立体几何基础题

三fW一一三=i集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]答案：答案：D立体几何基础A组题一、选择题：1．下列命题中正确命题的个数是()⑴三点确定一个平面⑵若点P不在平面a内，A、B、Cm点都在平面a内，则P、A、B、C四点不在同一平面内⑶两两相交的三条直线在同一平面内⑷两组对边分别相等的四边形是平行四边形TOC\o"1-5"\h\z.1C答案：A.已知异面直线a和b所成的角为50。,P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30。的直线条数有且仅有()条条条条答案：B.已知直线l1平面a，直线mu平面P，下列四个命题中正确的是()(1)若a//p,则l±m(2)若a，B,则l//m(3)若l//m，则a，p(4)若l±m，则a//pA.(3)与(4)B.(1)与(3)C.(2)与(4)D.(1)与(2)答案：B.已知m、n.已知m、n为异面直线，muA.与m、n都相交C.与m、n都不相交.设集合A=｛直线｝，8=｛平面｝，的真命题是()c//b]A.｝na±ca±bJa//b]C.bna//cc//bJ二平面。,nu平面p,a(邛=l,则l()B.与m、n中至少一条相交D.至多与m、n中的一条相交答案：B,C=AUB，若aeA,beB,ceC,则下列命题中a±b]B.>na//cb±cJa//b]D.>na±cc±bJ答案：A.已知〃、匕为异面直线，点A、B在直线〃上，点C、D在直线匕上，且AOAD,BOBD,则直线〃、匕所成的角为()A.90°B.60°C.45°D.30°答案：A.下列四个命题中正确命题的个数是()有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱各侧面都是正方形的四棱柱是正方体底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥个个个个答案：D.设M=｛正四棱柱｝,N=｛长方体｝,P=｛直四棱柱｝,Q=｛正方体｝,则这些集合之间关系是()TOC\o"1-5"\h\z答案：B一、一...，14..正四棱锥P—ABCD中，高PO的长是底面长的，且它的体积等于cm3，则棱AB与23侧面PCD之间的距离是()A.2cmB.2cmC.1cmD.?cm2答案：A.纬度为a的纬圈上有A、B两点，弧在纬圈上，弧AB的长为兀Rcosa(R为球半径)，则A、B两点间的球面距离为()A.兀RB.(兀—a)RC.(2k-a)RD.(兀—2a)R答案：D.长方体三边的和为14,对角线长为8,那么()A.它的全面积是66B.它的全面积是132C.它的全面积不能确定D.这样的长方体不存在答案：D.正四棱锥P—ABCD的所有棱长都相等，E为PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于()

13．用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般平行四边形答案：B二、填空题：.正方体ABCD-ABCD中，E、F、G分别为AB、BC、CC的重点，则EF与BG所成11111角的余弦值为10答案：二2和4,到棱a的.二面角a-a-P内一点2和4,到棱a的距离为42，则这个二面角的大小为答案：75。或165。.四边形ABCD是边长为a的菱形，/BAD=60。，沿对角线BD折成120。的二面角A—BD—C后，AC与BD的距离为答案：—a4.P为120。的二面角a-a-p内一点，P到a、P的距离为10,则P到棱a的距离是答案：203答案：2033.如图：正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60。的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是答案：.已知三棱锥P—ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三侧面与底面所成二面角的大小分别为a,P，丫，则cos2a+cos20+cos2y=答案：120．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是（只需写出一个可能的值）。答案：116"11答案：116"11(/或1412~.三棱锥P—ABC的四个顶点在同一球面上，PA、PB、PC两两互相垂直，且这个三棱锥的三个侧面的面积分别为2,23,6，则这个球的表面积是答案：18兀三、解答题：.已知直线a±a，直线a±直线b,baa，求证：b//a答案：略.如图：在四面体ABCD中，AB1平面BCD,BC=CD/BCD=90。,ZADB=30。,E、F分别是AC、AD的中点。（1）求证：平面BEF1平面八8口（2）求平面BEF和平面BCD所成的锐二面角。答案：（1）略；（2）arctan—6327.如图所示：已知PA1。。所在的平面，AB是。。的直径，C是。。上任意一点，过A作AE1PC于E,求证：AE1平面PBC。答案：略PEAOBC24.已知正方体ABCD—A1B1cpi的棱长为a，求异面直线B1c和BD1间的距离。

25．如图：正方体ABCD—ABCD的棱长为a,E、F、G分别是AB、CC、异面直线EG与AF的距离。25．如图：正方体ABCD—ABCD的棱长为a,E、F、G分别是AB、CC、异面直线EG与AF的距离。1126．答案：—―a6BC的中点，求1CBEFA1Ci矩形ABCD中，AB=6,BC=23，沿对角线8口将AABD向上折起使点A移至点P，且P在平面BCD上射影位。，且。在DC上，（1）求证：PD±PC；（2）求二面角P—DB—C的平面角的余弦值;（3）求直线CD与平面PBD所成角正弦值。答案：（1）略，（3）答案：（1）略，（3）—28．29．28．29．已知：空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、设AM和CN所成的角为。，求cosa的值。答案：23已知：正三棱锥S—ABC的底面边长为a，各侧面的顶角为30。，D为侧棱SC的重点，截面ADEF过口且平行于AB，当ADEF周长最小时，求截得的三棱锥S—DEF的侧面积。

答案：2±2a2

830.在四面体A—BCD中，AB=CD=5,AC=BD=25,AD=BC=13，求该四面体的体积。答案：8立体几何基础B组题一、选择题：.在直二面角a—AB—P的棱AB上取一点P,过P分别在a、P两个平面内作与棱成45。的斜线PC、PD,那么/CPD的大小为（）A.45。B.60。C.120。D.60。或120。答案：D.如果直线1、m与平面a、0、y满足：l=Pn丫，l//a,mua和mly，那么必有（）A.aly且11mB.aly且m//0C.m//0且11mD.a//0且aly答案：A3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有TOC\o"1-5"\h\z（）个个4.个个4.如图：在多面体ABCDEF中，39为3的正方形，EFEF=——22答案：DEF已知ABCD是边长B.5C.6D1.5A2B答案：D5．如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系是（）A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不确定答案：D6.已知球的体积为36兀，则该球的表面积为（）A.9兀B.12兀C.24兀D.36兀答案：D7．已知7．已知MN//a,MAua1且MM1a,NA1MN，若MN=2,MA=3,11NA=4，则MN等于1B.5B.5D.213A.15C.13答案：8．（异面直线a、）b成60。角直线c1a，则直线b与c所成角的范围是A.[30。,90。]B.[60。,90。]C.[60。,120。]D.[30。,120。]答案：9．（一个三棱锥，）如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面A.至多只有一个是直角三角形C.可能都是直角三角形B.至多只有两个是直角三角形D.必然都是非直角三角形答案：C答案：C1111过C作CH1底面ABC1110.如图：在斜三棱柱ABC—ABC的底面AABC中,ZA=90。，且BC1AC1垂足为H，则点H在A.直线AC上C.直线BC上B.直线AB上D.AABC内部CA答案：11.如图：三棱锥S—ABC中，SEBFSGEAFSSC则截面EFG把三棱锥分成的两部分的体积之比为A.1:9B.1:7C.1:8（）12．正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量，这个常量是（）（）A.正四面体的一个棱长B.正四面体的一条斜高的长C.正四面体的高D.以上结论都不对答案：C.球面上有三点八、B、C,每两点之间的球面距离都等于大圆周长的1,过三点的小6圆周长为4兀，则球面面积为（）A.16兀B.24兀C.32兀D.48兀答案：D二、填空题：.a、P是两个不同的平面，m,n是平面a及P之外的两条不同直线，给出四个论断：①m1n②a±P③n±P④m1a以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是答案：②③④n①或①③④n②.关于直角人08在平面a内的射影有如下判断：①可能是0。的角；②可能是锐角:③可能是直角；④可能是钝角：⑤可能是180。的角，其中正确判断的序号是（注：把你认为是正确判断的序号都填上）答案：①②③④（注：把你认为是正确判断的序号都填上）答案：①②③④⑤16.④N⑤答案：①④⑤⑤16.④N⑤答案：①④⑤如图所示：五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l1面MNP的图形的序号是333317.如图：平面a〃平面PyPayaPPylPyPayaPPylaPy??242或2a12122cosa+cosPaP11：AE:EB=CF:FD=m:nEF//aZABC=90。SA1面ABCDAD=-V=——2S-ABCD42a-MN-P1a1P3cm1cmZABC=60。a-MN-P2120。21aOABC-OABCAF1CEB-BEFB-EF-Barctan227777EBBEA1C1C123CZACB=90。AABD1C1A1/C1A1/OOB=60。ZAOB=90。1226arcsinOAB—OAB33iiiarctan7arccos/PBD+/BPC<90。221221AD=10AAAD=10AA=8arctan1737ABCDAAABCDNABDAABCNACDAB±CD12123112BDA112BDA31arcsin——abh0abhsin023/ADCPA±CD±6645。1CZACB=90。/ADE=90。145。A1ACA111111CC±A±AAC=37AB=5A-ACD511D.3x560。.3C4m3x2x5B.2x5.5C.2x6.13．答案：C已知集合忖=｛直线的倾斜角｝，集合N=｛两条异面直线所成的角｝，集合P=｛直线与平面所成的角｝，则下列结论中正确的个数是3．（1）兀(mnn)np=(0,—]2（1）兀(mnn)np=(0,—]2兀(MnN)UP=(0,—]2(2)(MnN)UP=(0,兀]兀（mnn）np=（0,-）24．(已知圆锥的底面半径为R,高为3R）答案：D在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是2兀R29兀R248兀R235兀R22答案：B5．一个四面体的所有棱长都为四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.B.4兀5．一个四面体的所有棱长都为四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.B.4兀C.D.答案：A6.如图：四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD±平面ABCD,PD=AD=1,设点C到平面PAB的距离为d，点8到平面PAC的距离d，则有(1<1<d<d12d<d<112d<d<1<d12d<d<121答案：答案：D7．平行六面体ABCD-AFiCR的六个面都是菱形，则D在面ACB7．平行六面体ABCD-AFiCR的六个面都是菱形，则D在面ACB上的射影是AACB的8．)A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心设正三棱锥P—ABC的高为PO,M为PO的中点答案：D过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，则这两部分体积之比为A.25B.21CA.25B.21C4

.21d.17答案：C9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是2兀，那39．么该三棱柱的体积是A.963163243483A.963163243483答案：.在侧棱长为23的正三棱锥S—ABC中，/ASB=/BSC=/CSA=40。，过A作截面AEF,则截面的最小周长为()A.22.4C答案：C.设。是正三棱锥P—ABC底面AABC的中心，过。的动平面与P—ABC的三条侧棱或111其延长线的交点分别记为Q,R,S,则和式—十—十—满足PQPRPS()A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等D.是一个与平面QRS为之无关的常量答案：D

12．三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且三条侧棱长之和为3，则三棱锥体积的最大值为（）A.1B.1C.1答案：BTOC\o"1-5"\h\z63二、填空题：13．过正方体的每三个顶点都可确定一个平面，其中能与这个正方体的12条棱所成的角都相等的不同平面的个数为个答案：814.在平面几何里，有勾股定理：“设AABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锚―BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则”答案：S2AABC+S2AACD+S2AADB=S2ABCD.下图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题（1）AB与EF所在直线平行；（2）AB与CD所在直线异面；（3）MN与BF所在直线成60。角；（4）MN与CD所在直线互相垂直，其中正确命题的序号为（将所有正确的都填入空格内）.如图：在透明塑料制成的长方体ABCD—ABCD容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度1的不同，有下列四个命题：A1EGCABBA1EGCABB①水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形EFGH的面积不变；③棱AD始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜如图所示时，BF•BE是定值，其中所有正确命题的序号是案：①③④17．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离为答案：3三、解答题：.在长方体ABCD—ABCD中，AB=a,BC=b,AA=c，求异面直线BD和BC所成1111111答案：角的余弦值。答案：a2+b2+c2-b2+c2.如图所示：四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA1面ABCD,(1)平面PAD1平面ABCD所成的二面角为60。，求这个四棱锥的体积；(2)证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90。。3答案：(1)V—a3,(2)答案：(1)VP—ABCDP—ABCD.如图：已知平行六面体ABCD-A'B'C'D’的底面ABCD是菱形，且/C1CB=/C1CD=/BCD,(1)证明：CC11BD；(2)当CCD-的值为多少时，能使A1C1平面C1BD请给出证明。

CD答案：(1)略，(2)上―=1CC1.在长方体ABCD—A^CR中，已知AA12,AB=3,AD=a，求：(1)异面直线?《与一”所成的角；1(2)当a为何值时，使B1CLBD1a2—4TOC\o"1-5"\h\z答案：(1)arccos，(2)a2+13•a2+4a—2.如图：正三棱柱ABC—A1B1c1的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点，在直线C"上找一点N,使MN±AB/11答111案：CN——4.如图：正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a,(0<a<2)。(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小；(3)当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。

TOC\o"1-5"\h\z2121答案：(1)MN=(a一)2+(0<a<2)(2)a-——(3)arccos(-)2223.正三棱柱ABC—A1B1C1的棱AA1上存在动点P,已知AB=2,AA1=3,求截面PBC与PB1c1所成二面角的最值。答案：0-arctan43,max0-三min3.如图所示：平面£人口±平面ABCD,AADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成30。的角。(1)求证:EG±平面ABCD；(2)当AD=2时，求二面角E—FC—G的度数；(3)当AD的长是多少时，D点到平面EFC的距离为2,请说明理由。答案：(1)略，(2)45。，(3)AD-6EC1B