广东省梅州市梅北中学高三数学文期末试卷含解析

广东省梅州市梅北中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为

A

B

C

D

25参考答案：A2.下列符合三段论推理形式的为()A．如果pq，p真，则q真B．如果bc，ab，则acC．如果a∥b，b∥c，则a∥cD．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc参考答案：B略3.一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为A、

B、

C、

D、参考答案：答案：B4.函数的导数为

（）A.

B.

C.

D.

参考答案：A5.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（） A．f（x）=2sin（x+） B． f（x）=4sin（x+） C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=4sin（x+）参考答案：B略6.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】对给出的四个选项分别进行分析、讨论后可得结果．【详解】对于A，函数，当时，；当时，，所以不满足题意．对于B，当时，单调递增，不满足题意．对于C，当时，，不满足题意．对于D，函数为偶函数，且当时，函数有两个零点，满足题意．故选D．【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．7.直线与轴的交点为，点把圆的直径分为两段，则其长度之比为

（

）

A．或

B．或

C．或

D．或参考答案：B略8.“”是“”成立的A．充分不必要条件.

B．必要不充分条件.C．充要条件.

D．既不充分也不必要条件.

参考答案：A略9.如图，长方形ABCD的长，宽，线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为，则函数的图象大致为（

）参考答案：C10.函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上（其中m，n＞0），则4m+2n的值等于(

)A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】直线的一般式方程；对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题．【分析】由对数函数的特点可得点A的坐标，代入直线方程可得2m+n=1，进而可得4m+2n的值．【解答】解：由题意当x=﹣2时，无论a为何值，总有y=﹣1即点A的坐标为（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，所以﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，故4m+2n=2（2m+n）=2故选C【点评】本题为对数函数过定点的问题，准确找到定点是解决问题的关键，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}的通项公式an=11﹣2n，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，则T10的值为．参考答案：50【考点】数列的求和．【分析】设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=10n﹣n2．令an=11﹣2n≥0，解得n≤=5+．则T10=|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+…+a5﹣a6﹣…﹣a10=2S5﹣S10．【解答】解：设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn==10n﹣n2．令an=11﹣2n≥0，解得n≤=5+．设T10=|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+…+a5﹣a6﹣…﹣a10=2S5﹣S10=2×（10×5﹣52）﹣（10×10﹣102）=50，故答案为：50．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是

．参考答案：1，a＞1【考点】分段函数的应用．【分析】若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，解得答案．【解答】解：若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，g（x）=，当t≤0时，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，即，解得：a＞1，故答案为：1，a＞113.设点满足且，则的最大值为

.参考答案：514.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是___________.参考答案：略15.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往临近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为

元.参考答案：2200略16.函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算即可．【解答】解：∵，∴函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为+=+=．故答案为：．【点评】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是利用定积分表示出封闭图形的面积，然后计算．17.设全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=

，A∪B=

，?UB=

．参考答案：（2，3）;（1，+∞）;（﹣∞，1]∪[3，+∞）.【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集，并集，求出B的补集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即B=（1，3），∵A=（2，+∞），∴A∩B=（2，3），A∪B=（1，+∞），?UB=（﹣∞，1]∪[3，+∞）．故答案为：（2，3）；（1，+∞）；（﹣∞，1]∪[3，+∞）【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，以及补集的运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】转化思想．【分析】（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．【解答】解：（Ⅰ）根据题意知：f′（x）=在[1，+∞）上恒成立．即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上恒成立．∵﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上的最大值为﹣4，∴a≥﹣4；经检验：当a=﹣4时，，x∈[1，+∞）．∴a的取值范围是[﹣4，+∞）．（Ⅱ）在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．记g（x）=2x2+2x+a，则有，解得．∴，．∴令．，记．∴，．在使得p′（x0）=0．当，p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．而k′（x）在单调递减，在（x0，0）单调递增，∵，∴当，∴k（x）在单调递减，即．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．19.（12分）（2015?青岛一模）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AB=，AD=AA1=3，E1为A1B1中点．（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）证明：平面ACD1⊥平面BDD1B1．参考答案：【考点】：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，证明B1D∥E1G，利用直线与平面平行的判定定理证明B1D∥平面AD1E1．（Ⅱ）设AC∩BD=H，通过△BHC～△DHA，结合BC=1，AD=3，求出，，证明AC⊥BD，然后证明BB1⊥AC，得到AC⊥平面BDD1B1，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ACD1⊥平面BDD1B1．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，所以四边形ADD1A1为平行四边形，所以G为A1D的中点，又E1为A1B1中点，所以E1G为△A1B1D的中位线，所以B1D∥E1G…（4分）又因为B1D平面AD1E1，E1G平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1．

…（6分）（Ⅱ）设AC∩BD=H，因为AD∥BC，所以△BHC～△DHA又BC=1，AD=3，所以，∵AD∥BC，∠BAD=90°，所以∠ABC=90°∴，从而，，所以CH2+BH2=BC2，CH⊥BH，即AC⊥BD…（9分）因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，AA1⊥底面ABCD所以侧棱BB1⊥底面ABCD，又AC底面ABCD，所以BB1⊥AC…（10分）因为BB1∩BD=B，所以AC⊥平面BDD1B1…（11分）因为AC平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BDD1B1．…（12分）【点评】：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．20.（本小题满分15分）已知椭圆的短轴长为，离心率为，其一个焦点在抛物线的准线上,过的焦点的直线交于两点，分别过作的切线，两切线交于点.（Ⅰ）求、的方程；（Ⅱ）当点在内部运动时，求面积的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由椭圆条件得∴，解得，∴：.∵抛物线的焦点与的一个焦点重合,∴，解得，∴：.（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在且过点，设其方程为，由消去得，令，则，，由得，，，，联立的方程解得，，，∴，∴点恒在直线上，此直线与交于两点，∵点在内部，∴，∴，∴，（也可由求得）由消去得，，令，则，，，点到直线的距离，∴的面积令，考察函数，，，∴在上单调递增，∴，∴，即.21.（13分）某班植树小组栽培甲、乙两种松树，已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种，已知栽培甲品种的有2人，栽培乙品种的有6人，现从中选2人，设选出的人中既栽培甲品种又栽培乙品种的人数为ξ，且P（ξ=0）=，求：（1）植树小组的人数；（2）随机变量ξ的数学期望．参考答案：【考点】概率的应用；离散型随机变量的期望与方差．【专题】综合题．【分析】（1）设植树小组共有x人，两品种均栽培的有（8﹣x）人，则恰栽一品种的人数为（2x﹣8）人，利用P（ξ=0）=，建立方程，即可求得植树小组的人数；（2）先确定恰栽一品种的有4人，两品种均栽培的有2人，计算ξ=1，2时的概率，即可求得数学期望．【解答】解：（1）设植树小组共有x人，两品种均栽培的有（8﹣x）人，则恰栽一品种的人数为（2x﹣8）人…∵P（ξ=0）=，∴…整理为：3x2﹣28x+60=0，∴x=6，即植树小组有6人…[来源:学_科_网]（2）依（1）有：恰栽一品种的有4人，两品种均栽培的有2人P（ξ=1）==…；P（ξ=2）==…∴Eξ=+2×=…【点评】本题考查离散型随机变量的概率与期望，解题的关键是正确求出概率，利用期望公式求解．22.（本小题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面和圆所在的平面互相