广东省梅州市梅青中学2021年高三数学理期末试题含解析

广东省梅州市梅青中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数（i为虚数单位）的模等于（）A． B． C．2 D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：=，则|z|=．故选：B．2.设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a参考答案：B【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log4π∈（0，1），b=＜0，c=＞1．∴c＞a＞b．故选：B．3.已知不等式组表示的平面区域恰好被圆：所覆盖，则实数的值是（

）A．

B．

C．

D．6参考答案：D4.如图3给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A．

B．

C．

D．参考答案：C该程序框图为求和运算．s=0，n=2，i=1，i10？否；s=0+，n=4，i=2，i10？否；s=0++，n=6，i=3，i10？否；…；s=0+++…+，n=22，i=11，i10？是，输出s=.得C选项．5.以q为公比的等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a3”是“q＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：在等比数列中，若a1＜a3，则a1＜a1q2，∵a1＞0，∴q2＞1，即q＞1或q＜﹣1．若q＞1，则a1q2＞a1，即a1＜a3成立，∴“a1＜a3”是“q＞1”成立的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式和性质是解决本题的关键．6.有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜驿，则猜对者是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁参考答案：C若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件.而如果丙猜对，其他老师都不会对.故答案为：C.

7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：D略8.已知不等式组表示的平面区域的面积为4，点P(x，y)在所给的平面区域内，则z＝2x＋y的最大值为()A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：C略9.设p、q是简单命题，则“p或q是假命题”是“非p为真命题”的(

)

A．充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.非充分非必要条件参考答案：A10.已知点F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．4 C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，∴c=，∴双曲线的离心率e==．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列满足，若则的所有可能的取值为

．参考答案：4,7,10略12.对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0，使得当x∈D且x>x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”。给出定义域均为D=的四组函数如下：①；②；③；④。其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是

.参考答案：②④13.已知，,则

_______．参考答案：14.有最大值和最小值，且，则3a-2b=__________参考答案：9令（证明为奇函数

2a=6

a=3(有最大值和最小值)要有最大值和最小值，则b=03a-2b=9思路点拨：此题注意分析复杂函数中的奇偶函数，注意奇函数中的最大值与最小值之和为零15.（理科）以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，已知直线的极坐标方程为，圆C的参数方程为．直线被圆截得的弦长

参考答案：1616.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为________.参考答案：4略17.下列命题中正确的是．（将正确结论的序号全填上）①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；③一个三棱锥四个面可以都为直角三角形．参考答案：③【考点】构成空间几何体的基本元素．【分析】①举例说明有两个侧面是矩形的棱柱不一定是直棱柱；②举例说明各侧面都是正方形的棱柱不一定是正棱柱；③画图说明三棱锥的四个面都是直角三角形．【解答】解：对于①，有两个侧面是矩形的棱柱不一定是直棱柱，如斜放的一摞书，∴①错误；对于②，各侧面都是正方形的棱柱不一定是正棱柱，如底面是菱形时，且各侧面都是正方形，也是正棱柱，∴②错误；对于③，如图所示，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形，∴③正确．综上，正确的命题是③．故答案为：③．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆中长轴为4离心率为，点P为椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l交y轴于点A，直线l'过点P且垂直于l交y轴于B，试判断以AB为直径的圆能否经过定点，若能求出定点坐标，若不能说出理由参考答案：

设P为，P为切点且P在椭圆上设l为l’与是垂直的为直线过P点代入

为在中令得

在中令得

过定点与P无关

定点为或思路点拨;本题技巧已知两线垂直的那以x与y前的系数好互例

体现在l’与是垂直的19.一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．参考答案：【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）“进行第二次操作后，箱中红球个数为4”，包括事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”和事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”，利用条件概率和互斥事件的概率计算公式即可得出．（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出概率和分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．由条件概率计算公式得P（A1B2）=P（A1）P（B2|A1）=．B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．由条件概率计算公式得P（B1A2）=P（B1）P（A2|B1）==．A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为4”，又A1B2与B1A2是互斥事件．∴P（A1B2+B1A2）=P（A1B2）+P（B1A2）=．（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=．进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望EX==．【点评】熟练掌握分类讨论思想方法、条件概率和互斥事件的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望计算公式是解题的关键．20.已知等差数列满足：，，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列

的前三项.（1）分别求数列，的通项公式;（2）设若恒成立，求c的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）设d、q分别为等差数列、等比数列的公差与公比，且由分别加上1，1，3有…2分

…………4分

…………6分

（II）①②………7分①—②，得

…………8分

………………9分在N*是单调递增的，∴满足条件恒成立的最小整数值为

………………12分

略21.已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣x．（1）解不等式f（x）＞g（x）；（2）若存在实数x，使不等式m﹣g（x）≥f（x）+x（m∈R）能成立，求实数m的最小值．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出各个区间的x的范围，取并集即可；（2）问题转化为m≥（|x﹣2|+|+1|）min，根据绝对值的性质求出m的最小值即可．【解答】解：（1）由题意不等式f（x）＞g（x）可化为|x﹣2|+x＞|x+1|，当x＜﹣1时，﹣（x﹣2）+x＞﹣（x+1），解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤2时，﹣（x﹣2）+x＞x+1，解得x＜1，即﹣1≤x＜1；当x＞2时，x﹣2+x＞x+1，解得x＞3，即x＞3，综上所述，不等式f（x）＞g（x）的解集为{x|﹣3＜x＜1或x＞3}．（2）由不等式m﹣g（x）≥f（x）+x（m∈R）可得m≥|x﹣2|+|x+1|，∴m≥（|x﹣2|+|+1|）min，∵|x﹣2|+|x+1|≥|x﹣2﹣（x+1）|=3，∴m≥3，故实数m的最小值是3．22.（本小题满分12分）设各项均为正数的数列的前项和为,满足,且恰好是等比数列的前三项.(1)求数列、的通项公式；(2)记数列的前项和为，若对任意的恒成立,求实数的取值范围.参考答案：【知识点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．D1D4D5(1)(2)

解析：(1)由题意，，当n≥2时，，∴4an=4Sn﹣4Sn﹣1=，，又an＞0，∴an+1=an+2．∴当n≥2时，{an}是公差d=2的等差数列．又a2，a5，a14构成等比数列，，，解得a2=3，由条件可知，，∴a1=1，又a2﹣a1=3﹣1=2，∴{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．数列{an}的通项公式为an=2n﹣1，则