广东省广州市第三中学2023年高三数学理测试题含解析

广东省广州市第三中学2023年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．故选：B．2.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为（单位：m2）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（

）A.2

B.4

C.6

D.8参考答案：B4.设集合，则“且”成立的充要条件是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略5.在极坐标系中，与圆相切的一条直线方程为()．A．

B．C． D．参考答案：B略6.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则=(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D在△OAC中，M为AC中点，根据平行四边形法则，有，同理有，故,选D.7.如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B． C． D．2参考答案：D【考点】LR：球内接多面体．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故选：D．8.若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B本题借助直线与圆的位置关系，考查了含参变量范围的计算，同时兼顾数形结合思想，化计算为判断，难度适中。

曲线表示以为圆心，以1为半径的圆，曲线表示过定点，与圆有两个交点，故也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应，由图可知，m的取值范围应是9.已知全集中有m个元素，中有n个元素．若非空，则的元素个数为A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.对于任意，则满足不等式的概率为（

）A

B

C

D

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11、已知复数（是虚数单位），则参考答案：：12.已知直线与圆相切，则实数a的值为

．参考答案：略13.若实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．参考答案：﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=5时，z=x﹣y取得最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（7，1），C（3，5）设z=F（x，y）=x﹣y，将直线l：z=x﹣y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（3，5）=﹣2故答案为：﹣214.如图，与圆相切于，不过圆心的割线与直径相交于点.已知∠=，，,则圆的半径等于

．参考答案：715.设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则cosθ=

．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知及两角和的正切函数公式可求tanθ，再利用同角三角函数关系式即可求值．【解答】解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=，∵θ为第二象限角，∴cosθ=﹣=﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．16.若等比数列的前项和（其中，是常数），则

．参考答案：-4，，，由数列是等比数列得：，即，所以．17.将正整数1，2，3，…，n，…，排成数表如表所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i行，第j列的数可用（i，j）表示，则2015可表示为．第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列…第1行123第2行987654第3行1011121314151617……参考答案：（37，17）【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列可得第36行的第1个数为1998，第37行共111个数，第一个为1999，可得2015为第37行的第17个数，可得答案．【解答】解：∵第一行有a1=3个数，第二行有a2=6个数，∴每一行的数字个数组成3为首项3为公差的等差数列，∴第n行有an=3+3（n﹣1）=3n个数，由求和公式可得前n行共个数，经验证可得第36行的第1个数为=1998，按表中的规律可得第37行共3×37=111个数，第一个为1999，∴2015为第37行的第17个数，故答案为：（37，17）【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，从表中得出规律是解决问题的关键，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1.已知，，求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程．参考答案：本题考查矩阵的乘法，MN==，………………4分设是曲线上任意一点，点在矩阵MN对应的变换下变为点，则有

于是，.

……8分代入得，所以曲线在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为．

……………10分【解析】19.如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；参考答案：

方法一：(1)证法一：取的中点，连.∵为的中点，∴且.…………2分∵平面，平面，∴，∴.

…………3分又，∴.

…………4分∴四边形为平行四边形，则.

…………5分

∵平面，平面，∴平面.

…………7分证法二：取的中点，连.∵为的中点，∴.

∵平面，平面，∴.

又，∴四边形为平行四边形，则.

∵平面，平面，∴平面，平面.又，∴平面平面.

∵平面，∴平面.

(2)证：∵为等边三角形，为的中点，∴.

…………9分∵平面，平面，∴.

…………10分又，故平面.

…………12分∵，∴平面.

…………13分∵平面，∴平面平面.

略20.已知是公差大于零的等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.参考答案：略21.（本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为500元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，