广东省梅州市南口中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析

广东省梅州市南口中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A．f（﹣）=f（） B．f（﹣）＞f（） C．f（﹣）＜f（） D．不确定参考答案：C【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】利用已知条件，求出函数的导数，推出f′（），得到函数的表达式，然后比较f（﹣）与f（）的大小．【解答】解：函数f（x）=cosx+2xf′（），所以函数f′（x）=﹣sinx+2f′（），所以f′（）=﹣sin+2f′（）=，f（x）=cosx+x，则f（﹣）=cos﹣；f（）=cos+，所以f（﹣）＜f（）．故选C．2.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图中的（1），（2），（3），（4），则图中，a，b对应的运算是（）A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D参考答案：B【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系【解答】解：根据题意可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应圆．故选B．3.

参考答案：解析：对于A：e=，a=b，渐近线y=±x互相垂直，真命题.对于B：设所求直线斜率为k，则k=－2，由点斜式得方程为2x+y－3＝0,也为真命题.对于C：焦点F（，0）,准线x=－

,

d=1真命题.对于D：a=5，b=3，c=4，d=2·

假命题，选D．4.如图是函数的部分图象，f(x)的两零点之差的绝对值的最小值为，则f(x)的一个极值点为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C由题意，，则，，，，∴，即，经检验只有是极小值点.故选C.

5.如图①，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为(如图②)，则图①中的水面高度为.A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为(

)A．75° B．60° C．45° D．30°参考答案：C【考点】棱锥的结构特征；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】数形结合．【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．【解答】解析：如图，四棱锥P﹣ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．故选C．【点评】本题考查棱锥的结构特征，以及求直线和平面成的角的方法，体现了数形结合的数学思想．7.已知与之间的几组数据如下表：123456021

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假设根据上表数据所得线性回归直线方程为．若某同学根据上表中前两组数据，和，求得的直线方程为，则以下结论正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.已知点和圆，是圆的直径，和是的三等分点，(异于)是圆上的动点，于，，直线与交于，要使为定值，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.下列说法正确的是(

)A．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关B．方差和标准差具有相同的单位C．从总体中可以抽取不同的几个样本D．如果容量相同的两个样本的方差满足S<S，那么推得总体也满足S<S参考答案：C10.函数的单调递减区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：由函数导数可得得，所以减区间为考点：函数导数与单调性二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且，则f′(x)=

．参考答案：-112.已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=

．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值．【解答】解：双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），由题意可得=2，解得b=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题．13.甲袋中有4只白球，2只黑球，乙袋中有6只白球，5只黑球，现从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率是_____________.参考答案：17/33.14.已知双曲线的一条渐近线与直线

垂直，则双曲线的离心率__________参考答案：15.已知f(n)=1+2+3+……+(n-1)+n+(n-1)+……..+3+2+1,对任意n∈N*,f(n+1)-f(n)=_______;参考答案：2n+1略16.袋中有个球，其中有彩色球个．甲、乙、丙三人按甲、乙、丙、甲、乙、丙、的顺序依次从袋中取球，每次取后都放回，规定先取出彩色球者为获胜．则甲、乙、丙获胜的概率比为

.（以整数比作答）参考答案：9:6:417.焦点在直线上，且顶点在原点的抛物线标准方程为

_____

___。参考答案：x2=-12y或y2=16x三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn=qSn﹣1+1，其中q＞0，n＞1，n∈N*．（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求{an}的通项公式；（2）设双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=3，求e+e+…+e．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】（1）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{an}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a2，a3，a2+2成等差数列求得公比q的值，可得{an}的通项公式．（2）由（1）可得an=qn﹣1；又由双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=3，分析可得e2=q=2，进而可得数列{an}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+8n﹣1，运用分组求和法计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）：∵Sn+1=qSn+1①，∴当n≥2时，Sn=qSn﹣1+1②，两式相减可得an+1=q?an，即从第二项开始，数列{an}为等比数列，公比为q．当n=1时，∵数列{an}的首项为1，∴a1+a2=S2=q?a1+1，∴a2=a1?q，∴数列{an}为等比数列，公比为q．∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2a3=2a2+a2+2，∴2q2=2q+q+2，求得q=2，则数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，则an=1×2n﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）由（1）可得数列{an}是以1为首项，公比为q的等比数列，则an=1×qn﹣1=qn﹣1；若e2=3，则e2==3，解可得a2=2，则a2=q=2，即q=2，an=1×qn﹣1=qn﹣1=（2）n﹣1，则en2=1+an2=1+8n﹣1，故e12+e22+…+en2=n+（1+8+82+…+8n﹣1）=n+【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．19.已知数列满足，数列满足.（Ⅰ）证明数列是等差数列并求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.参考答案：解：（I）证明：由，得，∴所以数列是等差数列，首项，公差为∴（II）----①-------------------②①-②得略20.已知函数，，x∈R，；（1）若f(-1)=0，且函数f(x)的值域为[0，+∞），求F(x)的表达式；（2）设n<0<m，m+n>0，a>0且f(x)为偶函数，试判断并证明F(m)+F(n)的正负．参考答案：解：（1）∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0，即a=b﹣1，

----------2分∵f（x）的值域为[0，+∞），∴，

----------4分∴b2﹣4（b﹣1）=0，解得b=2，a=1，∴f（x）=x2+2x+1，

------------6分∴F（x）=．

-------------8分（2）∵f（x）是偶函数，∴f（x）=ax2+1，∴F（x）=----11分∵n＜0＜m，∴F（m）+F（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m2﹣n2），

----------13分∵n＜0＜m，m+n＞0，a＞0，∴m2＞n2，∴a（m2﹣n2）＞0．

----------15分∴F（m）+F（n）＞0．

---------16分21.已知关于x的不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0．（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）当a∈R，a≠0且a≠1时，求不等式的解集．参考答案：【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）a=2时解对应的一元二次不等式即可；（2）a∈R且a≠0且a≠1时，讨论a2与a的大小，解不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0即可．【解答】解：（1）当a=2时，不等式化为（x﹣2）（x﹣4）＜0，解得2＜x＜4，所以该不等式的解集为{x|2＜x＜4}；（2）当a∈R，a≠0且a≠1时，当0＜a＜1时，a2＜a，解不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0，得：a2＜x＜a；当a＜0或a＞1时，a＜a2，解不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0，得：a＜x＜a2；综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＜0或a＞1时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}．22.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．(1)求抛物线C的