广东省佛山市高明第二高级中学2023年高三数学理联考试卷含解析

广东省佛山市高明第二高级中学2023年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]参考答案：D【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．2.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，，…，．①第二步：将数列①的各项乘以n，得到数列（记为）a1，a2，a3，…，an．则a1a2+a2a3+…+an﹣1an=（）A．n2 B．（n﹣1）2 C．n（n﹣1） D．n（n+1）参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】ak=．n≥2时，ak﹣1ak==n2．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵ak=．n≥2时，ak﹣1ak==n2．∴a1a2+a2a3+…+an﹣1an=n2+…+==n（n﹣1）．故选：C．3.在中，“”是“是直角三角形”的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略4.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.设则“且”是“”的

（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A6.设点P是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中，正确的命题是

．参考答案：④略8.中国古代钱币（如图1）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔．如图2，圆形钱币的半径为2cm,正方形边长为1cm，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

图1

图2参考答案：9.设集合，则等于

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．4π B．6π C．7π D．12π参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知四棱锥B﹣ADD1A1为长方体的一部分，可得外接球的直径2R==，R=，即可求出四棱锥的外接球的表面积．【解答】解：由三视图知四棱锥B﹣ADD1A1为长方体的一部分，如图，所以外接球的直径2R==，所以R=，所以四棱锥的外接球的表面积是S==7π，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）?f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{an}的通项an=（n∈N+），则数列{an}的前n项和=．参考答案：4n【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）?f（b），f（1）=2，可得f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），利用等比数列的通项公式可得f（n），即可得出an及其前n项和．【解答】解：∵函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）?f（b），f（1）=2，∴f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），∴数列{f（n）}是等比数列，首项为2，公比为2．∴f（n）=2n．∴数列{an}的通项an===4．∴数列{an}的前n项和=4n．故答案为：4n．12.如图，平面内有三个向量、、，其中与夹角为，与的夹角为，且，,若，则的值为

.参考答案：

6

13.设a，b，c是三个正实数，且a（a+b+c）=bc，则的最大值为．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】由已知条件可得a为方程x2+（b+c）x﹣bc=0的正根，求出a，再代入变形化简利用基本不等式即可求出【解答】解：a（a+b+c）=bc，∴a2+（b+c）a﹣bc=0，∴a为方程x2+（b+c）x﹣bc=0的正根，∴a=，∴==﹣+=﹣+=﹣+≤﹣+=，当且仅当b=c时取等号，故答案为：，14.点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，若点P（x，y）到直线y=kx﹣1（k＞0）的最大距离为2，则k=

．参考答案：1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面区域，得到△ABC及其内部，而直线y=kx﹣1经过定点（0，﹣1）是△ABC下方的一点，由此观察图形得到平面区域内的点B（0，3）到直线y=kx﹣1的距离最大．最后根据点到直线距离公式建立关于k的方程，解之即可得到实数k的值．解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部，其中A（0，1），B（0，3），C（1，2）∵直线y=kx﹣1经过定点（0，﹣1），∴△ABC必定在直线y=kx﹣1的上方时，由此结合图形加以观察，得到平面区域内的点B（0，3）到直线y=kx﹣1的距离最大，将直线y=kx﹣1化成一般式，得kx﹣y﹣1=0因此，可得=2，解之即可得到k=±1，∵k＞0，∴k=1故答案为：1；点评：本题给出平面区域内点到直线y=kx﹣1的距离最大值为2，求实数k的值，着重考查了点到直线的距离公式和简单线性规划等知识，属于中档题．15.对于，将表示为，当时，，当时，为0或1．定义如下：在的上述表示中，当中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0．（1）

；（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是

．参考答案：（1）3；（2）2.（1）观察知；；一次类推；；；，，，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值为２.16.已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则=

．参考答案：【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】变形已知式子可得，即，问题得以解决．【解答】解：∵=+，∴，∴，∴∴=．故答案为：．17.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上.（1）求，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求证数列的前项和．参考答案：(1)

(2)

试题分析：（1）∵点都在函数的图象上，∴，

（1分）∴，

（2分）又，∴.

（4分）（2）由（1）知，，19.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，,，平面底面，为的中点，为上的点，，,.（1）求证：平面平面；（2）若二面角为，设，试确定的值.参考答案：（1）证明见解析；（2）.考点：1、面面垂直的性质定理及判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.20.（本小题满分12分）

已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；参考答案：解：（1），当时，在上恒成立，函数

在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．

…………6分（注：分类讨论少一个扣一分。）（2）∵函数在处取得极值，∴，

…………8分∴，

令，可得在上递减，在上递增，∴，即．

…………12分21.（本小题满分12分）2012年新乡市在创建“全国文明卫生城市”验收中，为增强市民文明环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；参考答案：解：（Ⅰ）①处填20，②处填0.35；补全频率分布直方图如图所示．

根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)的人数为500×0.35＝175．（4分