广东省揭阳市三都中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析

广东省揭阳市三都中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的定义与前n项和求解即可．【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{an}中，a1=5，a30=1，∴S30==90（尺）．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的前n项和的求法问题，解题时应注意数列知识在生产生活中的合理运用，是基础题目．2.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（

）A. B. C. D.参考答案：B根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为故选3.已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列（）的前项和等于，则等于(

)A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：B，因为，所以，即函数单调递减，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即数列为首项为，公比的等比数列，所以，由得，解得，选B.4.巳知集合，是虚数单位，设为整数集，则集合中的元素个数是A．3个

B．２个

C．１个

D．0个参考答案：B略5.过椭圆上一点作圆的两条切线,点为切点.过的直线与轴,轴分别交于点两点,则的面积的最小值为A.

B.

C.1

D.

参考答案：B6.已知实数成等差数列，且函数当时取得极大值，则

等于（）

A．

B．

C．

D．参考答案：B7.若cos（﹣α）=，则cos（+2α）的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】利用二倍角公式求出cos（﹣2α）的值，再利用诱导公式求出cos（+2α）的值．【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴cos（﹣2α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，∴cos（+2α）=cos[π﹣（﹣2α）]=﹣cos（﹣2α）=．故选：A．【点评】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题．8.已知等比数列{}的前n项和，则…等于（）A．B．

C．D．参考答案：D略3、的最大值为（

）A、9

B、

C、

D、参考答案：：B10.已知集合A={－1,0,1,2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{－1,1} D．{0,1,2}参考答案：A由题意得，，则．故选A．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m=．参考答案：﹣1考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示．分析： 先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．解答： 解：∵+=（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1）=0，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评： 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题，能用坐标形式的充要条件解决求值问题．12.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，，抛物线C上的点B满足AB⊥AF，且|BF|=4，则p=．参考答案：2或6【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线AB的方程，与抛物线方程联立，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，kAF=﹣，∴直线AB的方程为y=x+，代入y2=2px，可得p2x2﹣12px+36=0，∴x=，∵|BF|=4，∴+=4，∴p=2或6，故答案为2或6．【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的运用，属于中档题．13.某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是

______．参考答案：20高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为人。14.（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为

.

参考答案：略15.已知集合A=｛x|lg|x|=0｝，B=｛x|＜2x+1＜4｝,则A∩B=

．参考答案：16.若二次函数满足，则实数的取值范围为

。参考答案：17.在△ABC中，，△ABC的面积，为线段BC上一定点，且满足，若P为线段BC上任意一点，且恒有，则线段BC的长为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的各项均为正数，前项和为，已知(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；(2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在请说明理由；(3)证明：对任意，都有．参考答案：（文）(1)∵，∴当时，．

两式相减得，

∴

…………2分

∵，∴，又，∴

∴是以为首项，为公差的等差数列．……2分

∴

…………1分

(2)由(1)知，

…………2分假设正整数满足条件，

则

∴，

解得；

…………3分

(3)

…………2分

于是

…………2分

…………3分

∴

…………1分19.10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：手机店ABCDEW型号手机销量6613811T型号手机销量1291364（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为W型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（III）经测算，W型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系.若表中W型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差的值.（用m表示，结论不要求证明）参考答案：（I）；（II）见解析；(Ⅲ)【分析】（Ⅰ）将从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为型号手机”为，记事件“乙手机为型号手机”为，分别求出的值，根据相互独立事件的公式求出，最后利用对立事件概率公式求出抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率；（Ⅱ）由表可知：型号手机销量超过型号手机销量的手机店共有2个，故的所有可能取值为：0，1，2，分别求出的值，写出随机变量的分布列，并根据数学期望计算公式求出；（III）根据方差的性质和变量的关系即可求出方差的值.【详解】（Ⅰ）将从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为型号手机”为，记事件“乙手机为型号手机”为，依题意，有，，且事件、相互独立设“抽取的2部手机中至少有1部为型号手机”为事件，则即抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率为（Ⅱ）由表可知：型号手机销量超过型号手机销量的手机店共有2个，故的所有可能取值为：0，1，2且，，所以随机变量的分布列为：012

故（III）.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，离散型随机变量分布列、数学期望的计算，以及方差的性质，考查了数学运算能力.20.已知函数f(x)=4tanxsin()cos()－.（Ⅰ）求f(x)的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f(x)在区间[]上的单调性.参考答案：（Ⅰ），（Ⅱ）在区间上单调递增,在区间上单调递减.解：令函数的单调递增区间是由,得设，易知.所以,当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.21.在四棱锥P—ABCD中，AD⊥AB，AD∥BC，△PDA，△PAB都是边长为1的正三角形.（1）证明：平面PDB⊥平面ABCD；（2）求点C到平面PAD的距离.参考答案：（Ⅰ）证明：如图，连接∵，都是正三角形，∴，设为的中点，∴，，在Rt中，，∴，∵为的中点，∴，在等腰中，，，∴，在中，，，，∵，∴，又∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，设点到平面的距离为，则，即，∴，∴点到平面的距离为．22.（本小题满分分）已知函数，．（1）若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；（2）若，恒成立，求的取值范围．参考答案：（1）