广东省佛山市平洲第二中学2021年高三数学理月考试卷含解析

广东省佛山市平洲第二中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以为焦点的抛物线C的准线与双曲线相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为A． B． C． D．参考答案：C2.已知函数f(x）=ax2+bx-1(a,b∈R且a＞0）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则的取值范围为（

）A．（-1，1）

B．（-∞，-1）

C．（-∞，1）D．（-1，+∞）参考答案：D3.欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为d的圆面，中间有边长为的正方形孔，现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A由题意可得直径为d的圆的面积为π×=π，而边长为的正方形面积为，故所求概率P=.

4.方程至少有一个负根的充要条件是

A．

B．

C．

D．或参考答案：C5.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=(

) A．27 B．81 C．243 D．729参考答案：C考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27从而可求a2，结合S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）考虑n=1可得，S2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比q，代入等比数列的通项公式可求a6解答： 解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=243故选C点评：本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的前n项和公式及通项公式，属基础题．6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．20 B．21 C．200 D．210参考答案：D【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=21时，满足条件i＞20，退出循环，输出s的值为210．【解答】解：执行程序框图，有s=0，i=1s=1，i=2，不满足条件i＞20，s=3，i=3，不满足条件i＞20，s=6，i=4，不满足条件i＞20，s=10，i=5，不满足条件i＞20，s=15=1+2+3+4+5，i=6，不满足条件i＞20，s=21=1+2+3+4+5+6，…观察规律可知，i=20，不满足条件i＞20，s=1+2+3+…+20==210，i=21，满足条件i＞20，退出循环，输出s的值为210．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，等差数列的求和，属于基本知识的考查．7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.设a，b∈R，则“a+b≥4”是“a≥2且b≥2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a=1，b=5满足条件．a+b≥4，但a≥2且b≥2不成立，即充分性不成立，若a≥2且b≥2，则a+b≥4成立，即必要性成立，即“a+b≥4”是“a≥2且b≥2”的必要不充分条件，故选：B．9.如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30o方向2km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km。现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物。经测算，从M到B、M两地修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（A）(2-2)a万元

（B）5a万元（C）(2+1)a万元

（D）(2+3)a万元

参考答案：答案：B10.集合．则

A．

B．

C．

D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为圆()上两个不同的点（为圆心），且满足，则

．参考答案：4考点：平面向量的几何应用圆的标准方程与一般方程

因为C为圆心，A，B在圆上，

所以取AB中点为O，有且

又因为R=3，所以

即。

12.设的值为_________。参考答案：略13.已知数列{an}满足：2a1+22a2+23a3+…+2nan=n（n∈N*），bn=，设数列{bn}的前n项和为Sn，则S1?S2?S3?…?S10=．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】利用数列递推关系可得an，再利用“裂项求和”方法可得Sn，进而利用“累乘求积”方法得出．【解答】解：数列{an}满足：2a1+22a2+23a3+…+2nan=n（n∈N*），∴n≥2时，2a1+22a2+23a3+…+2n﹣1an﹣1=n﹣1，∴2nan=1，∴an=．bn===，∴数列{bn}的前n项和为Sn=+…+=1﹣=．则S1?S2?S3?…?S10=×…×=．故答案为：．14.已知椭圆C：的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点，已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为

．参考答案：由题意可得，易得，代入椭圆方程得：，故，所以离心率．

15.计算___________（为虚数单位）．参考答案：略16.已知直线与垂直，则的值是

.参考答案：1或417.已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的体积为

，表面积为

．参考答案：；．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，利用锥体体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长为2的正方形，PE⊥面ABCD，且PE=2，其中E、F分别是BC、AD的中点，连结EF、PA，∴几何体的体积V==，在△PEB中，PB==，同理可得PC=，∵PE⊥面ABCD，∴PE⊥CD，∵CD⊥BC，BC∩PE=E，∴CD⊥面PBC，则CD⊥PC，在△PCD中，PD===3，同理可得PA=3，则PF⊥AD，在△PDF中，PF===，∴此几何体的表面积S=2×2+++=故答案为：；．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．?（1）计算f（）的值；?（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．??参考答案：【考点】GI：三角函数的化简求值；3K：函数奇偶性的判断．【分析】首先，根据已知得到f（x）=sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到a=b，再化简函数f（x）=asin（x+），（1）将代入解析式求值；（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性．【解答】解：由已知得到f（x）=sin（x+θ），又x=时，f（x）取得最大值．所以a=b，f（x）=asin（x+），所以（1）f（）=asin（3π）=0；（2）g（x）为偶函数．理由：设g（x）=f（﹣x）=asin（﹣x）=acosx，所以函数g（﹣x）=g（x），为偶函数．【点评】本题考查了三角函数的性质以及奇偶性的判定；属于基础题．19.(本题满分13分)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设，若过的直线交曲线于两点，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，∵直线与圆相切，∴，即，

…………2分又，及，得，所以椭圆方程为．…………4分（Ⅱ）①当直线AB的斜率为0时，A（，0），B（，0）时，=-1…5分②当直线AB的斜率不为0时，不妨设AB的方程为：

由得：，------7分设则：，，

]，由①、②得：的取值范围为[]．

…………13分20.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+pn，且a2，a5，a10成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据数列的递推公式可得an=2n﹣1+p，再根据a2，a5，a10成等比数列，求出p的值，问题得以解决，（2）把（1）求出的an代入bn，再求出bn的表达式，然后由裂项相消法来求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1+p，当n=1时，a1=S1=1+p，也满足，故an=2n﹣1+p，∵a2，a5，a10成等比数列，∴（3+p）（19+p）=（9+p）2，∴p=6，∴an=2n+5，（2）由（1）可得bn===（﹣）+1，∴Tn=n+（﹣+﹣+…+﹣）=n+=21.函数在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ），成立，求实数的取值范围.参考答案：(Ⅰ)，依题意得，，则有．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，由于在区间上为增函数，且，则当时，；当时，，故函数的减区间是，增区间是．(Ⅲ)因为，于是构造函数，，成立，等价于，由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．即（当且仅当时取等号）所以函数，又时，，所以．…（11分）故的取值范围是．22.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q垂直于AP，并证明你的结论．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】解法一：（1）如图：连AC，设AC∩BD=O，．利用线面平行的性质可得：OG∥PC．利用三角形中位线定理及其线面垂直的判定可得：AO⊥平面BDD1B1，可得线面角，利用直角三角形的边角关系即可得出．（Ⅱ）依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP．只需D1Q⊥平面ACC1A1，设A1C1∩B1D1=O1，可推测A1C1的中点即为所求的Q点再利用线面垂直的判定与性质定理即可．解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的性质、线面垂直的判定与性质定理、向量夹角公式即可得出．（2）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，依题意，对任意的m要使D1Q⊥AP，利用=0，解出x即可得出．【解答】解法一：（1）如图：连AC，设AC∩BD=O，．…，故OG∥PC．所以．又…故．…在Rt△AOG中，tan∠AGO===3，即．故当时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3．…（Ⅱ）依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP．只需D1Q⊥平面ACC1A1，…设A1C1∩B1D1=O1，可推测A1C1的中点即为所求的Q点．…因为．，所以D1O1⊥平面ACC1A1，即D1Q⊥平面ACC1A1，…又AP?平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．即D1Q⊥AP．…