减系数相位常数本质阻抗为相速为波长趋肤深度(2)令得§6.5波的极化特性电磁波的极化特性是电磁理论中的一个重要概念，波的极化是指空间某点电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹。若某点的电场强度矢量随时间沿直线振荡时，称为线极化波；若某点的电场强度矢量的端点随时间沿圆周运动时，称为圆极化波；若电场强度矢量的端点沿椭圆运动，称为椭圆极化波。当多个同频率的电磁波在同一方向传播时，极化应按所有波叠加后的合成波定义。极化特性是波的一个重要特征，在求解具体电磁问题时，由于所需边界条件与波的极化特性有关，因此给定所研究的极化特性是解题的必要条件之一，例如在研究两媒质交界面上波的反射和透射时，就需指明波的极化特性。6.5.1线极化波在均匀平面波中，若电场强度表示为(6.79)可见，随着时间的改变，矢量始终在与轴平行的直线上振荡，因此该波为x方向线极化波。设有两个同频同方向传播的相互垂直的线极化波分别表示为(6.80a)(6.80b)式中和为幅值，和为各自的初始相位。若两个线极化波同相，即，则可得任意时刻的合成电场强度瞬时值及其与轴的夹角为(6.81)(6.82a)在式(6.82a)中，由于与是不随时间变化的常数，所以也不随时间变化，故合成电场强度矢量始终位于与轴成角的直线上，构成线极化波，如图6.6(a)所示。若两个线极化波反相，即，此时合成波电场强度矢量与x轴夹角q为一负值，但不随时间变化，即(6.82b)可见，该合成波仍为线极化波，如图6.6(b)所示。(a)(b)图6.6线极化波工程上，常将电场强度垂直于水平面的线极化波称为垂直极化波，而与水平面平行的线极化波称为水平极化波。6.5.2圆极化波若式(6.80)所示的两个分量和的振幅相等，而相位差为，即则合成电场强度的振幅为(6.83)合成电场强度矢量与x轴夹角为即(6.84)由式(6.83)和(6.84)可知，合成电场强度的大小并不随时间改变，但合成电场强度矢量与x轴间的夹角以角速度随时间变化，合成电场强度矢量端点的运动轨迹为圆，构成了圆极化波。根据和相位超前或滞后的不同，圆极化波的旋转方向也不同。若的相位超前的相位p/2，即，由式(6.84)可知，随t增大，q也增大，则合成电场强度旋转方向由轴旋转到轴，其旋转方向与波的传播方向(方向)构成右手螺旋关系，称为右旋圆极化波，如图6.7(a)所示。若的相位超前的相位p/2时，即，则合成电场强度旋转方向与上述相反，其旋转方向与波的传播方向构成左手螺旋关系，称为左旋圆极化波，如图6.7(b)所示。(a)右旋圆极化波(b)左旋圆极化波图6.7圆极化图6.5.3椭圆极化波一般情况下，对式(6.80)给出的和表达式消去参数t后，可得(6.85)6.8椭圆极化波式(6.85)是一个椭圆方程，说明合成电场强度矢量端点的运动轨迹为椭圆，构成椭圆极化波，如图6.8所示。椭圆极化波与圆极化波一样，也有左旋椭圆极化波与右旋椭圆极化波之分。若的相位超前的相位时，即，为右旋椭圆极化波；若的相位滞后的相位时，即，则为左旋椭圆极化波。线极化波和圆极化波都可视为是椭圆极化波的特殊情况。当椭圆的长短轴相等时，椭圆极化波变为圆极化波，当椭圆的短轴缩为零时，椭圆极化波退化为线极化波。6.5.4极化的分解以上我们研究了三种不同极化波的特点，在此进一步讨论极化的分解。我们已经知道两个相互垂直的线极化波可以合成椭圆极化波，反之，任一椭圆极化波均可分解为两个极化方向互相垂直的线极化波。而任一线极化波均可分解为两个振幅相等但旋转方向相反的圆极化波；一个圆极化波可以分解为两个旋向相反的椭圆极化波，等等。下面讨论线极化波的分解。对任一线极化波，如图6.6(a)所示，将分解为和两个分量其中因此(6.86)同理(6.87)由式(6.86)和(6.87)可知，，和，有相同的幅值，但的相位超前相位，因此和构成一右旋圆极化波；而的相位滞后相位，因此和构成一左旋圆极化波。由此证明了任一线极化波均可分解为两个幅值相等，但旋转方向相反的圆极化波。其它极化分解形式在此不一一列举。请读者自行讨论。一般情况下，任何形式的极化都可以分解为两个相互正交的线极化波，也可以分解为两个旋向相反的圆极化波。波的极化特性在工程上有很重要的应用，例如，当利用线极化波进行工作时，接收天线的极化特性必须与发射天线的极化特性相同，才能有好的接受效果。这是天线最基本的原则之一。大家知道，空间传播的电磁波将在接收天线上产生感应电动势。而来波中电场矢量的极化特性是由发射天线的极化特性所确定的，所以为了有效的接收，发射天线与接收天线必须具有相同的极化。很多情况下，无线电系统必须利用圆极化波才能正常工作，例如由于火箭等飞行器在飞行过程中，其状态和位置在不断地变化，在某些情况下，可能出现火箭上的天线收不到地面控制信号，从而造成失控，如改用圆极化波发射和接收，则此种情况将不会出现。在电子对抗系统中，大多采用圆极化波进行工作。§6.6均匀平面波对平面边界的垂直入射前面研究了均匀平面波在均匀、线性和无界媒质中传播的规律。但实际上，波在无界媒质中传播只是传播的一种理想情况。在很多情况下，波是在有界媒质中传播的，在传播途径中遇到不同的媒质的分界面，会产生反射和透射（折射）现象。在分界面两侧，由于媒质的电磁特性不同，波的传播特性也将发生变化。我们把投射到分界面上的波称为入射波，假定两种媒质的分界面为无限大平面。根据边界条件，在分界面上，时变的入射场将感应出随时间变化的电荷或电流，形成新的波源。新波源产生向分界面两侧传播的波，其中与入射波在同一媒质中传播的波称为反射波，进入分界面另一侧传播的波称为透射波或折射波。反射波与折射波的特性由分界面两侧媒质的参数确定。若入射波的传播方向与分界面的法线平行时，这种入射方式称为垂直入射。6.6.1对理想导体表面的垂直入射图6.9平面波对理想导体的垂直入射如图6.9所示，自由空间中的均匀平面波由左向右沿+z方向投射于理想导体表面上，自由空间与理想导体分界面为图6.9平面波对理想导体的垂直入射由于理想导体的电导率，所以电磁波不能进入理想导体一侧，由分界面上感应电流所产生的反射波将沿方向传播。设入射波为x方向线极化波，则入射波的电场强度和磁场强度表示为(6.88)(6.89)式中是入射波的振幅，下标代表入射波。反射波电场强度可表示为(6.90)式中是反射波电场强度的振幅，下标代表反射波。在自由空间内任一点的场是入射波与反射波叠加的结果，即(6.91)利用理想导体表面上电场强度切向分量为零的边界条件，将代入式(6.91)中，得即(6.92)于是，反射波电场强度可表示为(6.93)利用平面波特性，可求得相应的反射波磁场强度为(6.94)由于反射波沿方向传播，而根据式(6.93)，在方向，因此应在方向。合成电场强度和磁场强度分别为(6.95)(6.96)于是，在的自由空间内，合成场和的瞬时值为(6.97)(6.98)由式(6.97)可知，当时，即(6.99)则因此，在任意时刻，由式(6.99)确定的点上，电场强度的值总为零，该点称为电场强度的波节点。当，即(6.100)则可见，由式(6.100)确定的点上，任意时刻均为电场强度的最大值，该点称为电场强度的波腹点。图6.10纯驻波图形从式(6.97)中不难看出，电场强度的波节点与磁场强度的波腹点相对应，电场强度的波腹点与磁场强度的波节点相对应。如图6.10所示。图6.10纯驻波图形这种波节点和波腹点位置固定的波称为驻波，波节点处值为零的驻波称为纯驻波。平均坡印廷矢量由式(6.49)计算将式(6.95)和式(6.96)代入上式，得因此，在纯驻波情况下，只有电能和磁能的相互交换而无能量传输。若入射波为圆极化波，例如右旋圆极化波的电场强度表达式为(6.101)根据线极化条件下的结果式(6.92)，反射波电场强度为(6.102)合成波电场强度为(6.103)在式(6.102)中，反射波的电场强度分量仍超前分量，但由于传播方向为方向，因此相对于方向，反射波变成了左旋圆极化波。这个性质有重要意义，对于依靠目标反射工作的雷达，如发射天线发射的是右旋圆极化波，则接收天线必须具有接受左旋圆极化波的能力，否则将接受不到信号。【例6-3】有一频率，x方向极化的均匀平面波，从空气垂直入射到的理想导体表面上，设入射波电场强度振幅为6mV/m，试写出：(1)入射波电场强度和磁场强度的复数和瞬时表达式；(2)反射波电场强度和磁场强度的复数和瞬时表达式；(3)空气中的合成场和；(4)空气中离界面第一个电场强度波腹点的位置；(5)理想导体表面的感应电流密度。解(1)入射波电场强度复数形式式中V/m(rad/m)所以(V/m)磁场强度复数形式(A/m)瞬时表达式为(A/m)(A/m)(2)反射波电磁场复数形式由理想导体表面的反射特性知，所以(V/m)(A/m)瞬时表达式为(V/m)(A/m)(3)空气中的合成场复数形式(V/m)(A/m)瞬时表达式为(V/m)(A/m)(4)在空气中离开界面第一个电场强度波腹点位于即得(m)(5)在z=0的理想导体边界上感应电流密度为（A/m）6.6.2对无限大理想介质分界面的垂直入射图6.11平面波对理想介质的垂直入射当平面波垂直入射于无限大理想介质分界面时，将会发生反射和透射现象。如图6.11所示，z图6.11平面波对理想介质的垂直入射设入射波为x方向线极化波，则入射波的电场强度和磁场强度表示为(6.104)(6.105)式中为入射波电场强度振幅，为介质1中的相位常数。反射波沿方向传播，设反射波电场强度和磁场强度表示为(6.106)(6.107)式中为反射波电场强度振幅。透射波为沿+z方向传播，设透射波电场强度和磁场强度表示为(6.108)(6.109)式中为透射波电场强度振幅，为介质2中的相位常数。下面利用边界条件来确定和与的关系。根据介质分界面两侧电场强度和磁场强度的切向分量分别连续的边界条件，在处有和，即则(6.110a)(6.110b)其中，。由式(6.110a)和式(6.110b)解得(6.111)(6.112)令(6.113)(6.114)式中称为反射系数，即分界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比；称为透射系数或折射系数，即分界面上透射波电场强度与入射波电场强度之比。由式(6.113)和式(6.114)可见，与之间的关系为 (6.115)应用，可得介质1中的合成电场强度和磁场强度分别为(6.116a)(6.116b)应用可得，介质2中的透射波电场强度和磁场强度分别为(6.117a)(6.117b)将式(6.116a)展开,有因此，的模值为(6.118)图6.12介质界面反射形成的驻波图6.12给出了时，介质1中合成电场强度的模值在-z轴上的分布。此时，入射波电场强度与反射波电场强度在分界面上同相，在界面上达到极大值。反之，当时，即，分界面上为极小值。图6.12介质界面反射形成的驻波入射波能量、反射波能量和透射波能量间的关系如下：在介质1中，平均坡印廷矢量为(6.119)在介质2中，平均坡印廷矢量为(6.120)由式(6.119)可见，介质1中的平均坡印廷矢量是入射波平均坡印廷矢量与反射波平均坡印廷矢量的差值。由于式(6.119)与式(6.120)相等，故有(6.121)式(6.121)说明了入射、反射和透射能量三者之间符合能量守恒规律。6.6.3对无限大有耗媒质分界面的垂直入射当分界面两侧为有损耗媒质时，可用复介电常数代替实数来进行讨论。分析方法与上述方法相同。设入射波为x方向的线极化波，沿+z方向传播，z=0平面为有耗媒质分界面。则入射波电场强度和磁场强度分别表示为(6.122)(6.123)式中，。在z=0分界面处，反射系数和透射系数均为复数，分别为(6.124)和(6.125)于是，反射波电场强度和磁场强度可表示为(6.126)(6.127)透射波电场强度和磁场强度可表示为(6.128)(6.129)式中，。媒质1中的合成电场强度和磁场强度分别为(6.130)(6.131)媒质1中的平均坡印廷矢量为(6.132)其中入射波的平均功率密度为(6.133a)反射波的平均功率密度为(6.133b)入射波和反射波交叉耦合引起的平均功率密度为（6.133c）可见媒质2中的平均坡印廷矢量为(6.134)【例6-4】有一频率为300kHz，x方向极化的均匀平面波，从自由空间垂直入射于z=0处的导电媒质(mS/m)分界面上，若分界面上入射波电场强度的振幅为10V/m，求反射波的平均功率密度，及透射波的平均功率密度。解由于媒质1为自由空间，则(rad/m)即(rad/m)(W)入射波可表示为(V/m)(A/m)在媒质2中，损耗角正切为复介电常数为因此则(rad/m)反射系数透射系数反射波可表示为(V/m)(A/m)透射波可表示为(V/m)