广东省梅州市四望嶂中学高一数学文联考试题含解析

广东省梅州市四望嶂中学高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域是（）A．[﹣2，0] B．（﹣2，0） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】直接由对数函数的真数大于0，然后求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由函数，可得﹣x2﹣2x＞0，解得：﹣2＜x＜0．∴函数的定义域是：（﹣2，0）．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数函数的性质，是基础题．2.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且，则不等式的解集为

(

)A．(－∞，－1]∪(0,1]

B．[－1,0]∪[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D．[－1,0)∪(0,1]参考答案：C3.设向量=（cosα，），若的模长为，则cos2α等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：A【考点】GT：二倍角的余弦．【分析】由||==，求得cos2α=，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α=2cos2α﹣1的值．【解答】解：由题意可得||==，∴cos2α=．∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故选：A．4.已知向量满足，，，则=（）A.3 B.5 C.6 D.7参考答案：C【分析】根据向量的模即可求出．【详解】∵，∴，即14=9+16+，∴=-11．∴=9+16+11=36，∴，故选：C．【点睛】本题考查了向量的模的计算，属于基础题．5.设,，则有（）

参考答案：A6.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3 B．2 C． D．1参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S△SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30°得：AC=2，SA=2又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30°得：BC=2，SB=2则：SA=SB，AC=BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===又SD交CD于点D所以：AB⊥平面SCD即：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB?S△SCD，因为：SD=，CD=，SC=4所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==则：sin∠SDC==由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD?CD?sin∠SDC==3所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB?S△SCD==故选C7.下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是

参考答案：C8.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是(

)

A.

B.

C.y=－x3

D.参考答案：C是非奇非偶函数，在定义域内为减函数；是奇函数，在定义域内不单调；y=－x3是奇函数，又在定义域内为减函数；是非奇非偶函数，在定义域内为减函数；故选：C

9.已知偶函数在上单调递增，则下列关系式成立的是(

)

A．

B．C．

D．参考答案：C10.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，若,

,则=

（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f（x）=，则f（f（﹣2））=．参考答案：5【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，从而f（f（﹣2））=f（3），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．故答案为：5．12.若函数f（x）=﹣a是奇函数，则实数a的值为

．参考答案：1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的结论：f（0）=0列出方程，求出a的值即可．【解答】解：因为奇函数f（x）=﹣a的定义域是R，所以f（0）=﹣a=0，解得a=1，故答案为：1．13.已知若，则的最小值为

参考答案：914.已知函数为增函数，则实数a的取值范围是

_____________.参考答案：略15.（5分）给出下列命题：①存在实数α，使sinα?cosα=1；②存在实数α，使；③函数是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ；其中正确命题的序号是

．参考答案：③④考点： 命题的真假判断与应用．专题： 计算题；综合题．分析： 由二倍角的正弦公式结合正弦的最大值为1，可得①不正确；利用辅助角公式，可得sinα+cosα的最大值为，小于，故②不正确；用诱导公式进行化简，结合余弦函数是R上的偶函数，得到③正确；根据y=Asin（ωx+?）图象对称轴的公式，可得④正确；通过举出反例，得到⑤不正确．由此得到正确答案．解答： 对于①，因为sinα?cosα=sin2α，故不存在实数α，使sinα?cosα=1，所以①不正确；对于②，因为≤，而，说明不存在实数α，使，所以②不正确；对于③，因为，而cosx是偶函数，所以函数是偶函数，故③正确；对于④，当时，函数的值为=﹣1为最小值，故是函数的一条对称轴方程，④正确；对于⑤，当α=、β=时，都是第一象限的角，且α＞β，但sinα=＜=sinβ，故⑤不正确．故答案为：③④点评： 本题以命题真假的判断为载体，考查了二倍角的正弦公式、三角函数的奇偶性和图象的对称轴等知识，属于中档题．16.（4分）若一条弧的长等于半径，则这条弧所对的圆心角为

rad．参考答案：1考点： 弧度制的应用．专题： 计算题；三角函数的求值．分析： 由弧度的定义，可得这条弧所对的圆心角．解答： ∵一条弧的长等于半径，∴由弧度的定义，可得这条弧所对的圆心角为1rad．故答案为：1点评： 本题考查弧度的定义，考查学生的计算能力，比较基础．17.已知集合，且，则实数________.参考答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设，其中

，且．求的最大值和最小值．参考答案：19．解：先证当且仅当时等号成立.因

…

由哥西不等式:，因为从而当且仅当时等号成立.再证当时等号成立.事实上，=故，当时等号成立．另证：设，若，则而由柯西不等式，可得即②成立，从而，故，当时等号成立.略19.已知（1）设，求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值；参考答案：解：（1）在是单调增函数 ，

（2）令，，原式变为：，，，当时，此时，，当时，此时，

略20.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）已知，函数，若函数在区间上是增函数，求的最大值.参考答案：（1），∵∴单调递增区间为单调递减区间为.（2），当，，∵在上是增函数，且，∴，，∴∴∵∴，∴，∴∴的最大值为1.21.已知函数f（x）=2|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+2m﹣8，其中m为参数，且满足m≤5． （1）若m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）； （2）若方程f（x）=2|m|在x∈[﹣2，+∞）上有唯一解，求实数m的取值范围； （3）若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围． 参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（1）由二次函数性质可知函数g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）； （2）方程f（x）=2|m|可化为（x﹣m）2=m2，解得x=0或x=2m，根据题意可得2m=0或2m＜﹣2，从而可知实数m的取值范围； （3）由题意可知g（x）的值域应是f（x）的值域的子集．分情况讨论f（x）和g（x）的值域，即可确定实数m的取值范围． 【解答】解：（1）m=2时，， ∴函数g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）， 单调减区间为（1，2）． （2）由f（x）=2|m|在x∈[﹣2，+∞）上有唯一解， 得|x﹣m|=|m|在x∈[﹣2，+∞）上有唯一解． 即（x﹣m）2=m2，解得x=0或x=2m， 由题意知2m=0或2m＜﹣2， 即m＜﹣1或m=0． 综上，m的取值范围是m＜﹣1或m=0． （3）由题意可知g（x）的值域应是f（x）的值域的子集． ∵ ①m≤4时，f（x）在（﹣∞，m）上单调递减，[m，4]上单调递增， ∴f（x）≥f（m）=1． g（x）在[4，+∞）上单调递增， ∴g（x）≥g（4）=8﹣2m， ∴8﹣2m≥1，即． ②当4＜m≤5时，f（x）在（﹣∞，4]上单调递减， 故f（x）≥f（4）=2m﹣4，g（x）在[4，m]上单调递减， [m，+∞）上单调递增， 故g（x）≥g（m）=2m﹣8 ∴2m﹣4≤2m﹣8， 解得5≤m≤6． 又4＜m≤5， ∴m=5 综上，m的取值范围是 【点评】本题考查导数在函数单调性中的应用，方程根的存在定理，以及存在性问题的转化，属于难题． 22.已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求出内层函数的