广东省广州市英东中学高三数学文月考试题含解析

广东省广州市英东中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.,函数f（x）=的零点所在的区间是(

)

A.（-2,-1）

B.（-1,0）

C.（0,1）

D.（1,2）参考答案：C2.若＝在上恒正，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为(

)A.4

B．

C．

D．参考答案：D4.节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是

（

）

A． B． C． D．参考答案：C略5.若函数f（x）为定义在D上的单调函数，且存在区间[a，b]?D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数．若函数g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函数，则实数m的取值范围为（）A．（﹣，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，0）参考答案：B【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据正函数的定义可知，存在区间[a，b]?（﹣∞，0），x∈[a，b]时，g（x）∈[a，b]．根据g（x）在[a，b]上的单调性即可得到，而这两式相减即可得到a+b=﹣1，从而得到a=﹣b﹣1，根据a＜b＜0可求出b的范围，而m=﹣b2﹣b﹣1，这样根据二次函数的单调性即可求出﹣b2﹣b﹣1的范围，从而求出m的范围．【解答】解：g（x）是（﹣∞，0）上的正函数；∴存在区间[a，b]?（﹣∞，0），x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]；g（x）在[a，b]上单调递减；∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（b），f（a）]=[b2+m，a2+m]；∴；∴a2﹣b2=b﹣a；∴a+b=﹣1；∴a=﹣b﹣1；由a＜b＜0得﹣b﹣1＜b＜0；∴；m=a﹣b2=﹣b2﹣b﹣1；设f（b）=﹣b2﹣b﹣1，对称轴为b=；∴f（b）在上单调递减；∴；∴实数m的取值范围为（﹣1，）．故选：B．【点评】考查对正函数定义的理解，二次函数的单调性，以及根据函数单调性求函数的取值范围．6.如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）A．

B． C．

D．参考答案：A7.若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，转化为函数f（x）的图象和直线y=2在（﹣∞，0）上有交点．【解答】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选D．8.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（

）参考答案：B9.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=(

)A.64

B.81

C.128

D.243参考答案：A10.已知全集.集合，，则（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.参考答案：12.下图是计算的程序框图，判断框内的条件是_______.参考答案：【考点】复数乘除和乘方【试题解析】n=2016，是，，n=2017,否。

所以判断框内的条件是。13.已知函数，若，且，都有不等式

成立，则实数的取值范围是．

参考答案：14.若双曲线的一条渐近线经过点(3,－4)，则此双曲线的离心率为__________．参考答案：双曲线的渐近线方程为，由渐近线过点，可得，即，，可得，故答案为.15.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连接顶点B、D形成三棱锥B-ACD，则其侧视图的面积为______．参考答案：

解：由题意可知几何体是三棱锥，底面是直角三角形，直角边长为4，3，一个侧面是直角三角形与底面垂直，AB=4，BC=3，B到AC的距离为：侧视图如图：是等腰直角三角形，直角边长为：．所以侧视图的面积为：．故答案为：．16.定义在R上的奇函数满足则=

．参考答案：17.已知向量，若，则=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．【解答】解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数有极值，且曲线处的切线斜率为3。

（1）求函数的解析式；

（2）求在[－4，1]上的最大值和最小值。参考答案：解：（1）由题意，得所以，（2）由（1）知令x－4（－4，－2）－2（－2，）（，1）1

+0－0+

↗极大值↘极小值↗

函数值－11

13

4上的最大值为13，最小值为－11。略19.设数列的前项和满足且成等差数列。（Ⅰ）求的通项公式

（Ⅱ）若，求．参考答案：（Ⅰ）)由已知，可得，即

…3分则，.又因为，，成等差数列，即.所以，解得.

…5分所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.故

…………6分（Ⅱ）解：依题意，bn==，则，…………8分设Tn=b2+b4+…+b2n，故，……………9分而．两式相减，得=，……11分故．……………12分20.（本小题满分12分）如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°.

（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；

（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.参考答案：过点作的垂线交于,以为原点,

分别以为轴建立空间上角坐标系。,又,则点到轴的距离为1,到轴的距离 为。则有,,,,。

（4分）

（1）设平面的法向量为，

．则有，取，得，又，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为。

（6分）

（2）设平面的法向量为，

，

则有，取，得。

，

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值是。

（12分）21.（本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系中，方向向量为的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于、两点（1）若点在轴的上方，且，求直线的方程；（2）若，且△的面积为，求的值；（3）当（）变化时，是否存在一点，使得直线和的斜率之和为,若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）由题意，得，所以………………1分且点在轴的上方，得………………2分，……3分直线：，即直线的方程为…………4分（2）设、，直线：…………5分将直线与椭圆方程联立，…6分消去得，……7分恒成立，……………8分……………9分所以化简得，由于，解得……10分（3）假设存在这样的点，使得直线和的斜率之和为0,由题意得，直线：（）消去得……12分恒成立，……13分

，，……14分所以，……15分解得，所以存在一点，使得直线和的斜率之和为0.……16分略22.已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）?ex定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2）．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）证明：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2，并确定这样的x0的个数．参考答案：考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）求导f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex=（x2﹣x）ex，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求出t的取值范围；（2）化简=为x02﹣x0=，再令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）=x2﹣x﹣=0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，再求得g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=，从而分t＞4或﹣2＜t＜1，1＜t＜4，t=1，t=4讨论，从而证明并解得．解答： 解：（1）因为f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex=（x2﹣x）ex，由f′（x）＞0解得，x＞1或x＜0，由f′（x）＜0解得，0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（2）证明：∵，又∵=，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）=x2﹣x﹣=0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=，①当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）?g（t）＜0，此时g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，②当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=＜0，此时g（x）=0在（﹣2，t）