2021版新高考数学：相等关系与不等关系含答案

/25a,b,lai、ablaiablai丽+丽+~b三丽兀万=丽+1，当且仅当丽=万时等号成立.立.又a+b=2,b>0,・°・当b=—2a,a=~2时，2^+罟取得最小值.]（20xx・xx市xx区模拟）已知a>1,b>0,a+b=2,则±+务的最小值为（）3_A.23_A.2+"』2C.3+2盪B.3J24+2D.A[已知a>1,b>0,a+b=2,可得(a—1)+b=1,又a—1>0,则士+2b=[(a—1)+b]G—7+谢…1ia—1|b、3,宀fa—1b3’匚=1+2+IT+a—7_2+22Txa^=2+^'2-aib当且仅当=,a+b=2时取等号.2ba—1113—则a—y+矛的最小值为2+72.故选a.]消元法求最值对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元（三元化二元，二元化一元）.

(20xx・嘉兴期末)已知a>0,b>0,且2a+b=ab—1,则a+2b的最小值为()A.5+2\:'6B.8辽C.5D.9A[°・°a>0,b>0,且2a+b=ab—1,・•a=b+lb_・•a=b+lb_2>0,：・b>2.・・a+2b=b+lb_2卜2b=2(b—2)+3

b—2三5+2-\；：2(b—2).^——2=5+2、拓.当且仅当2(b—2)=庆—2即方=2+¥时取等号・•a+2b的最小值为5+2'j6.故选A.]求解本题的关键是将等式“2a+b=ab~b=ab~1”变形为“b+1a=b^2,然后借助配凑法求最值.（20xx・新余模拟）已知正实数a,b,c满足a2—2ab+9b2—c=0,贝V当字取得最大值时，寸+£一乡的最大值为CzL4-UCzB.A.B.C.1D.0、ababC［由正实数a,b,c满足a2—2ab+9b2=c,得=a22ab丨9b2=a2_2【b+9b2=T^^吗当且仅当》=乎,即a=3b时，乎取最大值£+2abba

又因为a2—2ab+9b2—c=0.所以此时c=12b2.所以』+a1212b所以』+a1212b故最大值为1.]利用两次基本不等式求最值当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性.已知a>b>0,那么a2+bJ-b)的最小值为4［由题意a>b>0,则a-b>0,(b+a—b)2a2所以b(a—b)W2J=~4,14/4所以a2+b(a—b)三°2+02三2\;；°2忌=4'当且仅当b=a—b且a2=a2，即a=\/2,b=¥时取等号'所以a2+)的最小值为4」由于b+(a—b)为定值'故可求出b(a-b)的最大值’然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值.若a,b^R,ab>0,则a4+4b4+1

a4+4b4+1

ab的最小值为_.“a4十4b4十12、f44b4十14a2b2+114［因为ab>°，所以ab三ab=ab=4ab+abababab三2\“ab£=4三2\“ab£=4,当且仅当＜_1时取等号,ab=2故a4+ab4+1的最小值是4.]考点3利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50WxW120)的关系可近似表示为y=厂75(x2~130x+4900),xE[50,80),<12-60,xE[80,120].该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？已知A,B两地相距120km,假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？[解](1)当xE[50,80)时，y=75(x2—130x+4900)二召©—65)2+675],所以当x=65时，y取得最小值，最小值为75x675=9.x当xE[80,120]时，函数y=12—60单调递减，120故当x=120时，y取得最小值，最小值为12—而=10.因为9<10,所以当x=65,即该型号汽车的速度为65km/h时，可使得每小时耗油量最少.

⑵设总耗油量为lL由题意可知l=y・12⑵设总耗油量为lL由题意可知l=y・12'°,x16,①当x$[50,80)时,1208(,4900/=y==5lx+=130卜5卜警一130=当且仅当x=490°,x即x=70时，l取得最小值，最小值为16.1201440②当x^[80,120]时，l=y•一=——一2为减函数,xx所以当x=120时，l取得最小值，最小值为10.因为10<16,所以当速度为120km/h时，总耗油量最少.当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.(20xx・上海模拟)经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)=RxACBx+AC，其中a为年需求量，r为每单位物资的年存储费，c为每次订货费.某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费;(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？Bx［解］(1)因为年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)=^AC+亠，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费.X由题意可得：A=6000，B=120,C=2500，所以年存储成本费T(x)=60x+15000000,若该化工厂每次订购300吨甲醇,所以年存储成本费为T(300)=60X300+150000°00=68000.(2)因为年