广东省揭阳市普宁高埔中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

广东省揭阳市普宁高埔中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是偶函数，则函数图象的对称轴是（

）

A.B.

C.

D.参考答案：B2.已知函数满足条件，其中，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：考点：函数求值.3.设集合，则= （

） A．[5，7]

B．[5，6） C．[5，6]

D．（6，7]参考答案：B因为，所以，选B.4.已知曲线在点处的切线经过点，则的值为Ａ.

B.

C.

D.参考答案：B略5.已知直线x+y﹣5=0与两坐标轴围成的区域为M，不等式组所形成的区域为N，现在区域M中随机放置一点，则该点落在区域N的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】由题意画出图形，求出M、N的面积，结合几何概型求得答案．【解答】解：由题意画出图形如图，直线x+y﹣5=0与两坐标轴围成的区域为M为三角形AOB及其内部区域，其面积为；不等式组所形成的区域为N为图中阴影部分，联立，解得C（，），其面积为．由几何概型可得：点落在区域N的概率是．故选：A．6.已知且，函数在[－2,2]上的最大值为3，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据分段函数的表达式，分别求出函数递增和上的最大值，建立不等式关系进行求解即可．【详解】解：当时，，，由得（舍）或，此时为增函数，由得，此时为减函数，则当时，取得极大值，极大值为，当时，取得最小值，最小值为，∵在上的最大值为3，∴当时，函数的最大值不能超过3即可，当时，为增函数，则当时，函数的最大值为，即，得，当时，为减函数，则，此时满足条件．综上实数的取值范围是或，故选：A．【点睛】本题主要考查函数最值的求解，结合分段函数的表达式，利用函数的导数，以及指数函数的单调性分别求出对应函数的最值是解决本题的关键．7.已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对?x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（）A．f（x）＞0恒成立 B．f（x）＜0恒成立C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】令g（x）=x2f（x），求出函数的导数，得到函数g（x）的单调区间，从而求出函数的最大值，求出答案即可．【解答】解：令g（x）=x2f（x），则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，若对?x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立则x＞0时，g′（x）＜0，x＜0时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减，故g（x）max=g（0）=0，故选：C．8.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（

）A. B. C. D.参考答案：C令圆的半径为1，则，故选C。9.

已知集合，则有A.

B.

C.

D.参考答案：A10.若﹁p∨q是假命题，则A.p∧q是假命题B.p∨q是假命题C.p是假命题D.﹁q是假命题参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.展开式中，常数项是

．参考答案：12.若曲线y=aln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=_________．参考答案：2略13.已知点的坐标，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为

.参考答案：414.已知方程有两个实数根，且一个根大于1，一个根小于1，则实数取值范是____________。参考答案：(3，)15.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为

cm3．参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先根据三视图把几何体复原成立体图形，进一步根据立体图形的体积公式求出结果．解答： 解：根据三视图得知：该几何体的表面积是：上面是一个以1为半径的球体，下面是一个以2为半径，高为2的圆柱的组合体．所以：V=故答案为：点评：本题考查的知识要点：三视图和立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力．16.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为______________.参考答案：6根据不等式组画出可行域是一个封闭的三角形区域，目标函数可化简为截距越大目标函数值越大，故当目标函数过点时，取得最大值，代入得到6.

17.是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆的左焦点为F,离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．

(I)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)没A，B分别为椭圆的左右顶点，过点F且斜率为的直线与椭圆交于C，D两点，若，求的值．参考答案：解：（I）根据椭圆方程为．∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴=，--------------------------------------------------2分∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；-------------------------------5分（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，--------------------------------8分又A（﹣，0），B（，0），∴=（x1+，y1）?（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）?（﹣x1．﹣y1）=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．----------------------------------------------------------12分

略19.已知函数，对任意的，恒有．（1）证明：当时，；（2）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值．参考答案：（1）易知由题设，对任意的，即恒成立，所以，从而--------于是------------故当时，有，即当时，

-------------（2）由（I）知，当时，有

令 ------------7而函数的值域是．因此，当时，M的取值集合为

------------9当时，由（1）知，．此时或从而恒成立．综上所述，M的最小值为

------------1220.（本小题满分12分）已知数列中，，前项和为（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求满足不等式的值．参考答案：解：（1）由，得当时

∴

，即

，∴（）------3分又，得，

∴，

∴适合上式∴数列是首项为1，公比为的等比数列∴

------------6分（2）∵数列是首项为1，公比为的等比数列，∴数列是首项为1，公比为的等比数列，∴

-----------…9分又∵，∴不等式＜

即得：＞，

∴n=1或n=2

…………12分

21.（12分）如图，三棱锥中，、、两两互相垂直，且，,、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积.参考答案：解析:（Ⅰ）证明：∵、分别为、的中点，∴.

又∵平面平面∴平面

…………4分（Ⅱ）∵，，∴平面.又∵，∴平面.∵平面,∴平面平面.

…………8分（Ⅲ）∵平面，∴是三棱锥的高.在Rt△中，.

在Rt△中，.

∵，是的中点，∴,故.

………………12分22.（16分）数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn=an(+r)(r∈R，n∈N*)．（1）求r的值及数列{an}的通项公式；（2）设bn=(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn．①当n∈N*时，λ＜T2n﹣Tn恒成立，求实数λ的取值范围；②求证：存在关于n的整式g（n），使得(Tn+1)=Tn·g(n)﹣1对一切n≥2，n∈N*都成立．参考答案：【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（1）n=1时，S1=a1×=a1，解得r，可得Sn=an．利用递推关系可得=，（n≥2）．利用“累乘求积”方法可得an．（2）①bn==，Tn=+…+，T2n=…+，作差可得数列{T2n﹣Tn}的单调性．利用当n∈N*时，λ＜T2n﹣Tn恒成立，可得λ的求值范围．②由①可得：n≥2时Tn﹣Tn﹣1=，即（n+1）Tn﹣nTn﹣1=Tn﹣1+1，n≥2时，可得=（n+1）Tn﹣1．即可得出．【解答】（1）解：n=1时，S1=a1×=a1，解得r=，∴Sn=an．n≥2时，Sn﹣1=an﹣1．两式相减可得：an=an﹣an﹣1．∴=，（n≥2）．∴an=?…=?…??2=n（n+1），n=1时也适合．∴an=n（n+1）．（2）①解：bn==，Tn=+…+，T2n=…+，∴T2n﹣Tn=+…+，令Bn=T2n﹣Tn，则Bn+1﹣Bn=﹣=＞0，因此数列{Bn}单调递增，∴（Bn）min=．∵当n∈