10.2 二倍角的三角函数 解析版

10.2二倍角的三角函数【考点梳理】考点一：二倍角的正弦公式 考点二：二倍角的余弦公式考点三：二倍角的正切公式 考点四：二倍角公式的综合应用【知识梳理】知识点：二倍角的正弦、余弦、正切公式【题型归纳】题型一：二倍角的正弦公式1．（23-24高一下·云南大理）设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解.【详解】由，平方可得，解得.故选：A.2．（22-23高一下·广东广州）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把两边平方，根据二倍角公式整理得到到结果【详解】由两边平方，得即，所以，故选：C.3．（23-24高一下·江苏泰州）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦和差公式得到，再利用万能公式求出答案.【详解】，即，所以，故，故，.故选：D题型二：二倍角的余弦公式4．（23-24高一下·江苏南京·期中）若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式结合角的范围即可求解.【详解】，，，，，故选：A.5．（23-24高一下·山东潍坊·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用换元法结合诱导公式、倍角公式即可求解.【详解】令，则，所以，故选：A.6．（2024·河北保定·二模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角基本关系式和二倍角公式求解.【详解】由，得，即，解得或（舍），所以.故选：D.题型三：二倍角的正切公式7．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则（

）A． B．2 C．-2或 D．或2【答案】B【分析】利用正弦、余弦、正切的二倍角公式，结合已知条件即可求解.【详解】由于，故，即.所以.故选：B.8．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根据正弦和余弦二倍角公式化简得到，再利用正切二倍角公式求出答案.【详解】，即，因为，所以，故，即，则.故选：D9．（23-24高三上·云南曲靖）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】综合应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式即可解决.【详解】由，即，可得，由正切的倍角公式可得．故选：D．题型四：二倍角公式的综合应用10．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，且(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用同角公式及二倍角的正弦公式计算即得.（2）利用同角公式及差角的正弦公式计算即得.【详解】（1）由，得，又，解得，所以.（2）由，得，而，则，所以.11．（23-24高一下·江苏扬州·期中）设是钝角，．(1)求的值；(2)求和的值．【答案】(1)(2),【分析】（1）根据余弦的二倍角公式即可求解，（2）根据同角关系可得，进而根据二倍角公式以及和差角公式即可求解.【详解】（1）是钝角，（2）是钝角，,12．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值.(1);(2);(3);(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用三角函数的二倍角公式，结合诱导公式转化计算即可得解.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.13．（23-24高一上·广东·期末）已知，其中.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据同角三角函数的关系，结合二倍角的正弦余弦公式可求的值；（2）结合（1），利用两角和的余弦公式，可求的值.【详解】（1）因为，所以，，，.（2），.14．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）已知，且．(1)求的值；(2)求的值；(3)求角的大小．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据同角平方关系即可求解；（2）根据和角余弦公式求解，再根据倍角余弦公式即可求解；（3）先根据差角正弦公式求解，再结合角的范围即可求解.【详解】（1）因为，所以.又，所以，所以.而，所以，所以.（2）由且，得，所以.又，所以.（3）由（2）知，所以，所以.又，所以，所以.【高分达标】一、单选题15．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可.【详解】.故选：D.16．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函数的诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可.【详解】.故选：B17．（2025高三下·全国·专题练习）若，则的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，结合同角三角函数关系式和二倍角公式，即可求解【详解】因为，则，①又因为，则，故①式整理可得，，解得或（舍去），故，所以．故选：．18．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将平方求出，结合平方关系求出，即可求得，利用两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】已知，则，所以，联立，结合，解得，则，故.故选：D.19．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简计算即可.【详解】原式.故选：A20．（24-25高三上·山东青岛·期末）设，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角公式化简所求式子，再将齐次分式转化为表示的式子，即可求解.【详解】.故选：D21．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果.【详解】易知，所以.故选：B22．（24-25高一上·广东广州·期末）下列正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用倍角公式可求答案.【详解】因为，所以A不正确；因为，所以B不正确；因为，所以C不正确；因为，所以D正确.故选：D23．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据两角和的正弦公式展开，再利用辅助角公式，求得，进而求得，根据，得出答案.【详解】由，得，所，由二倍角公式得，又，所以，所以.故选：B二、多选题24．（2025高三下·全国·专题练习）下列各式的值正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】应用二倍角正弦，余弦，正切公式计算化简判断各个选项即可.【详解】．A不正确；，B正确；，C不正确；，D正确．故选：BD.25．（24-25高一上·广东汕头·期末）下列化简正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确.【详解】对于A，易知，可得A错误；对于B，易知，即B正确；对于C，易知，即可得C错误；对于D，，可得D正确.故选：BD26．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）下列等式成立的有（）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根据两角和与差的正弦、余弦、正切公式，可判断A，B，D选项；由二倍角的余弦公式，可判断C选项.【详解】A选项，因为所以，故A正确；B选项，，故B错；C选项，，故C错；D选项，，故D正确；故选：AD27．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由条件等式两边平方，结合平方关系可得，再结合平方公式求，由此可求，，再结合二倍角公式，商的关系求，即可判断.【详解】因为，两边平方可得，所以，即，A正确；因为，，所以，所以，B正确；所以，，所以，，C错误，D错误.故选：AB.28．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，则下列说法正确的有（

）A．为锐角B．点在的终边上C．D．【答案】ACD【分析】根据题中条件及平方关系式，解得，结合角的范围判断A；进而求得，可判断B，C；继而利用二倍角公式及两角差的正弦公式计算即可判断D.【详解】由和，解得，因为，则，所以为锐角，A正确；则，即，C正确；可得，由，可知点在的终边上，B错误；由,，所以，D正确.故选：ACD.29．（24-25高一上·广西柳州·期末）下列四个式子中，计算正确的是（

）A．B．C．D．若，则【答案】BCD【分析】根据两角差的正弦公式求A，由辅助角公式求B，由两角和的正切公式求C，由同角三角函数的关系结合二倍角公式求D.【详解】A选项，根据两角差的正弦公式，，A选项错误；B选项，根据辅助角公式，，B选项正确；C选项，根据两角和的正切公式，，C选项正确；D选项，，D选项正确.故选：BCD三、填空题30．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，则.【答案】【分析】由二倍角公式，然后构造齐次式，由的值求得结果.【详解】.故答案为：.31．（24-25高一上·江苏无锡·期末）若，且，则.【答案】【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可.【详解】由可得，因为，所以，所以，解得，所以由，解得，所以，故答案为：32．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，则.【答案】【分析】由正切二倍角公式即可求解；【详解】.故答案为：33．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，则.【答案】【分析】根据结合二倍角的余弦公式即可得解.【详解】.故答案为：.34．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则．【答案】/【分析】利用三角函数的定义和二倍角公式可求答案.【详解】因为角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点，即；所以，所以，故答案为：35．（24-25高一上·天津·期末）已知，则【答案】【分析】根据二倍角公式得，再求出和，最后利用两角差的正弦公式即可得到答案.【详解】因为，则，则，，因为，则，则，所以，所以.故答案为：.四、解答题36．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）将两边平方，求出，即可得解；（2）首先求出，再由同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】（1）因为，所以，即，，所以，即.（2）因为，所以，又，所以，则，所以.37．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆O相交于点，过A作x轴的垂线，垂足为B．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）理解题意，利用三角函数的定义即可求得；（2）由三角函数的定义先求得，再利用二倍角公式将所求式化简成齐次的弦的分式，运用同角的三角函数关系式化弦为切，代入计算即得.【详解】（1）由题意得角的终边与单位圆O相交于，所以．（2）因角的终边与单位圆O相交于，故，则．38．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知.(1)求的值；(2)求和的值.【答案】(1)(2)，.【分析】（1）由诱导公式及同角函数的基本关系可得答案；（2）由二倍角正切公式及两角差的正切公式可得答案.【详解】（1）由诱导公式及同角函数的基本关系，有有.可得；（2）由，有，有.故有，.39．（24-25高一下·全国·课堂例题）证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由二倍角的余弦与正弦公式证明；（2）右边由两角和与差的正弦公式变形后，弦化切可得到左边．【详解】（1）左边右边，∴原等式成立．（2）右边，分子，分母同除以，得右边左边，40．（24-25高一上·河南周口·期末）已知．(1)求；(2)若，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，利用齐次式可求解；（2）由二倍角的正切函数公式求得，由，求得，进而利用两角和的正切函数公式可求解.【详解】（1）因为，所以．（2）因为，所以．

因为，①两边平方得，所以，

又因为，所以，所以，②

①②联立，得，所以，