广东省梅州市叶塘中学高三数学理模拟试卷含解析

广东省梅州市叶塘中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列{an}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于（）A．8 B．6 C．﹣8 D．﹣6参考答案：A【考点】等比数列的性质．【分析】由题意可得，，解方程可得a1，再代入等比数列的通项公式可求．【解答】解：由题意可得，∴a1=4，a2=8故选A2.已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，故选D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．3.已知实数x，y满足约束条件，若函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则8a+16b的最小值为（）A． B．4 C．2 D．参考答案：A【考点】基本不等式；简单线性规划．【分析】可以作出不等式的平面区域，根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，得到3a+4b=1，进而用基本不等式解答即可得出8a+16b的最小值．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+1=0与直线2x﹣y﹣2=0的交点A（3，4）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大1，∴3a+4b=1．∴8a+16b≥2=2=2，则8a+16b的最小值为2．故选A．4.若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：,所以，故选A.考点：指数、对数函数的性质.5.设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合{y|y=x2﹣2}，则M∪N=（）A．（﹣2，﹣1） B．[﹣2，﹣1） C．（﹣2，+∞） D．[﹣2，+∞）参考答案：D【考点】1D：并集及其运算．【分析】解不等式得集合M、求值域得集合N，再计算M∪N．【解答】解：集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}=（﹣2，﹣1），集合N={y|y=x2﹣2}={y|y≥﹣2}=[﹣2，+∞），则M∪N=[﹣2，+∞）．故选：D．6.若，则的解集为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C试题分析：函数的定义域为，所以，解得.考点：导数与不等式.7.已知复数满足，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D8.函数f（x）=与g（x）=|x+a|+1的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．R B．（﹣∞，﹣e] C．[e，+∞） D．?参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】作出f（x）关于y轴对称的函数h（x）和g（x）的函数图象，根据h（x）与g（x）有交点得出a的范围．【解答】解：设y=h（x）与y=f（x）的图象关于y轴对称，则h（x）=f（﹣x）=，作出y=h（x）与y=g（x）的函数图象如图所示：∵f（x）与g（x）图象上存在关于y轴对称的点，∴y=h（x）与y=g（x）的图象有交点，∴﹣a≤﹣e，即a≥e．故选C．9.已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．π B．3π C． D．2π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】求出P到平面ABC的距离为，AC为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．10.已知命题：“若，则”，则下列说法正确的是（

）（A）命题的逆命题是“若，则”

（B）命题的逆命题是“若，则”

（C）命题的否命题是“若，则”（D）命题的否命题是“若，则”参考答案：【知识点】四种命题A2C解析：“若p则q”的逆命题是“若q则p”，否命题是“若则”，故选C.【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题，分别写出条件和结论的否定为否命题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

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．参考答案：略12.对于，以点为中点的弦所在的直线方程是_____．参考答案：试题分析：，圆心为（1,0），故所求直线的斜率为，直线方程为即考点：直线方程13.已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x，y）的值依次记为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），若程序运行中输出的一个数组是（t，﹣8），则t为．参考答案：81考点：循环结构．3794729专题：图表型．分析：由已知中程序框图，我们可以模拟程序的运行结果，并据此分析出程序运行中输出的一个数组是（t，﹣8）时，t的取值．解答：解：由已知中的程序框图，我们可得：当n=1时，输出（1，0），然后n=3，x=3，y=﹣2；当n=3时，输出（3，﹣2），然后n=5，x=32=9，y=﹣2×2=﹣4；当n=5时，输出（9，﹣4），然后n=7，x=33=27，y=﹣2×3=﹣6；当n=7时，输出（27，﹣6），然后n=9，x=34=81，y=﹣2×4=﹣8；当n=9时，输出（81，﹣8），故t=81．故答案为：81．点评：本题考查循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用利用框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．14.已知函数（、为实数，，），若，且函数的值域为，则的表达式__________．当时，是单调函数，则实数的取值范围是__________．参考答案：解：∵，，∴①，又∵，②，联立①②解出，，∴．15.在△ABC中，，，，则______．参考答案：3【分析】通过余弦定理求出，然后利用向量的数量积求解即可．【详解】解：在中，，，，可得，则.故答案为：3．【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．16.已知函数，设，若，则的取值范围是____________.参考答案：略17.已知函数f（x）满足：f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（814）=

．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用赋值法，分别求出f（1）…f（9）得出f（x）的周期是6，故求出答案．【解答】解：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y），令x=1，y=0，则4f（1）f（0）=f（1）+f（1），∴f（0）=，再令x=y=1，得f（2）=﹣，再令x=2，y=1，得f（3）=﹣，再令x=2，y=2，得f（4）=﹣，再令x=3，y=2，得f（5）=，再令x=3，y=3，得f（6）=，再令x=4，y=3，得f（7）=，再令x=4，y=4，得f（8）=，再令x=5，y=4，得f（9）=﹣，由此可以发现f（x）的周期是6，∵2014÷6=135余4，．∴f（814）=f（135×6+4）=f（4）=．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线。(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线交椭圆于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案：解：（I）由得直线是抛物线的一条切线。所以所以椭圆…………5分（Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为所以两圆的交点为点（0，1）猜想：所求的点T为点（0，1）.…………8分证明如下。当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点（0，1）当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为：由得设则所以，即以AB为直径的圆过点（0，1）所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T.……13分略19.已知函数为偶函数，且其图象上相邻最高点、最低点间的距离为（1）求函数的表达式（2）若已知，求的值参考答案：解：（1）因为函数为偶函数，所以，设最小正周期为，由题可的得，所以，，所以（2）因为，所以

所以原式=

略20.（本小题满分12分）已知是抛物线上的点，是的焦点，以为直径的圆与轴的另一个交点为.（Ⅰ）求与的方程；（Ⅱ）过点且斜率大于零的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，的面积为，证明：直线与圆相切.参考答案：(Ⅰ)为圆的直径，则，即，把代入抛物线的方程求得，即，；………………3分又圆的圆心是的中点，半径，则：.………………5分(Ⅱ)设直线的方程为，,，由得，则

…7分设的面积为,则……………9分解得：，又，则∴直线的方程为，即又圆心到的距离，故直线与圆相切.……12分21.某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元一本，经销过程中每本书需付给代理商m元的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x元一本，，预计一年的销售量为万本.（Ⅰ）求该出版社一年的利润L（万元）与每本书的定价x的函数关系式；（Ⅱ）若m=2时，当每本书的定价为多少元时，该出版社一年利润L最大，并求出L的最大值.参考答案：略22.已知A（﹣2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足．（1）求点D的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程．参考答案：【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．【分析】（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y），欲求点D的轨迹方程，即寻找x，y之间的关系式，利用向量间的关系求出P点的坐标后代入距离公式即可得；（2）设椭圆方程为，根据圆的切线性质及中点条件，利用待定系数法求出待定系数a，b即可．【解答】解：（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y），则），，则，故．又代入中，整理得