广东省梅州市大坝中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析

广东省梅州市大坝中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过双曲线（，）的右焦点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，点为坐标原点，若四边形的面积为4，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D2.已知三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，平面ABC，且PA=1，则点A到平面PBC的距离为

(

)A.1

B.

C.

D.参考答案：C3.m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是

（

）

A.可能垂直，但不可能平行

B.可能平行，但不可能垂直

C.可能垂直，也可能平行

D.既不可能垂直，也不可能平行参考答案：D4.已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)，若f(x)的图象如右图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致为A

B

C

D参考答案：A略5.在数列中，已知等于的个位数，则的值是（

）

A．8

B．6

C．4

D．2参考答案：C，所以的个位数是4，，所以所以的个位数是8，，所以的个位数是2，，所以的个位数是6，的个位数是2，的个位数是2，的个位数是4，的个位数是8，的个位数是2，所以从第三项起，的个位数成周期排列，周期数为6，，所以的个位数和的个位数一样为4，选C.6.函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.sinx=0是cosx=1的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可．【解答】解：若sinx=0，则x=kπ，k∈Z，此时cosx=1或cosx=﹣1，即充分性不成立，若cosx=1，则x=2kπ，k∈Z，此时sinx=0，即必要性成立，故sinx=0是cosx=1的必要不充分条件，故选：B8.已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．1参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r?sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r?sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．9.（5分）若不等式a＞|t﹣1|﹣|t﹣2|对任意t∈R恒成立，则函数的单调递减区间为（）A．B．（3，+∞）C．D．（﹣∞，2）参考答案：B设y=|t﹣1|﹣|t﹣2|，由t﹣1=0，得t=1；由t﹣2=0，得t=2．当t≥2时，y=t﹣1﹣t+2=1；当1≤t＜2时，y=t﹣1﹣2+t=2t﹣3∈[﹣1，1）；当t＜1时，y=1﹣t﹣2+t=﹣1．∴y=|t﹣1|﹣|t﹣2|的值域是[﹣1，1]．∵不等式a＞|t﹣1|﹣|t﹣2|对任意t∈R恒成立，∴a＞1．∴0＜＜1．∵函数，∴x2﹣5x+6＞0，解得x＞3，或x＜2．∵m=x2﹣5x+6是开口向上，对称轴为x=的抛物线，∴函数的单调递减区间为（3，+∞）．故选B．10.设若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则与的夹角等于（A）

（B）

（C）

（D）或参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°=

参考答案：2

略12.下列四个结论中，错误的序号是___________.①以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为，若曲线C上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越宽，说明模型拟合精度越高；③设随机变量，若，则；④已知n为满足能被9整除的正数a的最小值，则的展开式中，系数最大的项为第6项.参考答案：234【分析】对于①，把极坐标方程化为直角坐标方程，结合圆心与原点的距离关系可求；对于②，带状区域宽度越宽，说明模型拟合误差越大；对于③，先利用求出，然后再求；对于④，先求出，再利用二项式定理的通项公式求解系数最大的项.【详解】对于①，化为直角坐标方程为，半径为.因为曲线C上总存在两个点到原点的距离为，所以，解得，故①正确；对于②，带状区域宽度越宽，说明模型拟合误差越大，故②错误；对于③，，解得；，故③错误；对于④，，而，所以，所以的系数最大项为第7项，故④错误；综上可知②③④错误.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及知识点较多，知识跨度较大，属于知识拼盘，处理方法是逐一验证是否正确即可.13.已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为

▲

．参考答案：114.若全集，集合，则

。参考答案：本题考查集合的运算，难度较小.因为，所以.15.已知定义在R上的奇函数，满足：对于有，则

参考答案：答案:016.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.参考答案：略17.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，数列{bn}满足，则数列{an?bn}的前n项和Tn=．参考答案：10+（3n﹣5）2n+1【考点】数列的求和．【分析】利用an=Sn﹣Sn﹣1求出数列{an}的通项公式，然后利用，求出数列{bn}通项公式；利用cn=anbn．求出数列cn的通项公式，写出前n项和Tn的表达式，利用错位相减法，求出前n项和Tn．【解答】解：由已知得，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=3n﹣2，又a1=1=3×1﹣2，符合上式．故数列{an}的通项公式an=3n﹣2．又因为，所以log2bn=（an+2）=n，即bn=2n，令cn=anbn．则cn=（3n﹣2）?2n．所以Tn=1×21+4?22+7?23+…+（3n﹣2）?2n，①2Tn=1×22+4×23+7?24+…+（3n﹣2）?2n+1，②由②﹣①得：﹣Tn=2+3?22+3?23+…+（3n﹣5）?2n+1=3×（2+22+…+2n）﹣（3n﹣2）?2n+1﹣2=﹣（3n﹣5）?2n+1﹣10，所以Tn=10+（3n﹣5）2n+1故答案是：10+（3n﹣5）2n+1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，证明：e﹣2＜a＜1．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围得出函数的单调区间，从而求出函数的最值；（2）设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，通过讨论a的范围，得出a的取值．【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，得g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，所以g′（x）=ex﹣2a．当x∈时，g′（x）∈．当a≤时，g′（x）≥0，所以g（x）在上单调递增，因此g（x）在上的最小值是g（0）=1﹣b；当a≥时，g′（x）≤0，所以g（x）在上单调递减，因此g（x）在上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b；当＜a＜时，令g′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），所以函数g（x）在区间上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增，于是，g（x）在上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b．综上所述，当a≤时，g（x）在上的最小值是g（0）=1﹣b；当＜a＜时，g（x）在上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b；当a≥时，g（x）在上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b．…（2）证明：设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，则由f（0）=f（x0）=0可知，f（x）在区间（0，x0）上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g（x）不可能恒为正，也不可能恒为负．故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1．同理g（x）在区间（x0，1）内存在零点x2．故g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点，由（1）知，当a≤时，g（x）在递增，故g（x）在（0，1）内至多有1个零点，当a≥时，g（x）在递减，故g（x）在（0，1）内至多有1个零点，都不合题意，所以＜a＜，此时，g（x）在区间递减，在区间（ln（2a），1）递增，因此x1∈（0，ln（2a）），x2∈（ln（2a），1），必有：g（0）=1﹣b＞0，g（1）=e﹣2a﹣b＞0，由f（1）=0，得a+b=e﹣1＜2，有g（0）=a﹣e+2＞0，g（1）=1﹣a＞0，解得：e﹣2＜a＜1，所以函数f（x）在区间（0，1）内有零点时，e﹣2＜a＜1．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想，是一道综合题．19.如图，圆锥的轴截面为三角形SAB，O为底面圆圆心，C为底面圆周上一点，D为BC的中点．（I）求证：平面SBC⊥平面SOD；（II）如果∠AOC=∠SDO=60°，BC=2，求该圆锥的侧面积．参考答案：【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出SO⊥平面OBC，从而SO⊥BC，再求出OD⊥BC，从而BC⊥平面SOD，由此能证明平面SBC⊥平面SOD．（Ⅱ）求出∠COD=60°，OD=1，OC=2，SO=，SA=，由此能求出该圆锥的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）由题意知SO⊥平面OBC，又BC?平面OBC，∴SO⊥BC，在△OBC中，OB=OC，CD=BD，∴OD⊥BC，又SO∩OD=O，∴BC⊥平面SOD，又BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SOD．解：（Ⅱ）在△OBC中，OB=OC，CD=BD，∵∠AOC=60°，∴∠COD=60°，∵CD=，∴OD=1，OC=2，在△SOD中，∠SDO=60°，又SO⊥OD，∴SO=，在△SAO中，OA=OC=2，∴SA=，∴该圆锥的侧面积为．20.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，）.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若曲线上的动点到直线的最大距离为，求的值.参考答案：（1）由得，因为，，故可得曲线，由消去参数可得直线的普通方程为：；（2）由（1）可得曲线的参数方程为：（为参数），由点到直线的距离公式可得：据条件可知，由于，分如下情况：①时，由得；②时，由得；综上，.21.（本小题满分12分）为迎接2012年伦敦奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛,其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：（1）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个得分与其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；（2）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值的分布列与期望.

参考答案：【解析】（1）有茎叶图可知，甲运动员七轮比赛的得分情况为：78，81，84，85，84，85，91．所以甲每轮比赛的平均得分为，显然甲运动员每轮比赛得分中不低于80且不高于90的得分共有5个，分别为81，84，85，84，85，其中81分与平均得分的绝对值大于2，所求概率。………6分（2）设甲、乙两名运动员的得分分别为，则得分之差的绝对值为。显然，由茎叶图可知，的可能取值为0，1，2，3，5，6．当=0时，，故当=1时，或，故当=2时，或，故当=3时，或，故当=5时，，故当=6时，，故所以的分布列为：0123