广东省惠州市东江高级中学2022年高三数学文期末试题含解析

广东省惠州市东江高级中学2022年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C考点： 不等关系与不等式．

专题： 证明题．分析： 由条件可得0＞a＞b，代入各个选项，检验各个选项是否正确．解答： 解：由，可得0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，故选C．点评： 本题考查不等式的性质的应用，解题的关键是判断出

0＞a＞b．2.直线y=m分别与曲线y=2x+3，交于A，B，则的最小值为

A.3

B．2

C.

D．参考答案：B3.如果a＞b＞0，且a+b=1，那么在不等式①；②；③；④中，一定成立的不等式的序号是（）A．① B．② C．③ D．④参考答案：D【考点】不等式的基本性质．【分析】通过特殊值判断①②，通过通分判断③，通过基本不等式的性质判断④．【解答】解：如果a＞b＞0，且a+b=1，那么①，②，令a=0.8，b=0.2，显然不成立，故①②错误；③+==，故错误；④1=a+b＞2，故，故④正确，故选：D．4.a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（

）A.(1,3) B. C. D.(1,2)参考答案：D【分析】由，所以，利用余弦定理，得，再由正弦定理，得，求得，结合锐角，求得，，根据，即可求解的取值范围.【详解】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以.由余弦定理，得，整理得，即，所以，由正弦定理，得，即，所以，所以，所以或（舍），故，结合锐角，，则，，所以，由，又因为，所以，即的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.5.若函数在区间（－∞，2上是减函数，则实数的取值范围是（

）A．－，+∞）

B．（－∞，－

C．，+∞）

D．（－∞，参考答案：B略6.已知所在平面内一点，D为BC的中点，且那么（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：A7.已知双曲线的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若，该双曲线的离心率为e，则（

）A.2 B. C. D.参考答案：D以线段为直径的圆方程为,双曲线经过第一象限的渐近线方程为,联立方程,求得,因为,所以有,又,平方化简得,由求根公式有(负值舍去).选D.点睛:本题主要考查双曲线的离心率,计算量比较大,属于中档题.本题思路:由已知条件求出圆的方程和直线方程,联立求出在第一象限的交点M坐标,由两点间距离公式,求出离心率的平方.涉及的公式有双曲线中,两点间距离公式,求根公式等.8.等差数列中，，，则（

）

A

B

C

D

参考答案：B略9.已知向量、夹角为60°，且||=2，|﹣2|=2，则||=（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由|﹣2|=2得，展开左边后代入数量积公式，化为关于的一元二次方程求解．【解答】解：∵|﹣2|=2，∴，即60°，∴，即，解得．故选：C．10.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，，，则△ABC的面积为（

）A． B．

C.

D．参考答案：A∵，，∴，即，，又∴,∵，∴,∴∴，∴由正弦定理可得：，解得：.故选：A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设实数x、y满足x+2xy﹣1=0，则x+y取值范围是

．参考答案：∪

【考点】基本不等式．【分析】由x+2xy﹣1=0，可得y=，（x≠0）．则x+y=x+=x+﹣，对x分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x+2xy﹣1=0，∴y=，（x≠0）．则x+y=x+=x+﹣，x＞0时，x+y≥﹣=﹣，当且仅当x=时取等号．x＜0时，x+y=﹣≤﹣2﹣=﹣﹣，当且仅当x=﹣时取等号．综上可得：x+y取值范围是∪．故答案为：∪．12.已知集合表示的平面区域为，若在区域内任取一点，若，则的取值范围是

。参考答案：【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】

解析：作出其平面区域如图：u==2+，可看成点P（x，y）与点A（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率，∵kAC=1，kAB==5，∴1≤≤5，∴3≤2+≤7，故答案为[3，7]．【思路点拨】作出其平面区域，化简u==2+，可看成点P（x，y）与点A（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率，从而求u的取值范围．13.若“”为真命题，则实数a的取值范围是

。参考答案：略14.设为实数，定义{}为不小于的最小整数，例如{5.3}=6，{-5.3}=-5，则关于的方程{3+4}=2+的全部实根之和为

．参考答案：-615.已知函数f（x）=|cosx|?sinx，给出下列四个说法：①f（x）为奇函数；

②f（x）的一条对称轴为x=；③f（x）的最小正周期为π；

④f（x）在区间[﹣，]上单调递增；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是

．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先化简函数解析式，根据函数的奇偶性判断①；根据诱导公式化简f（π﹣x）后，得到与f（x）的关系可判断②；根据函数周期性的定义判断③；由二倍角公式化简，再根据正弦函数的单调性判断④；根据诱导公式化简f（﹣π﹣x）后，得到与﹣f（x）的关系可判断⑤．【解答】解：函数f（x）=|cosx|?sinx=（k∈Z），①、f（﹣x）=|cos（﹣x）|?sin（﹣x）=﹣|cosx|?sinx=﹣f（x），则f（x）是奇函数，①正确；②、∵f（π﹣x）=|cos（π﹣x）|?sin（π﹣x）=|﹣cosx|?sinx=f（x），∴f（x）的一条对称轴为x=，②正确；③、∵f（π+x）=|cos（π+x）|?sin（π+x）=|﹣cosx|?（﹣sinx）=﹣f（x）≠f（x），∴f（x）的最小正周期不是π，③不正确；④、∵x∈[﹣，]，∴f（x）=|cosx|?sinx=sin2x，且2x∈[，]，∴f（x）在区间[﹣，]上单调递增，④正确；⑤、∵f（﹣π﹣x）=|cos（﹣π﹣x）|?sin（﹣π﹣x）=|﹣cosx|?sinx=f（x）≠﹣f（x），∴f（x）的图象不关于点（﹣，0）成中心对称，⑤不正确；故答案为：①②④．16.设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，

参考答案：17.设函数是奇函数，则=

．参考答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点，点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交轴于点C，PB交轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求面积的最大值．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由条件可得，，从而可解得椭圆方程；（2）设P（m，n），m＞0，n<0，PA：，PB：，可得C（0，），D（），得，可设，可得，令,1，从而可得最值.【详解】（1）由已知得，?，点（，）代入1可得．代入点（，）解得b2＝1，a=2∴椭圆C的标准方程：．（2）可得A（﹣2，0），B（0，1）．设P（m，n），m＞0，n<0，且.PA：，PB：，可得C（0，），D（）．.由，可设.则.令,则，.则.又，当时，.取得最大值，最大值为1．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆和直线相交所形成的三角形的面积计算及面积最大值的求法，考查利用三角换元求最大值，综合性较强，属于较难的题目.求解椭圆中三角形的面积问题，一方面要利用几何关系表示面积，另一方面求出面积的表达后，要选择合适的方法来求最值.

19.(本小题满分12分)设函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）当时，设在处取得最小值，求证：.参考答案：(Ⅰ)在单调递减，在单调递增；（Ⅱ）证明见解析.试题分析：(Ⅰ)运用导数知识求解；（Ⅱ）构造函数借助导数的知识分类求解即可.试题解析:（I）当时，………1分因为单调递增，单调递增，所以在单调递增，且，因此当时，；当时，故在单调递减，在单调递增…………5分令，得；令，得故在单调递增，单调递减，故.………………………12分考点：导数及运用．【易错点晴】导数是解决函数问题的重要工具.本题考查的是导数在研究函数的单调性中运用问题,第一问中讨论函数的单调性就是研究函数在定义域内的单调问题,根据导数的值与函数的单调性的关系,直接建立不等式就可求出其单调区间,从而确定函数在该区间的单调性；第二问中证明不等式的问题的求解思路是合理构造出函数出,最后通过求该函数的最大值使得问题获证.20.本小题满分12分）已知是边长为2的正三角形，P,Q依次是AB,AC边上的点，且线段PQ将分成面积相等的两部分，设（1）求t关于x的函数关系式：（2）求y的最值，并写出取得最值得条件。参考答案：21.（13分）设函数f（x）=lnx﹣ax，（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，e]内的最大值；（Ⅱ）当a=﹣1时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．参考答案：【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）对a分类讨论，利用导数的运算法则研究函数的单调性即可得出；（2）方程2mf（x）=x2有唯一实数解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，利用导数可得其最小值为g（x2）．则，即2lnx2+x2﹣1=0．设h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），再利用导数研究其单调性即可得出．④解：（1）．令f'（x）=0得．∵时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，∴f（x）在递增，在递减．①当即a≥1时，f（x）在[1，e]上递减，∴x=1时f（x）取最大值f（1）=﹣a．②当即时，f（x）在递增，在递减，∴时，f（x）取最大值．③当即时，f（x）在（1，e）递增，∴x=e时f（x）取最大值f（e）=1﹣ae．（2）∵方程2mf（x）=x2有唯一实数解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则．令g'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．∵m＞0，x＞0，∴（舍去），．当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上单调递增．∴g（x）最小值为g（x2）．则，即∴2mlnx2+mx2﹣m=0即2lnx2+x2﹣1=0．设h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），恒成立，故h（x）在（0，+∞）单调递增，h（x）=0至多有一解．又h（1）=0，∴x2=1，即，解得．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了问题的转化能力，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣GBF的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质及判定可得BC⊥平面ABE，可得BC⊥AE．再利用线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE；（Ⅱ）由三角形的中位线定理可得：FG∥AE，．利用线面垂直的性质可得FG⊥平面BCE．再利用“等体积变形”即可得出VC﹣GBF=VG﹣BCF计算出即可．【解答】