广东省梅州市丰顺第一中学2023年高三数学理联考试题含解析

广东省梅州市丰顺第一中学2023年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域是A. B. C. D..参考答案：【答案解析】D

要使函数有意义则故选D。【思路点拨】先表示有意义的式子，再解出结果。2.命题“存在实数，使>1”的否定是（

）A.对任意实数,都有

>1

B.不存在实数，使1C.对任意实数,都有1

D.存在实数，使1参考答案：C3.对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知集合，集合，集合.命题，命题，（I）若命题为假命题，求实数的取值范围；（II）若命题为假命题，求实数的取值范围.参考答案：略5.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为.

.3

.

.参考答案：A由：，得，设，一条渐近线，即，则点到的一条渐近线的距离=，选A..6.函数的图象大致形状是

参考答案：D7.命题“”是命题“”的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不是充分又不是必要条件参考答案：Ｂ8.抛物线：的焦点坐标是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.函数周期为，其图像的一条对称轴是，则此函数的解析式可以是（

）A．

B．

C．D．参考答案：A略10.已知向量，且，则m=（

）A.－1 B.－2 C.－3 D.－4参考答案：C【分析】求出的坐标，由知，列出方程即可求出m.【详解】，因为，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查向量的坐标表示，两向量垂直则向量的数量积为0，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图4，已知是⊙的切线，是切点，直线交⊙于、两点，是的中点，连结并延长交⊙于点．若，，则=

．

参考答案：12.已知，若的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中项的系数为___________参考答案：61略13.设P为曲线C1上动点，Q为曲线C2上动点，则称|PQ|的最小值为曲线C1，C2之间的距离，记作d（C1，C2）．若C1：x2+y2=2，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=2，则d（C1，C2）=

；若C3：ex﹣2y=0，C4：lnx+ln2=y，则d（C3，C4）=

．参考答案：，（1﹣ln2）．

【考点】直线与圆的位置关系．【分析】考虑到C1：x2+y2=2，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=2，利用圆心距减去半径，可得结论；考虑到两曲线C3：ex﹣2y=0，C4：lnx+ln2=y关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，由点到直线的距离公式即可得到最小值．【解答】解：C1（0，0），r1=，C2（3，3），r2=，d（C1，C2）=3=；∵C3：ex﹣2y=0，C4：lnx+ln2=y互为反函数，先求出曲线ex﹣2y=0上的点到直线y=x的最小距离．设与直线y=x平行且与曲线ex﹣2y=0相切的切点P（x0，y0）．y′=ex，∴=1，解得x0=ln2∴y0=1．得到切点P（ln2，1），到直线y=x的距离d=，丨PQ丨的最小值为2d=（1﹣ln2），故答案为，（1﹣ln2）．14.已知实数满足，则的取值范围为

．参考答案：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线过点时，有最小值，当直线过点时，有最大值，故的取值范围为.

15.已知集合若，则实数的取值范围是A．{1} B．（—，0） C．（1，+）

D．（0，1）参考答案：D16.在△ABC中，若，则角C=

．参考答案：由正弦定理，由，可得.由余弦定理可得，代入上式得：.所以.因为.所以.解得.故答案为：.

17.若直线(m–1)x+3y+m=0与直线x+(m+1)y+2=0平行，则实数m=________.参考答案：－2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分12分）已知等差数列（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项的和Sn.参考答案：略19.已知椭圆Cn：+=n（a＞b＞1，n∈N*），F1，F2是椭圆C4的焦点，A（2，）是椭圆C4上一点，且?=0；（1）求Cn的离心率并求出C1的方程；（2）P为椭圆C2上任意一点，直线PF1交椭圆C4于点E，F，直线PF2交椭圆C4于点M，N，设直线PF1的斜率为k1，直线PF2的斜率为k2；（i）求证：k1k2=﹣（ii）求|MN|?|EF|的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆C4的方程为：=4，即：=1．不妨设c2=a2﹣b2，则F2（2c，0）．由?=0，可得⊥．2c=2，==，2b4=a2=b2+1，解出即可得出．（2）（i）椭圆C2的方程为：+y2=2即：+=1．椭圆C4的方程为：=1．设P（x0，y0），由P在椭圆C2上，可得y02=（4﹣x02）．再利用斜率计算公式即可证明k1k2为定值．（ii）设直线PF1的方程为：y=k1（x+2）直线PF2的方程为：y=k2（x﹣2），与椭圆方程联立消元整理得：（2k12+1）x2+8k1x+8k12﹣8=0，设E（x1，y1），F（x2，y2），利用根与系数的关系可得|EF|=，|MN|．利用（i）的结论代入|EF|?|MN|，化简即可证明．【解答】解：（1）解：椭圆C4的方程为：=4，即：=1．不妨设c2=a2﹣b2

则F2（2c，0）．∵?=0，∴⊥．于是2c=2，==，2b4=a2=b2+1，∴2b4﹣b2﹣1=0，（2b2+1）（b2﹣1）=0，∴b2=1，a2=2．∴椭圆Cn的方程为：+y2=n．∴e2==，∴e=．椭圆C1的方程为：+y2=1．（2）（i）证明：椭圆C2的方程为：+y2=2

即：+=1．椭圆C4的方程为：+y2=4

即：=1．∴F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（x0，y0），∵P在椭圆C2上，∴=1，即y02=（4﹣x02）．∴k1k2=?===﹣．（ii）设直线PF1的方程为：y=k1（x+2）直线PF2的方程为：y=k2（x﹣2），联立方程组：

消元整理得：（2k12+1）x2+8k1x+8k12﹣8=0…①设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=．∴|EF|==．同理：|MN|=．∴|EF|?|MN|=?=32×=32×==16+≤18，又|EF|?|MN|＞0．∴|EF|?|MN|∈（16，18]．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1.

(1)

求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A-CD-E的余弦值。

参考答案：以点为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得

（1）

所以异面直线与所成的角的大小为.（5分）（2）又由题设，平面的一个法向量为

（（10分）21.

我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人(年龄60岁及以上)人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并娄托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：(I)若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？(Ⅱ)估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；(Ⅲ)据统计该市大约有丑分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下： ①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算.（单位:亿元,结果保留两位小数）参考答案：（Ⅰ）数据整理如下表：健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上2045201580岁以下2002255025从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：8×=3人，80岁以下应抽取：8×=5人…………2分（Ⅱ））在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×=11万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为．

……………5分（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，，，，

……………8分则随机变量X的分布列为：X0120200220300PE(X)==28

……………10分全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元．政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元．

……………12分22.（本小题满分12分）已知，函数（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当x[0，2]时，求|f(x)|的最大值．参考答案：（Ⅰ）y=（3a-3）x-3a+4；（Ⅱ）【知识点】导数的应用解析：（Ⅰ）因为f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3，所以f′（x）=3x2-6x+3a，故f′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a-3）x-3a+4；（Ⅱ）由于f′（x）=3（x-1）2+3（a-1），0≤x≤2．故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增，故|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a-1．当0＜a＜1时，由3（x-1）2+3（a-1）=0，得．所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极大值，极小值．故f（x1）+f（x2）=2＞0，．从而f（x1）＞|f（x2）|．所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．当0＜a