广东省惠州市康达中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析

广东省惠州市康达中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知,若,则=(

)A．0.2

B．0.3 C．0.7

D．0.8参考答案：D略2.若直线y=k（x+4）与曲线x=有交点，则k的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）参考答案：A考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合；直线与圆．分析：求得直线恒过定点（﹣4，0），曲线x=即为右半圆x2+y2=4，作出直线和曲线，通过图象观察，即可得到直线和半圆有交点时，k的范围．解答：解：直线y=k（x+4）恒过定点（﹣4，0），曲线x=即为右半圆x2+y2=4，当直线过点（0，﹣2）可得﹣2=4k，解得k=﹣，当直线过点（0，2）可得2=4k，解得k=．由图象可得当﹣≤k≤时，直线和曲线有交点．故选A．点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．3.设全集是实数,,则（

）A．

B.

C.

D.参考答案：A略4.命题：若，则与的夹角为钝角.命题：定义域为R的函数在及上都是增函数，则在上是增函数.下列说法正确的是（

）A.是真命题

B.是假命题

C.为假命题

D.为假命题参考答案：B略5.(本小题满分12分)已知关于的不等式的解集为，（1）求的值；（2）解关于的不等式：参考答案：（1）由题意知且和3是方程的两个根------3分

------------------------------------------------------------6分

------------------------------------------------------------7分（2）由（1）知不等式可化为

-------------------8分即

-------------------10分原不等式的解集为

----------------12分6.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.如图所示是的导数的图像，下列四个结论：①在区间上是增函数； ②是的极小值点；③在区间上是减函数，在区间上是增函数；④是的极小值点．

其中正确的结论是A．①②③

B．②③ C．③④

D．①③④参考答案：B8.过椭圆内的一点P（2，﹣1）的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是(

)A．5x﹣3y﹣13=0 B．5x+3y﹣13=0 C．5x﹣3y+13=0 D．5x+3y+13=0参考答案：A考点：椭圆的简单性质；中点坐标公式．专题：计算题．分析：设过点P的弦与椭圆交于A1，A2两点，并设出他们的坐标，代入椭圆方程联立，两式相减，根据中点P的坐标可知x1+x2和y1+y2的值，进而求得直线A1A2的斜率，根据点斜式求得直线的方程．解答：解：设过点P的弦与椭圆交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）两点，则，且x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，∴kA1A2==．∴弦所在直线方程为y+1=（x﹣2），即5x﹣3y﹣13=0．故选A．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系．涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化9.是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】把直线y=kx﹣1方程代入曲线x2﹣y2=4，化为：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．当k=±1时，直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．j即可判断出结论．【解答】解：把直线y=kx﹣1方程代入曲线x2﹣y2=4，化为：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=4k2﹣20（k2﹣1）=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．当k=±1时，直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．∴是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的充分不必要条件．故选：A．10.数列前n项的和为（ ）A．

B．C．

D． 参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A（－3，1，2），则点A关于原点的对称点B的坐标为

；AB的长为

；参考答案：B（3，-1，-2）,|AB|=略12.下列命题（为虚数单位）中正确的是①已知，则a＝b是为纯虚数的充要条件；②当z是非零实数时，恒成立；③复数的实部和虚部都是－2；④如果，则实数a的取值范围是；⑤复数，则其中正确的命题的序号是

。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）。参考答案：②③④13.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，A,B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2,2），则△ABF的面积等于________.参考答案：214.各边长为1的正四面体，内切球表面积为，外接球体积为

．参考答案：【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值，即可求棱长为1的正四面体的外接球体积、内切球的表面积．【解答】解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．设正四面体PABC底面面积为S．将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．每个正三棱锥体积V1=?S?r而正四面体PABC体积V2=?S?（R+r）根据前面的分析，4?V1=V2，所以，4??S?r=?S?（R+r），所以，R=3r，因为棱长为1，所以AD=，所以PD=，所以R=，r=所以棱长为1的正四面体的外接球体积为π?（）2=、内切球的表面积为4π?（）2=，故答案为：，【点评】本题是中档题，考查正四面体的内切球与外接球的表面积，找出两个球的球心重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．15.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是

．参考答案：16.择优班)．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(m，n>0)上，则的最小值为________．参考答案：417.已知各项都为正项的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.点，是椭圆：上两点，点满足.（1）若点M在椭圆上，求证：；（2）若，求点M到直线距离的取值范围.参考答案：（1）详见解析；（2）.【分析】（1）设点，由，可得，，由点椭圆上，∴，代入可得证明；（2）由（1）和，可得点在椭圆上.，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，整理可得的值，可得点到直线距离的取值范围.【详解】解：设点，由，可得：，即.

①（1）∵点在椭圆上，∴.将①代入上式得，展开并整理得.∵点，在椭圆上，∴且.∴，即.（2），即点M在椭圆上.设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为.消去并整理得，令判别式，即，解得.点到直线距离的最大值为，最小值为，∴点M到直线距离的取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质及向量与椭圆的综合，及直线与椭圆的位置关系，相对较复杂，需注意运算的准确性.19.已知函数①求函数的最大值和最小值；②求的单调递区间.参考答案：略20.已知二次函数(其中,t为常数）,的图象如图所示.

（1）根据图象求a、b、c的值；

（2）求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式；

（3）若问是否存在实数m，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．参考答案：解：（1）由图形知：

解之,得∴函数f（x）的解析式为

（2）由

得

∵，∴∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为

由定积分的几何意义知：.

（3）令因为x＞0，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点.

.当x∈（0，1）时，是增函数；当x∈（1，3）时，是减函数；当x∈（3，+∞）时，是增函数；

当x=1或x=3时，.∴.又因为当x无限趋近于零时，当x无限大时,所以要使有且仅有三个不同的正根，必须且只须

，即

故∴时，函数与的图象有且只有三个不同交点略21.如图，平面直角坐标系中，射线y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分别依次有点A1、A2，…，An，…，和点B1，B2，…，Bn…，其中，，．且，（n=2，3，4…）．（1）用n表示|OAn|及点An的坐标；（2）用n表示|BnBn+1|及点Bn的坐标；（3）写出四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积关于n的表达式S（n），并求S（n）的最大值．参考答案：【考点】数列与解析几何的综合；数列递推式．【分析】（1）由，能求出．（2）由，知，由此能用n表示|BnBn+1|及点Bn的坐标．（3）由，写出四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积关于n的表达式S（n），并求出S（n）的最大值．【解答】解：（1）∵…∴…（2）…，∴…（3），∴…∵，∴n≥4时，S（n）单调递减．又，