广东省梅州市兴宁龙田职业高级中学2021年高三数学理期末试题含解析

广东省梅州市兴宁龙田职业高级中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数,则（）A．

B．3

C．

D．参考答案：D2.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρsin2θ=3cosθ，则直线l被曲线C截得的弦长为(

)A． B．6 C．12 D．7参考答案：C【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】先将参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，判断出直线l过抛物线y2=3x焦点F（，0），设出交点坐标联立方程消去y后，再由韦达定理求出x1+x2，代入焦点弦公式求值即可．解：由（t为参数）得，直线l普通方程是：，由ρsin2θ=3cosθ得，ρ2sin2θ=3ρcosθ，即y2=3x，则抛物线y2=3x的焦点是F（，0），所以直线l过抛物线y2=3x焦点F（，0），设直线l与曲线C交于点A（x1、y1）、B（x2、y2），由得，16x2﹣168x+9=0，所以△＞0，且x1+x2=，所以|AB|=x1+x2+p=+=12，故选：C．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，以及直线与抛物线相交时焦点弦的求法，属于中档题．3.已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A． B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，求出可求双曲线的离心率．【解答】解：E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，∴，∴e==2，故选B．4.直线l过抛物线y2=4x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点B在x轴下方，若直线l的倾斜角θ≤，则|FB|的取值范围是(

) A．（1，4+2] B．（1，3+2] C．（2，4+2] D．（2，6+2]参考答案：A考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，抛物线y2=4x的焦点F（1，0）．当θ=时，直线l的斜率k=﹣1，直线l的方程为y=﹣（x﹣1），与抛物线方程联立可得x2﹣6x+1=0，解得x=3±2，取x=3+2，可得|FB|的最大值为3+2+1．由于直线l的倾斜角θ≤，即可得出|FB|的取值范围．解答： 解：如图所示，抛物线y2=4x的焦点F（1，0）．当θ=时，直线l的斜率k=﹣1，直线l的方程为y=﹣（x﹣1），联立，化为x2﹣6x+1=0，解得x=3±2，取x=3+2，可得|FB|的最大值为3+2+1=4+2．∵直线l的倾斜角θ≤，∴|FB|的取值范围是（1，4+2]．故选：A．点评：本题考查了直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题，考查了计算能力，属于基础题．5.若向量，满足，，且，则与的夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.要得到函数的图象，可由函数的图像（

）A．向左平移个长度单位

B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位

参考答案：D7.已知对任意实数x，有且时，，则

时（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.把[0,1]内的均匀随机数x分别转化为[0,4]和[4,1]内的均匀随机数，，需实施的变换分别为A．

B．

C．

D．参考答案：C由随机数的变换公式可得，.故选C．

9.已知集合=（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.在2011年8月举行的深圳世界大学生运动会中，将某5名志愿者分配到3个场馆参加接待工作，每个场馆至少安排一名志愿者的方案种数为（

）

A．540

B．300

C．180

D．150参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最小正周期为__________．参考答案：略12.已知函数的图像向左平移个单位长度后关于原点对称，则的值等于

．参考答案：113.已知，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=_______。参考答案：14.已知的展开式的常数项是第项，则正整数的值为

.参考答案：15.△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a2=b（b+c），则=．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形为a2=b2+bc代入，约分后再将b+c=代入，利用正弦定理化简得到sinA=2sinBcosB=sin2B，进而得到A=2B，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵a2=b（b+c），即a2=b2+bc，b+c=，∴由正弦、余弦定理化简得：cosB======，则sinA=sin2B，即A=2B或A+2B=π，若A+2B=π，∵A+B+C=π，∴B=C，即b=c，由条件可得a2=2b2，cosA==0，即有A=，B=C=，∴A=2B，则=．故答案为：16.在平面直角坐标系中，动点M(x，y)满足条件动点Q在曲

线(x－1)2＋y2＝上，则|MQ|的最小值为A．

B．

C．1－

D．－

参考答案：C作出平面区域，由图形可知|MQ|的最小值为1－.17.已知的值如表所示：234546如果与呈线性相关且回归直线方程为，则

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）正数数列{an}的前n项和为Sn，且2．试求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<参考答案：解：（1），，，，为等差数列，公差为2，，（2）

ks5u19.（13分）如图，DE把边长为2a的等边△ABC分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上，设AD=x（x≥a），DE=y，（1）试用x表示y；（2）求DE的最小值．参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值域．【专题】解三角形．【分析】（1）由面积公式及已知DE把边长为2a的等边△ABC分成面积相等的两部分，可用x表示AE，在△ADE中，由余弦定理得到用x表示y；（2）根据上述表达式，使用基本不等式即可求得y的最小值．【解答】解：（1）∵△ABC是边长为2a的等边三角形，∴，又，且已知，∴=，解得AE=．在△ADE中，由余弦定理得，∴（a≤x≤2a）．（2）由基本不等式可得=4a2，当且仅当x=时取等号．∴=，即当x=时，y的最小值是．【点评】本题考查了三角形的面积、余弦定理及基本不等式，充分理解以上知识是解决此问题的关键．20.（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣1=0垂直，求a的值；（2）讨论f（x）的单调性．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，计算2﹣a=，求出a的值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）f′（x）=﹣a，f′（1）=2﹣a，直线2x+y﹣1=0的斜率是﹣2，故2﹣a=，解得：a=；（2）f′（x）=，（x＞0），a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．21.（本小题满分14分）已知向量,设函数. (1)求的最小正周期. (2)求在上的最大值和最小值