高中数学新人教A版：必修二综合测试卷(含答案)

PAGE必修二综合测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某几何体的正视图和侧视图均如图①所示(上面是一个圆，下面是个正方形)，则下面四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()图①(1)(2)(3)(4)A．(1)(3) B．(1)(4)C．(2)(4) D．(1)(2)(3)(4)解析：由该几何体的正视图和侧视图，可知该几何体可以为一个正方体上面放着一个球，也可以是一个圆柱上面放着一个球，则其俯视图可以为(1)(3)．答案：A2．已知直线l的倾斜角为45°，直线l1经过点A(3，2)，B(－a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝()A．－4 B．－2C．0 D．2解析：由题意知，直线l的斜率为1，则直线l1的斜率为－1，所以eq\f(2－1,3＋a)＝－1，所以a＝－4，又l1∥l2，所以－eq\f(2,b)＝－1，所以b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2.答案：B3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体，所以体积为eq\f(1,2)π×22×4＋2×2×4＝16＋8π.答案：A4．已知点Q是点P(3，4，5)在平面xOy上的射影，则线段PQ的长等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：由题意，得Q(3，4，0)，故线段PQ的长为5.答案：D5．如图①所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图②所示，那么，在四面体A­EFH中必有()图①图②A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析：折成的四面体中有AH⊥EH，AH⊥FH，所以AH⊥面HEF.答案：A6．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2 B．4eq\r(2)C．6 D．2eq\r(10)解析：由题设得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，知圆C的圆心为(2，1)，半径为2，因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6.答案：C7．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为()A．27π B．18πC．9π D．54π解析：设正方体的棱长为a，球的半径为r，则6a2＝54，所以a＝3.又因为2r＝eq\r(3)a所以r＝eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(3\r(3),2)，所以S表＝4πr2＝4π×eq\f(27,4)＝27π.答案：A8.已知高为3的直棱柱ABC­A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B′­ABC的体积为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)解析：VB′­ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).答案：D9．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离为1，则半径r的取值范围是()A．(4，6) B．[4，6)C．(4，6] D．[4，6]解析：因为圆心到直线的距离为eq\f(|12＋15－2|,\r(42＋（－3）2))＝5，所以半径r的取值范围是(4，6)．答案：A10．直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2解析：解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))则点(－1，－2)在直线x＋ky＝0上，得k＝－eq\f(1,2).答案：B11．在四面体A­BCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心 B．重心C．外心 D．内心解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，因为AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD.因为AH⊥平面BCD，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH.同理可证CH⊥BD，DH⊥BC，则H是△BCD的垂心．答案：A12.如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角＝()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：将其还原成正方体ABCD­PQRS，连接SC，AS，则PB∥SC，所以∠ACS(或其补角)是PB与AC所成的角．因为△ACS为正三角形，所以∠ACS＝60°，所以PB与AC所成的角是60°.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________．解析：|OP|的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝eq\f(|0＋0－4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)14．若函数y＝ax＋8与y＝－eq\f(1,2)x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝________．解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－eq\f(1,2)x＋b为同一直线，故得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))所以a＋b＝2.答案：215．圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________．解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝4π(eq\r(3))2＝12π.答案：12π16．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c;②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________________．解析：因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可以相交、平行、异面，故①错．因为a、b异面，b、c异面．则a、c可能导面、相交、平行，故②错．由a、b相交，b、c相交，则a、c可以异面、平行，故③错．同理④错，故真命题个数为0.答案：0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．解：因为CC1∥AA1.所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝30°.在Rt△BCC1中，BC＝CC1·tan∠BC1C＝6×eq\f(\r(3),3)＝2eq\r(3)，从而S△ABC＝eq\f(\r(3),4)BC2＝3eq\r(3)，因此该三棱柱的体积V＝S△ABC·AA1＝3eq\r(3)×6＝18eq\r(3).18．(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所处的位置为：P为三角形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长．解：(1)由三视图可知，此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧＝eq\f(1,2)(2πa)·(eq\r(2)a)＝eq\r(2)πa2，S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以此几何体的表面积S表＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S圆柱底＝eq\r(2)πa2＋4πa2＋πa2＝(eq\r(2)＋5)πa2.(2)分别沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，则|PQ|＝eq\r(|AP|2＋|AQ|2)＝eq\r(（2a）2＋（πa）2)＝aeq\r(4＋π2).所以P，Q两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为aeq\r(4＋π2).19．(本小题满分12分)如图，已知在平行四边形ABCD中，边AB所在直线方程为2x－y－2＝0，点C(2，0)．求：(1)直线CD的方程；(2)AB边上的高CE所在直线的方程．解：(1)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，所以kCD＝kAB＝2.故CD的方程为y＝2(x－2)，即2x－y－4＝0.(2)因为CE⊥AB，所以kCE＝－eq\f(1,kAB)＝－eq\f(1,2).所以直线CE的方程为y＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－2＝0.20．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.21．(本小题满分12分)(2015·北京卷)如图所示，在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V­ABC的体积．(1)证明：因为O，M分别AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC.所以VB∥平面MOC(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解：在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝eq\r(3).又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C­VAB的体积等于eq\f(1,3)OC·S△VAB＝eq\f(\r(3),3).又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，所以三棱锥V­ABC的体积为eq\f(\r(3),3).22．(本小题满分12分)已知圆C过点A(1，2)和B(1，10)，且与直线x－2y－1＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)设P为圆C上的任意一点，定点Q(－3，－6)，当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．解：(1)圆心显然在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a，6)，半径为r，则圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2，由点B在圆上得：(1－a)2＋(10－6)2＝r2，又圆C与直线x－2y－1＝0相切，则r＝eq\f(|a－13|,\r(5)).于是(a－1)2＋16＝eq\f(（a－13）2,5)，解得：a＝3，r＝2eq\r(5)或a＝－7，r＝4eq\r(5).所以圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.(2)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，由M为PQ的中点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0－3,2)，,y＝\f(y0－6,2)，))即：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(