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文档简介
广东省佛山市文华中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.直线截圆得到的弦长为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B2.双曲线C:x2-=1的离心率为A.2
B.
C.
D.3+参考答案:A3.函数f(x)=2x2﹣lnx的递增区间是()A. B.和 C. D.和参考答案:C【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可.【解答】解:函数的定义域为(0,+∞),∴f′(x)=4x﹣==,由f′(x)=>0,解得x>,故函数f(x)=2x2﹣lnx的递增区间是(,+∞)故选:C4.若一组数据的茎叶图如图,则该组数据的中位数是(
)A.79 B.79.5 C.80 D.81.5参考答案:A【分析】由给定的茎叶图得到原式数据,再根据中位数的定义,即可求解.【详解】由题意,根据给定的茎叶图可知,原式数据为:,再根据中位数的定义,可得熟记的中位数为,故选A.【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用,以及中位数的概念与计算,其中真确读取茎叶图的数据,熟记中位数的求法是解答的关键,属于基础题.5.不等式的解集为,则
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A6.函数的导数为()A. B. C. D.参考答案:A【考点】导数的运算.【分析】利用导数除法的运算公式解答即可.【解答】解:y'=()'=;故选:A.7.以双曲线的中心为顶点,右焦点为焦点的抛物线方程是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:D8.甲袋内有大小相同的8个红球和4个白球,乙袋内有大小相同的9个红球和3个白球,从两个袋中各摸出一个球,则为(
)A.2个球都是白球的概率
B.2个球中恰好有1个白球的概率C.2个球都不是白球的概率
D.2个球不都是白球的概率参考答案:B略9.直线与抛物线交于两点,若,则弦的中点到直线的距离等于(
)A.
B.2
C.
D.4参考答案:B略10.设是等差数列,是其前项和,且则下列结论错误的是
和均为的最大值参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列命题:①;②;③;④;⑤
⑥.其中所有真命题的序号是
。参考答案:①③12.双曲线的焦距是10,则实数m的值为
,其双曲线渐进线方程为
.参考答案:16,y=±x【考点】双曲线的简单性质.【分析】通过双曲线的基本性质,直接求出a,b,c,然后求出m即可,再求出渐近线方程.【解答】解:双曲线的焦距是10,则a=3,c=5,则m=c2﹣a2=25﹣9=16则渐近线方程为y=±x故答案为:16,y=±x13.已知三条直线中没有任何两条平行,它们也不能构成三角形的三边,则实数的值为___________.参考答案:略14.正三棱柱ABC-A1B1C1(底面是正三角形,侧棱垂直底面)的各条棱长均相等,D为AA1的中点.M、N分别是BB1、CC1上的动点(含端点),且满足.当M、N运动时,下列结论中正确的是______(填上所有正确命题的序号).①平面平面;②三棱锥的体积为定值;③△DMN可能为直角三角形;④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为.参考答案:①②④【分析】由,得到线段一定过正方形的中心,由平面,可得平面平面;由的面积不变,到平面的距离不变,可得三棱锥的体积为定值;利用反证法思想说明不可能为直角三角形;平面与平面平行时所成角为0,当与重合,与重合,平面与平面所成的锐二面角最大.【详解】如图:当、分别是、上的动点(含端点),且满足,则线段一定过正方形的中心,而平面,平面,可得平面平面,故①正确;当、分别是、上的动点(含端点),过点作边上的高的长等于的长,所以的面积不变,由于平面,故点到平面的距离等于点到平面的距离,则点到平面的距离为定值,故三棱锥的体积为定值;所以②正确;由可得:,若为直角三角形,则一定是以为直角的直角三角形,但的最大值为,而此时,的长都大于,故不可能为直角三角形,所以③不正确;当、分别是、的中点,平面与平面平行,所成角为0;当与重合,与重合,平面与平面所成锐二面角最大;延长角于,连接,则平面平面,由于为的中点,,所以,且,故在中,为中点,为中点,在中,为中点,为中点,故,由于平面,所以平面,则,,所以平面与平面所成锐二面角最大为,故④正确;故答案为①②④【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查棱柱的结构特征,考查学生空间想象能力和思维能力,属于中档题.15.若函数恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是________.参考答案:【分析】若恰好有三个单调区间,则应有两个不同的零点,据此列式求解即可.【详解】,则,若函数恰好有三个单调区间,则有两个不同的零点,即有两个不同的根,所以且,故答案为:.【点睛】本题结合导数考查函数单调性的应用,考查二次方程根的问题,难度不大.16.已知中心在原点且焦点在x轴的双曲线C,过点P(2,)且离心率为2,则双曲线C的标准方程为____________.参考答案:略17.在极坐标系中,圆心为(2,)且过极点的圆的极坐标方程为__________________参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数,仅当时取得极值且极大值比极小值大4,求的值.参考答案:解:且是极值点
则
仅有极值且为极大值点,为极小值点
故略19.如图4,在直角梯形中,AD=DC,°.°,,把沿对角线折起后如图5所示(点记为点).点在平面上的正投影落在线段上,连接.
(1)求直线与平面所成的角的大小;(2)求二面角的大小的余弦值.参考答案:(1)解:在图4中,
∵
∴,
,.
∵,∴△为等边三角形.∴.
…2分
在图5中,∵点为点在平面上的正投影,∴平面.∵平面,∴.∵,
.∵平面,平面,∴平面.∴为直线与平面所成的角.
…5分在Rt△中,,∴.
∵,∴.∴直线与平面所成的角为.…7分
(2)解:取的中点,连接,.∵,∴.∵平面,平面,∴.∵平面,平面,∴平面.∵平面,∴.∴为二面角的平面角.
…9分在Rt△中,,∴,.在Rt△中,.在Rt△中,.∴二面角的大小的余弦值为.
方法二:
解:在图4中,
∵
∴,
,.
∵,∴△为等边三角形.
∴.
…2分
在图5中,
∵点为点在平面上的射影,∴平面.∵平面,∴.∵,
图4∴.∵平面,平面,∴平面.
…5分连接,在Rt△和Rt△中,,∴Rt△Rt△.∴.∴.∴.在Rt△中,.∴.在Rt△中,.
…7分以点为原点,所在直线为轴,与平行的直线为轴,所在直线为轴,建立空
间直角坐标系,则,,,,.∴,,,.
(1)∵,
∴.
∴直线与平面所成的角为.
…10分
(2)设平面的法向量为n,
由
得
令,得,.
∴n为平面的一个法向量.
∵为平面的一个法向量,
∴.
∵二面角的平面角为锐角,
∴二面角的平面角的余弦值为.
…14分20.(本小题满分14分)如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=,PC⊥平面ABCD,点E为AB中点。AC⊥DE,其中AD=1,PC=2,CD=;(1)求异面直线DE与PB所成角的余弦值;(2)求直线PC与平面PDE所成角的余弦值。参考答案:(1)如图建立空间坐标系设BC=,则A(1,,0),D(0,,0)B(,0,0),E(,,0),(0,0,2)(1,,0),(,,∵AC⊥DE∴∴E(,,0)所以所以直线DE与PB所成角的余弦值为;(2)设平面PDE的一个法向量(,,),,-2),(,,,令,得,所以(,,)设直线PC与平面PDE所成的角为∵(0,0,2)∴,=∴.略21.已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.参考答案:解:∵(1)原点到直线AB:的距离.
故所求双曲线方程为(2)把中消去y,整理得.
设的中点是,则
即,故所求k=±.略22.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中用x表示.(1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1,求x及乙组同学投篮命中次数的方差;(2)在(1)的条件下,分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名,求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.参考答案:【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】(1)依题意得求出x=6,=,由此能求出乙组同学投篮命中次数的方差.(2)记甲组投篮命中次数低于10次的同学为A1,A2,A3,他们的命中次数分别为9,8,7.乙组投篮命中次数低于10次的同学为B1,B2,B3,B4,他们的命中次数分别为6,8,8,9.由此利用列举法能求出这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.【解答】解:(1)依题意得:=,解得x=6,=,∴乙组同学投篮命中次数的方差S2=[(6﹣)2+(8﹣)2×2+(9﹣)2+(10﹣)2]=1.76.(2)记甲组投篮命中次数低于10次的同学为A1,A2,A3,他们的命中次数分别为9,8,7.乙组投
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