潮汐现象地力学分析报告

潮汐现象的力学分析[1]。在公元前2世纪已记载月望〔满月〕之日可以看到格外壮丽的海潮〔140B.，东汉王充在《论衡》中已写道“涛之起也，随月盛衰，大小，满损不齐同”指出潮汐与月球的关系，其后更有余靖、张[2JosephNeedham,190199〕[3。古人称白天为“朝”,晚上为“夕”,所以以海洋潮汐为例,白天海水上涨为“潮”,晚上海水上[4解释说是“一昼夜中两次潮水涨起，随之有两次跌落潮”和“小潮潮”等。以一昼夜高、低潮消灭的次数不同又可分为以下几类：半日潮：是指一昼夜内消灭两次高潮和两次低潮。全日潮：是指一昼夜内只有一次高潮和一次低潮。混合潮：是指一个月内有些日子消灭两次高潮和两次低潮,有些日子消灭一次高潮和一次低潮[5]。所以潮汐现象不仅仅是一昼夜中海水的两涨两落现象物理本质。潮汐现象的力学分析引潮力产生的分析〔半日潮〕是每昼夜有两次高潮。所以，在同一时刻，围绕地球的海平面总有两个突起局部地方海水隆起，是可以理解的。为什么离月球最远的地方海水也隆起呢？假设说潮汐是万有引力引起的，潮汐力在大小就应当与质量成正比，与距离平方成反比。太阳的质量比月球大2.7107倍，而太阳1.5105倍[6180倍，为什么实际上月球对潮汐起主要作用？F=-maa大家都知道，太空工作站上的宇航员是漂移在空中的，由于他处在失重状态，缘由就是他受到的重力和惯性力“准确”抵消，从广义相对论的观点看，牛顿力学所谓“真实的引力”和“因加速度产生的惯性力”是等价的，实际中F=-maa15CABCD和E分别在CC所受的引力相比，A和BDE由于整个参考系是以质心CC2A和B受到的剩余力指向CDEC，所以，假设在中心C把地球当做一个对象，其中引力不均匀性造成的应是很大的。地球外表70%的面积为海水所掩盖，自转，这样一来，就可以把它看成是由海水形成的一个巨大的水滴。假设没有外部引力的不均匀性3有效引力是“真实的引力”和地心的离心加速度造成的“惯性离心力”之和。这有效引力的分布就像图4使得每天有两次潮，而不是一次的缘由。引潮力的计算[7]yyy”RcPr”rxc”地球 月球yyxyyxx3中C和CO的质心，PΔmrcc，地面上一点到月球质心的距离，地Rcp。ΔmGmMf m

rˆGmMmr〔1-2-1〕

r2 r3到的惯性力为ff

f惯潮合成为引力f潮惯

GmM mr2

GmMmr3

r 〔1-2-2〕〔1-2-3〕

f ff潮 惯

GmM

r rr3r3 r3r3m 由图可以看出：r|rR| r2R22rRcos，故 rR r〔1-2-4〕取直角坐标的x轴沿cc，y

f GmM潮

|rR|3

r3〔1-2-5〕故

1

xrRcosr

rRcos ， rRy

Rsinf潮x

GmMmr2

(12RcosR2)3

1 2 r r2 GmM≈ m

1Rcos3Rcos1r22GmM mr3

r r Rcos

〔1-2-6〕f潮y

GmM r3

Rsin

〔1-2-7〕RRe形式如下

r实为地月距离rm

，归纳以上结果，我们得到引潮力公式的重量f 潮x

2GmMmrmr3

Rcose〔1-2-8〕f 潮y

RsinGGmMmr3m〔1-2-9〕引潮力在地表上的分布如图４，在=０和处〔即离月球最近和最远处〕是背离地心的，在这些地方形成海水的顶峰；在2处指向地心，形成海水低谷随着地球的自转，一昼夜之间有两个顶峰和两个低谷扫过每个地方，形成两次高潮和两次低潮。上式同样也适用于太阳，只是其中的M 和rm m代后可得

应分别代之以太阳的质量Ms

和日-地距离rs

，经替f潮x

2GmMsr2GmMsr3es〔1-2-10〕〔1-2-11〕

f GmMGmMsr3s

Rsine通过上述推导说明引潮力与质量成正比，与距离的立方成反比，故月潮和日潮大小之比为f f

3 M ms M 潮m 潮s M rs m 7.351022kg1.50108km3 1.991030kg3.84105kg2.20月球地球180多倍，但月球对地球上潮汐的效应约为太阳的两月球地球大，而对相距甚远的太阳的场则近乎不变〔变化小的多。假设横过地球时场的变化为零，那么不管此场多强，也不会产生潮汐现象[8]。日月引潮力的效果是线性叠加的，合成的结果与日、月的相对方位有关。在朔日和望日，月球、太阳和地球几乎在同始终线上〔如图5a)，太阴潮和太阳潮彼球和太阳的黄经相距90 〔如图5b)，太阴潮被太阳潮抵消了一局部，就形成每月里的小潮[9]。潮汐涨落公式的推导

图５〔b〕地球月球图５〔地球月球h3drh3drrh1h3x牛顿推导[10]如图6xy方向分别挖一个竖井直达地心相通。二井深度分别为h1

h，截面积为ds，井内布满水。3h1

中的水在地心处产生的压强p1

。以表示水的密度，6视为常数。dr一段内水的质量为dmdrds，它受地球的引力为dmgrgrdrdsgr是在r处的重力加速度。此处潮汐力可利用引潮力公式表示，只是用rRe

。由此可得dr一段水产生的压强

2GMrmr3dsdpgr2GMrmr3ds1 g

2GMm

mmr3rmr3

〔1-3-1〕将此式对整个井深hmrmr3

积分，可得h1

井底的压强h

2GM 〔1-3-2〕同样的道理得出h3

井底的压强

p1

1gr

rdrmmr3p3grmr33

rdr 〔1-3-3〕p1

0mp，即3h

2GM

h GM mr3mr31gr rdr3gr rmr3mr3mrmr3mh

mh

mr3hmr3

hGM移项可得〔1-3-4〕

1g0

rdr3g0

rdr10

rdr30m

rdrm此式在左侧积分可合并为1grdr。由于h和h都和地球半径R相差不多，gr就可取地球外表gRe

h3GMe。这样R2e

3 e1grdrh

gR

GMehh1 3 eh3

R2 me其中hm

hh1

可视为潮高。上式右侧可取hh1 3

R而合并为e

mrdr

3GMmR20 r3mGM

2r3 meR22eR22r3m由此可给出

h R2m ee m3M R3而潮高 h m eR〔1-3-5〕

m 2M r ee m将M 7.351022kg，rm

3.8105km,Me

5.981024kg，Re

6.4103km代入上式，可得到hm

0.56m上述分析同样可以用来分析太阳在地球上引起的潮汐——太阳潮。与上式类似，太阳潮高为：3M R32Mserh 2Mser

〔1-3-6〕s ee s将太阳的质量Ms

1.991030kg，它到地心的距离rs

1.5108km代入上式，可得h0.25ms实际上潮高为hs

和hm

的矢量叠加。在朔日和望日月球、太阳和地球几乎在同始终线上，太阳潮和太阴潮相加形成大潮，高潮可到达0.81m。在上弦月或下弦月时，月球和地球的方位垂直，二者相消一局部，形成小潮，潮高为0.31m〔如图5〕一个月内大潮和小潮个消灭两次。和实际观测相比以上潮高的计算值偏小，该计算值约适用于开扩的洋面。利用等势面推导[11]是压强大的海水挤向压强小的海水[12]。3pV1

及地球本身的引力势能V2外，因惯性力是恒力，可以认为是关于位置的函数，故引入一个惯性场力的等势能。具体地说，首先月p点引力的对应势为VG1

r

mc1G

mMm

R R21R R2

12 cr r r2 1mM 1 R m

R2 3 R

R22 G 1 2

2

cr

2 r r2

8 r r2

1mM R

R2 G

m1 cos 3cos21c

〔1-3-7〕r r

2r2 1GmMP点引力对应的势能为V2

eRRR

hhP点到平均海平面的高Rhe势能，即

RP点的引力势能V可近似等于重力2Vmghc2 2〔1-3-8〕

GmMR2

ehc2P受到惯性场力的对应等效势能V3

为[12]VGmMmRcosc〔1-3-9〕

3 r2 3故当海面处于平衡状态时，依据平衡液面是等势面的理论有〔1-3-10〕

VVV1 2

c常数mM R

R2

GmM

GmMG

1 cos 3cos21

c hc

mRcosc cr r

2r2mM

1eeR2eR2 eR2eR2

2 r2 3

mR22r3

3cos21 hceRRe

，并令势能常数c0，因此1M R3 h2 m e 3cos21〔1-3-11〕

M re利用〔1-3-11〕xy平面上描出一条闭合曲线，其外形正好是起潮时的海面的外形。将M Mm

181.Re

r160.0或90 代入上式可得h0.57m升，h0.19m降。比照两种推导方法的结果，我们觉察相当接近，从而说明他们理论上的牢靠性。对类似现象的探究引潮力对大气的作用可以形成大气潮汐，它对地壳也有7

月球F1A延迟角

F2B 地球 地球自转方向图７2F与ABF与AB21转。3400365(14)天，可见慢了不少。长期以来人们就知道这样一个事实：月球总是以它的一面对着地球。换言之，月球自转和公转的周期相等的岁月里地球对月球的引潮力在月球上形成固体潮的作用造成的主星的引潮力撕成碎片。下面我们来计算这一临界半径。主星or伴星Ro”主星or伴星Ro”r8R，密度为，自转角速度为，两星之间的距离为r8xo。撕裂伴星的力有二：主星给它的引潮力和它自转引起的惯性离心力;团结伴星的力化学结合力往往可以无视。下面我们只考虑三个力：引潮力、惯心离心力、伴星自身引力[13撕裂总是首先沿x方向进展的，对于伴星的一个质元mV，三个力沿x引潮力 f潮惯性离心力 f离

〔2-1〕r32xV, 〔2-2〕伴星自身引力 f自引

4GxV.3

〔2-3〕伴星被撕裂的条件是三力之和大于02GM

2

4GxV0〔2-4〕

r3 3 等号对应着临界状态。假设伴星做同步自转，则自转角速度等于公转角速度。按开普勒定律，有GM2r3则上式化为

3GM4G0r3 3或都用密度表示，有

4GR3r3

4G03rR313

1.44R13

c 313

13

〔2-5〕通过计算可以得出临界半径为：

R

1.44R

(其中为主星平均密度；”为伴星平c 均密度)对于地-月系统 53，从而月球被地球引潮力撕碎的临界距离为e mrcm

R3 e e

131.7Re

。可见，一旦月球向地球撞来，在它未与地面接触之前，已被引潮力撕得粉碎。月球撞击地球！几乎是不行能的设想的。不过太阳系中从火星到木星之间有几十万个小行星，1300多个，用上述理论来分析小行星撞击地球的后果，倒是有意义的。此外，彗星撞击地球的可能性更明显。早在导出〔2-5〕式之前，洛希就推出了流体星的撕裂条件 3 3 r cc

1

〔2-6〕 这就是洛希极限。土星环平均半径rR2.31，就土星来说，假设土星环中的颗粒物质与土星本身的密度相等，则这距离已在临界距离之内，环中物质应解体不能形成一个整的椭球形卫星，所以它就始终以尘粒状伴随在土星四周形成土星光环。199479木星，依据据理论推算，列维91992年7A、B、C、D、……U、V、W20P、QP片[14]。总结的意义上来说，按广义相对论的观点，引潮力则是时空弯曲的反映[15]。海岸线外形、海陆分布、海洋深度等各种因素的影响，潮汐也随之呈现出丰富多姿的自然景观。潮汐现象是一种自然现象，海洋潮汐的分析、计算及预报对沿海农田水利、港湾业、捕捞、盐业等争论潮汐现象同时对我们观看和争论天体间