广东省惠州市黄埠中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

广东省惠州市黄埠中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，若，则等于（

）A．1

B．1或2

C．1或

D．2参考答案：B2.甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是…………（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.若，则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式求得，半角公式cos（+α）=，再利用半角公式求得=的值．【解答】解：若，则cos（+α）=sin[﹣（+α）]=，∴===，故选：C．4.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A.，值域为，非奇非偶函数，排除；

B.，值域为，奇函数，排除；C.，值域为，奇函数，满足；

D.，值域为，非奇非偶函数，排除；故选：.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.5.在正三棱锥中，分别是的中点，有下列三个论断：①；②//平面；③平面，其中正确论断的个数为（

）A．3个 B．2个

C．1个

D．0个参考答案：6.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.抛物线的交点为是抛物线上的点，若三角形的外接圆于抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则的值为（

）A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：D8.已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时导函数满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4，则(

)A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的概念及应用．【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故选：C．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题9.如图，的外接圆的圆心为,则等于（

）A．

B.

C．

D.参考答案：B10.已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），则“a=2”是“∥”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据向量平行的等价条件，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若∥，则a（1﹣a）+2=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1，则“a=2”是“∥”的充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量共线的坐标公式是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是

.参考答案：略12.

用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x－[lgx]－2=0的实根个数是

．参考答案：3解：令lgx=t，则得t2－2=[t]．作图象，知t=－1，t=2，及1<t<2内有一解．当1<t<2时，[t]=1，t=．故得：x=，x=100，x=10，即共有3个实根．13.△ABC中，若tanB·tanC=5,则的值为

.参考答案：略14.已知正四面体的内切球体积为，则该正四面体的体积为

．参考答案：8

【考点】球的体积和表面积．【分析】作出正四面体的图形，确定球的球心位置为O，说明OE是内切球的半径，进而求出棱长，可得正四面体的体积．【解答】解：如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为a，所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R，在等边三角形BCD中，BE=a，AE==a．由OB2=OE2+BE2，即有R2=（a﹣R）2+（a）2解得，R=a．OE=AE﹣R=a，由正四面体的内切球体积为，其内切球的半径是OE=1，故a=2，四面体的体积V==8，故答案为：815.在中，若，则角A=

．参考答案：∵A+B+C=π，即B+C=π﹣A，∴4cos2﹣cos2（B+C）=2（1+cosA）﹣cos2A=﹣2cos2A+2cosA+3=，∴2cos2A﹣2cosA+=0，∴cosA=，又0＜A＜π，∴A=；

16.已知实数,满足，则的最大值为

.参考答案：2试题分析：因为，所以，所以，即，解得：，所以的最大值为．考点：基本不等式．17.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有

个（用数字作答）参考答案：324解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，所以共有个。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）为考查某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下丢失数据

的列联表:设从没服用药的动物中任取两只,未患病数为;从服用药物的动物中任取两只,未患病数为,工作人员曾计算过P(=0)=P(=0).（1）求出列联表中数据x,y,M,N的值;（2）求与的均值(期望)并比较大小,请解释所得结论的实际含义;（3）能够以99%的把握认为药物有效吗?公式参考:K2=?①当K2≥3.841时有95%的把握认为、有关联;②当K2≥6.635时有99%的把握认为、有关联。参考答案：19.函数（1）求不等式的解集；（2）若f(x)的最小值为k，且实数a、b、c满足，求证：参考答案：（1）（2）证明见解析【分析】(1)分类去绝对值符号后解不等式，最后取并集；(2)求出函数的最小值k，根据基本不等式得出结论.【详解】（1）①当时，不等式即为，解得②当时，不等式即为，③当时，不等式即为，综上，的解集为（2）由当时，取最小值4，即，即当且仅当时等号成立【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题.20.（文）在平面内，不等式确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为.（1）定义横、纵坐标均为非负整数的点为“非负整点”.在区域中任取2个“非负整点”，求这些“非负整点”中恰好有1个“非负整点”落在区域中的概率；（2）在区域中任取一个点，求这个点恰好在区域内的概率。参考答案：（1）依题可知平面区域的非负整点为：共有6个，上述非负整点在平面区域内的为：共有3个，从中取出2个点的不同情况共有15种，其中恰好有一个在平面区域内的情况有9种，∴.（2）依题可得，平面区域的面积为，设扇形区域中心角为，则得，平面区域与平面区域相交部分的面积为.在区域任取1个点，则该点在区域内的概率为。21.某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数,且所有得分都是整数.(1)求全班平均成绩；(2)计算得分超过141的人数；（精确到整数）(3)甲同学每次考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差.参考数据：.参考答案：(1)由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩.(2),故141分以上的人数为人.(3)的取值为0，1，2，3，4，,,,,,故的分布列为01234期望，方差.22.已知不等式的解集为，函数.(1)求m的值，并作出函数的图象；(2)若关于x的方程恰有两个不等实数根，求实数a的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）利用不等式的解集列出方程求解，然后化简函数的解析式为分段函数的形式，即可画出函数的图象；（2）方程有两个不等实根，等价于函数

和函数有两个交点，结合函数的图象求解即可．【详解】(

1

)