广东省梅州市古野中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析

广东省梅州市古野中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线和平面，那么的一个充分条件是（

）

A．存在一条直线，且

B．存在一条直线，且

C．存在一个平面，且

D．存在一个平面，且参考答案：C略2.从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．【点评】本题考查离散型随机变量的概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．3.如图曲线和直线所围成的图形（阴影部分）的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D令，所以面积为.

4.由等式定义映射，则（

）A.10

B.7

C.-1

D.0参考答案：D5.已知集合M＝{x|x≥－1}，N＝{x|2－x2≥0}，则M∪N＝(

)

A.[－，＋∞) B.[－1，] C.[－1，＋∞) D.(－∞，－]∪[－1，＋∞)参考答案：A略6.方程的曲线是

（

）A．一个点

B．一条直线

C．两条直线

D．一个点和一条直线参考答案：C由得，即，为两条直线，选C.7.下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=|x| D．y=xcosx参考答案：C【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性然后求解值域，推出结果即可．【解答】解：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=|x|是偶函数，值域为[0，+∞）．故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数的值域，是基础题．设M是△ABC所在平面内一点，且，则=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【考点】相等向量与相反向量．【专题】对应思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出M为AB的中点，从而求出的值．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC所在平面内一点，且，∴M为AB的中点，∴=（+）．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题目．8.已知A，B为两个集合，若命题，都有则(

)A．使得

B．使得C．使得

D．，参考答案：C略9.把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（

）A.168

B.96

C.72

D.144参考答案：D10.设，则

A.

B.1

C.2

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若等比数列满足,则_________.参考答案：12.若函数f（x）=x2+ln（x+a）（a＞0）与g（x）=x2+ex﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则关于x的方程x2+2alnx﹣2ax=0解的个数是

．参考答案：1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得，存在x＜0使f（﹣x）﹣g（x）=0，即ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零点，从而求解．【解答】解：若函数f（x）=x2+ln（x+a）（a＞0）与g（x）=x2+ex﹣（x＜0）图象上存在关于y轴对称的点，则等价为g（x）=f（﹣x），在x＜0时，方程有解，即x2+ex﹣=x2+ln（﹣x+a），即ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，∵a＞0∴ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为：e0﹣﹣lna＞0，即lna＜，故0＜a＜．令h（x）=x2+2alnx﹣2ax，，∵a2﹣4a＜0，∴h′（x）＞0，h（x）单调递增，x→0时，h（x）→﹣∞，x→+∞时，h（x）→+∞，∴h（x）=0有一个解，故答案为：1．13.若曲线y=lnx的一条切线是直线y=x+b，则实数b的值为．参考答案：﹣1+ln3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，通过旗下的斜率，列出方程求解即可．【解答】解：曲线y=lnx，可得y′=，曲线y=lnx的一条切线是直线y=x+b，可得=，解得切点的横坐标x=3，则切点坐标（3，ln3），所以ln3=1+b，可得b=﹣1+ln3．故答案为：﹣1+ln3．14.已知向量，满足，|，，则|

．参考答案：215.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往临近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆甲型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为

元.参考答案：略16.已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为

▲

.

参考答案：

17.已知数列满足，（，），且是递减数列，是时递增数列，则__________．参考答案：111.Com]由于是递减数列，因此，于是①因为，所以②.由①②知.因为③逆增数列，所以，所以.于是所以.故填.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数，常数．

（1）当时，解不等式；

（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．参考答案：解析：（1），，．

原不等式的解为．（2）当时，，对任意，，

为偶函数．

当时，，

取，得，

，

函数既不是奇函数，也不是偶函数．

19.

某矿产品按纯度含量分成五个等级，纯度X依次为A、B、C、D、E．现从一批该矿产品中随机抽取20件，对其纯度进行统计分析，得到频率分布表如下： （I）若所抽取的20件矿产品中，纯度为D的恰有3件，纯度为E的恰有2件，求a、b、c的值； （II）在（I）的条件下，从纯度为D和E的5件矿产品巾任取两件（每件矿产品被取出的可能性相同），求这两件矿产品的纯度恰好相等的概率．参考答案：略20.已知向量=（），=（,），其中（）．函数，其图象的一条对称轴为．（I）求函数的表达式及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若=1，b=l，S△ABC=，求a的值．参考答案：由余弦定理得，……11分故………12分

略21.如图所示，扇形AOB，圆心角∠AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设，求△COP面积的最大值及此时的值.参考答案：解（1）在中，，，由得，解得（2）∵，∴，在中，由正弦定理得，即∴，又∴.解法一：记的面积为，则∴时，取得最大值为.解法二：即，又，即当且仅当时等号成立.所以∵∴时，取得最大值为.

22.（13分）已知点Pn（an，bn）（n∈N*）满足an+1=anbn+1，，且点P1的坐标为（1，﹣1）．（Ⅰ）求经过点P1，P2的直线l的方程；（Ⅱ）已知点Pn（an，bn）（n∈N*）在P1，P2两点确定的直线l上，求证：数列是等差数列．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N*，能使不等式（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥成立的最大实数k的值．参考答案：【考点】：数列与解析几何的综合；数列与不等式的综合．【专题】：计算题．【分析】：（Ⅰ）由，知．由此知过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1．（Ⅱ）由Pn（an，bn）在直线l上，知2an+bn=1．故bn+1=1﹣2an+1．由an+1=anbn+1，得an+1=an﹣2anan+1．由此知是公差为2的等差数列．（Ⅲ）由．，知．所以，．依题意恒成立．设，所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．解：（Ⅰ）因为，所以．所以．（1分）所以过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1．（2分）（Ⅱ）因为Pn（an，bn）在直线l上，所以2an+bn=1．所以bn+1=1﹣2an+1．（3分）由an+1=anbn+1，得an+1=an（1﹣2a