有理数的规律题

已知：13=1=』x12x22；13+23=9=」x22x32；13+23+33=36=」x324 4 4x42；13+23+33+43=100=1x42x52；•.•4猜想填空：13+23+33+-+(n-1)3+n3=1x()2x( )2；4计算：13+23+33+…+993+1003；23+43+63+…+983+1003。1 11 1 1 1 111 =一—— =——— =———1x212 2x3 2 3 3x434计算：1计算：2004x2005111111 1 — 200420053342004=2005二一一——+——一—+———+…+ — 200420053342004=20051221=1 2005理解以上方法的真正含义，计算:1 1 1(1) + 10x1111x12+...+ 100x1011 1(2) + +1x33x5+ 2005x2007TOC\o"1-5"\h\z13 5 7一列数—，+，一，+— 写出第n个数是 2 4 8 16已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，试化简Ia-c|-|a+b+c|-Ib-a|+Ib+c|的值27.(本题共8分)从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表:加数的个数m 和(S) 2=1X2 2+4=6=2X3 2+4+6=12=3X4 2+4+6+8=20=4X5 2+4+6+8+10=30=5X6按这个规律，当m=6时，和为；

从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为:①2+4+6——200②202+204+206——300(3)应用上述公式计算:①2+4+6——200②202+204+206——300观察、猜想、验证、求值.从2开始，连续偶数相加，它们的和的情况如下表(加数的个数为n,和为s)：2=1x22+4=6=2x32+4+6=12=3x42+4+6+8=20=4X52+4+6+8+10=30=5x6当n个连续偶数相加时，它们的和s与n之间有什么样的关系?请用公式表示出来，并由此计算2+4+6+•••+202的值.探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006,箭头的方向是( )探索规律：用棋子按下面的方式摆出正方形(2) (3)①按图示规律填写下表：图形编号12345 棋子个数 ②按照这种方式摆下去，摆第10个正方形需要多少个棋子？求1+2+22+23+,・・+22012的值，可令S=1+2+22+23+,・・+22012，贝2S=2+22+23+24+,・・+22013，因此2S-S=22013-1.仿照以上推理，计算出1+3+32+33+•••+32013的值为符号“ ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：f(x)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,…TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 1、f(-)=-2,f(-)=-3,f(-)=-4,f(-)=-5，…3 4 51利用以上规律计算f(^―)+f(2010)= .2010 如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示是-3，已知A、B是数轴上的点，请参照如图并思考，完成下列各题.如果点A表示的数-1,将点A向右移动4个单位长度，那么终点B表示的数是.A、B两点间的距离是 。如果点A表示的数2,将点A向左移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，那么终点B表示的数是A、B两点间的距离是 。如果点A表示的数m，将点A向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是A、B两点间的距离是 第一列第二列第三列第四列弟—仃L4第一列第二列第三列第四列弟—仃L4-NX .■■；—涕一仃23615NX .■■：—弟二仃98714第四行10111213第五行Ifffitfrtl1将正整数按以下规律排列:与有序数对(3,1)第五列17表中数9在第三行第一列，对应，数5与(1,3)对应，数14与(3,图2图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为4)对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为 ▲图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层.将图1倒置后与原图拼成1+2+3+•『二^)2如图1,当有11层时，图中共有▲个圆圈我们自上往下堆12层，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是▲我们自上往下堆12层，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-20，-19，-18，…，求图4所有圆圈中各数之积与各数之和.观察表1，寻找规律.表2是从表l中截取的一部分，其中•，b，c的值分别为( )1+2+1=22=41+2+3+2+1=32=91+2+3+4+3+2+1=42=16聪明的你一定能找出其中的规律，请利用其规律填空，1+2+3+•••+99+100+99+•••+3+2+1==(2‘)由此，我们又可利用上式得到求若干个连续自然数和的方法，思考后请运用知识解决问题求1+2+3+•••+99+100的值(2，)由此可得：1+2+3+-+n=。(2，)观察下面的一列数：7?，—二，；，一由 请你找出其中排列的规律，并按此规律填2 6 12 20空.第5个数是 ，第10个数是 .1、有若干个数，第一个数记为。］，第二个数记为a2，…，第n个数记为an。若a1=|，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”。试计算：a2=，a3=，a4=，a5=。由你发现的规律，请计算a2004是多少？(6分)阅读下题解答：

(1)115(+———+—+k42)237k计算:k24)分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值.计算:k24)分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值.(1\(237)———+—

k348)所以原式=—119根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算:解:x(—24)=—16+18-21=—19TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 1 1数学问题：计算一+——+——+…+——(其中m，n都是正整数，且m32，n31).mm2m3 mn探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究.\o"CurrentDocument"1 1 1 1探究一：计算2+公+五I+五、 1第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；C 1 1第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为：+-2 22第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为\o"CurrentDocument"111 1 、1+—+—+…+—，最后空白部分的面积是1——.22223 2n 2n\o"CurrentDocument"1 1 1 1 1根据第"次分割图可得等式：2+22+23+…+京*京1探究二：计算3指+安+…+攵第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为322第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为3+^；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…;第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为2 2 2 一1—+——+…+~，最后空白部分的面积是1——.3233 3n 3n2 2 2 一1根据第n次分割图可得等式：打+厂+厂+…+丁=1—32 33 3n3n两边同除以2得1两边同除以2得1+1+1+…+332 3311 1 —

3n2 2X3n探究二:（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）第用次分割解决问题：计算-+—+—+…+—TOC\o"1-5"\h\zmm2m3 mn（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n次分割图可得等式：，\o"CurrentDocument"1 1 1 1所以，一+——+——+…+——=mm2m3 mn, 5—1, 5—1拓广应用：计算一―+52—1 53—1 + 52 535n—1+…+——5n已知下列式子：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,...观察个位数的变化情况，2201的个位数字 .20.已知整数a1，口2,土3，财…满足下列条件:a1=0，a2=Tq]+1I，灼=_1^2+21，a4=-|。3+31，…，依次类推，则a2014的值为.点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为IAB|.当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a—bI；当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=b—a=|a—b|；如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=—b—(—a)=|a—b|；

如图4,点A、B在原点的两边，IAB1=1OB|+|OA|=|q|+|》|=a+(—b)=Ia—b|；O(AO(A) B• •0图1b•0•a图2•bBOA•b•0图4•aOA b回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和一3的两点之间的距离；数轴上表示x和3的两点A和B之间的距离是 ,如果|AB|=2,那么x为；当式子|x+1|+|x—3|取最小值时，相应的x的取值范围观察下列数字的排列规律，然后在横线上填入适当的数：3,-7,11，15，19,-23,探索规律:观察下面由※组成的图案和算式，解答问题:9浓淤淤淤淤7淤淤淤淤淤5浓浓淤洪淤3淤淤淤淤淤1淤浓淤淤淤;(1分);(1分)1+3+5=9=321+3+5+7=19=421+3+5+7+9=25=52请猜想1+3+5+7+9+…+29=请猜想1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+1)=；(2分)请用上述规律计算:(3分)41+43+45+……+77+79探索规律将连续的偶2,4,6,8,…，排成如下表:2 4 6 8 1012 14 16 18 20TOC\o"1-5"\h\z22 2426 28 3032 3436 38 40… …（1） 十字框中的五个数的和与中间的数和16有什么关系？（2） 设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和.（3） 若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于2010吗?如能，写出这五位数，如不能，说明理由。阅读以下材料，完成相关的填空和计算。（1） （2分）根据倒数的定义我们知道，若（a+b）：c=一3，贝M：（。+b）=,11 1、，1、（2） （4分）计算：（一+- ）（—-）9412 36（2）（2分）根据以上信息可知（一奇）4_（一舛+顶—；？）=36 9412定义一种新运算：观察下列式子：1⑥3=1x4+3=7 30(—1)=3x4—1=11504=5x4+4=24 40（—3）=4x4一3=13（1） 请你想一想：a0b=；（2） 若a丰b,那么a0bb0a（填入“="或“尹"）（3） 若［a0（一6）］03=30a，请求出a的值。一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起。2张桌子拼在一起可坐人；（1分）3张桌子拼在一起可坐人；（1分）n张桌子拼在一起可坐人。（2分）一家餐厅有40张这样的长方形桌子按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐人。（2分）（1）猜想并写出:（1）猜想并写出:1n\n一1)2 23344aa已知2—=22X—,3+—=32X—，4+一=42X—,10+—=102X ，则a+b=3 3881515bb11(5分)==1--1_1——1— 1_1——1，•…将以上二二个等式两边分别相加得:1x2 22x3233x43411111111131 1—1—+- 1 —1———1x22x33x42233444用你发现的规律解答下列问题:（2）直接写出下列各式的计算结果:H 2010x2011①上+上+上+1x22H 2010x201111TOC\o"1-5"\h\z② 1 H1x22x33x4探究并计算：H 2010x2012\o"CurrentDocument"H 2010x2012\o"CurrentDocument" 1 1 F2x44x66x813222132223则(1'.(1')ac…34=a•d—b•c,例如=3X5—2X4=7bd251、让我们规定一种新运算2、观察下列几个等式:1+2+1=22=41+2+3+2+1=32=9

聪明的你一定能找出其中的规律，请利用其规律填空，1+2+3+•••+99+100+99+•••+3+2+1==(2')由此，我们又可利用上式得到求若十个连续自然数和的方法，思考后请填空1+2+3+•••+99+100=(1')由此可得：1+2+3+…+^。(1')观察下列数111111/Mj"Iyu>^a：1，—，一，—，一，— 23 45 6、这列数的2014个数是多少；、如果这列数无限排列下去，会与越来越接近。观察下面一列数的规律并填空：0，—3,8,—15,24,—35,……则第100个数是阅读理解：读一读：式子“1+2+3+4+5+……+100”表示1开始的100个连续自然数的和.