广东省梅州市桃尧中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析

广东省梅州市桃尧中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=对称，且方程f（x）=m在[0，）上恰有两个不同的实数根，则实数m取值范围是（） A．[0，1] B． [1，2] C． [，2） D． [1，]参考答案：考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 由题意可得可得±=sin+acos，求得a的值，可得f（x）=2sin（x+）．再根据函数y=f（x）的图象和直线y=m在[0，）上有两个交点，求得m的范围．解答： 解：由函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=对称，可得x=时，函数取得最大值或最小值，故有±=sin+acos，求得a=，∴f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）．在[0，）上，x+∈[，），f（x）∈（1，2]．再根据方程f（x）=m在[0，）上恰有两个不同的实数根，可得函数y=f（x）的图象和直线y=m在[0，）上有两个交点，故≤m＜2，故选：C．点评： 本题主要考查三角函数的图象的对称性，两角和的正弦公式，方程根的存在性以及个数判断，属于基础题．2.将函数y=sin（2x+）的图象经怎样平移后所得的图象关于点（﹣，0）中心对称（）A．向左移 B．向左移 C．向右移 D．向右移参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．【解答】解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到y=sin（2x+2ρ+）关于点（﹣，0）中心对称∴将x=﹣代入得到sin（﹣+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=﹣+当k=0时，ρ=﹣故选C．3.这三个数之间的大小顺序是

（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C4.椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（

）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：D略5.放射性元素一般都有一个半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间）．已知一种放射性元素的质量按每年10%衰减，那么这种放射性元素的半衰期是（）年（精确到0.1，已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）．A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.3参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【分析】设这种放射性元素的半衰期为n，则（1﹣10%）n=0.5，取对数即可得出．【解答】解：设这种放射性元素的半衰期为n，则（1﹣10%）n=0.5，即，∴n====6.6．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是 A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C7.在三棱锥中，若O是底面ABC内部一点，满足,则(

)

A.

B.5

C.2

D.

参考答案：C8.复数,则

（

） A．25 B． C．5 D．参考答案：C略9.设常数，展开式中的系数为，则A.

B.

C.2

D.1参考答案：D略10.设P为等边所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值为（

）

A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，则___________．参考答案：12.已知是奇函数，若且，则

.参考答案：313.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为

.参考答案：14.设，若，则_________

参考答案：或略15.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为

．参考答案：16.不等式的解集是__________________.参考答案：略17.设P，Q分别为圆x2+y2﹣8x+15=0和抛物线y2=4x上的点．则P，Q两点间的最小距离是．参考答案：2﹣1

【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得圆的圆心和半径，由二次函数可得P与圆心距离的最小值，减半径即可．【解答】解：∵圆x2+y2﹣8x+15=0可化为（x﹣4）2+y2=1，∴圆的圆心为（4，0），半径为1，设P（x0，y0）为抛物线y2=4x上的任意一点，∴y02=4x0，∴P与（4，0）的距离d==，∴由二次函数可知当x0=2时，d取最小值2，∴所求最小值为：2﹣1．故答案为：2﹣1．【点评】本题考查两点间的距离公式，涉及抛物线和圆的知识，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.不等式选讲已知函数.(Ⅰ)解不等式:；(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.参考答案：解:(Ⅰ)原不等式等价于:当时,,即.当时,,即

当时,,即.综上所述,原不等式的解集为.…………5分(Ⅱ)当时,=所以

……………10分

略19.如图四棱锥，底面梯形中，，平面平面，已知.(1)求证：；(2)线段上是否存在点，使三棱锥体积为三棱锥体积的6倍.若存在，找出点的位置；若不存在，说明理由.参考答案：1）证：∴又∵平面平面，平面平面∴面，又面，∴（2）假设存在点满足条件，设，点到面的距离为，点到面的距离为，由相似三角形可知∴∴点是上的一个靠近点的三等分点.20.（本小题满分12分）设函数(1)

当时，求曲线在点处的切线方程；(2)

当时，的最大值为，求的取值范围.参考答案：（1）

(2)【知识点】导数的应用.B12解析：（1）当时，

所以曲线在点处的切线方程为

………4分(2)令得

………6分1

当时，在递减，在递增当时，2

当即时，在和递减，在递增解得,所以3

当即时，在递减,4

当即时，在和递减，在递增，解得,所以5

当即时，在递增，不合题意……11分综上所述：的取值范围为

………12分第（2）问另解：当时的最大值为，等价于对于恒成立，可化为对于恒成立

………7分令，则于是在上递增，在上递减，的取值范围是………12分【思路点拨】（1）利用a=1，化简函数求出切点坐标，求解是的导数，得到切线方程的斜率，即可求解切线方程．（2）求出函数的导数，利用导数为0，得到极值点，然后①当a≥1时，②当，③当，④当，⑤当，分别求解函数的单调性推出最值，解得a的取值范围．第（2）问另解：f（x）当x≥0时的最大值为a，等价于f（x）≤a对于x≥0恒成立，转化a的函数，构造新函数，利用增函数的导数求解最值即可．21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）在棱PC上是否存在一点M，使二面角M﹣BQ﹣C为30°，若存在，确定M的位置，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）通过四边形BCDQ为平行四边形、∠AQB=90°，及线面垂直、面面垂直的判定定理即得结论；（2）以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Q﹣xyz，通过平面BQC的一个法向量与平面MBQ的一个法向量的夹角的余弦值为，计算即得结论．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴BC∥DQ且BC=DQ，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ，∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD，∵PA=PD，∴PQ⊥AD，∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；（2）结论：当M是棱PC上靠近点C的四等分点时有二面角M﹣BQ﹣C为30°．理由如下：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Q﹣xyz如图，∴Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，，0），则平面BQC的一个法向量为=（0，0，1），设满足条件的点M（x，y，z）存在，则=（x，y，z﹣），=（﹣1﹣x，﹣y，﹣z），令=t，其中t＞0，∴，∴，在平面MBQ中，=（0，，0），=（﹣，，），∴平面MBQ的一个法向量为=（，0，t），∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴cos30°=||==，解得t=3，∴满足条件的点M存在，M是棱PC的靠近点C的四等分点．

22.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与港口相距20海里的处，并以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航速只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航向与航速的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。参考答案：某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与港口相距20海里的处，并以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航速只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航向与航速的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。20.解：（1）若相遇时小艇的航行距