流体力学讲义8-2教程文件

一、圆管内粘性(zhānxìnɡ)不可压缩流体的定常层流流动(Hagen-Poiseuille流动)（1）物理(wùlǐ)问题：工程问题：水平设置，质量力不计，管道很长，流动均匀，欲知输送距离为L的管道上所需的压强差。设：流量恒定，因此流动定常。流体力学可求解：在无限长等截面(jiémiàn)水平圆管内的粘性不可压流体的定常层流流动中。已知：圆管直径D、长度L、流量和流体的物性（如：密度和粘度），计算两截面(jiémiàn)1和2间的压强差圆管Poiseulli流动示意图

第一页，共20页。（2）简化(jiǎnhuà)与求解流动的几何边界是圆柱面，取固结于圆管的柱坐标系()如图所示。Z轴放在管中心，定常平行流动(liúdòng)的简化方程在此坐标系中可写为：常数

边界条件为:

第二页，共20页。（2）简化(jiǎnhuà)过程与求解分析实际问题，提出简化流动模型，是用流体力学理论解决问题的重要步骤，某种意义上说，它比求解方法(fāngfǎ)更为关键。为此，现从不可压缩牛顿流体的运动方程出发，详细讨论简化过程，N-S在柱坐标系中的表达式为边界条件为:第三页，共20页。（2）简化过程(guòchéng)与求解流动特征：流体在无限长直圆管中由流向压降驱动，流动是单向的定常的平行流动；且由于(yóuyú)圆管无限长，单向流动沿流动方向是均匀的、在周向是轴对称的。所以此流场可简化为：上式代入基本方程和边界条件，可得以下(yǐxià)结果：(c)将和，代入方向的运动方程，自动满足；

(b)将，代入径向动量方程，得；

(a)将和代入连续方程，原方程得到满足；第四页，共20页。（2）简化(jiǎnhuà)与求解(d)由(b)和(c)可知压强只是(zhǐshì)流向坐标的函数，P=P(z)将和，代入z方向的运动方程(fāngchéng)可得到：常数上式中只是z的函数，而只是r的函数，要使等式成立，两项都必须是常量。

(e)将，代入边界条件表达式，得到：

第五页，共20页。（2）简化(jiǎnhuà)与求解简化的基本方程和边界条件构成定解问题，只要解出该边值问题，它就是此问题的解。由简化后表达式可看出(kànchū)，非线性的惯性项消失了，只需积分两次，就可得到它的一般解。积分(jīfēn)一次得：再积分一次得：根据该问题的物理特性，在管道中的流动速度应处处有界，所以必有：。由管壁边界条件，，得：。，速度场的解为:第六页，共20页。（3）解的分析(fēnxī)与应用体积(tǐjī)流量公式：(c)平均速度(pínɡjūnsùdù)（圆管截面上的平均速度(pínɡjūnsùdù)）：式中R是圆管半径。上式是圆管中层流运动的流量和压降间关系式。讨论：(a)圆管截面上的速度是抛物线分布；(b)最大速度在处，可见圆管中平均速度是最大速度之半。第七页，共20页。（3）解的应用(yìngyòng)与分析(d)粘度计公式(gōngshì)：圆管层流(cénɡliú)运动的流量公式由Hagen-Poiseuille最先导出，故又称Hagen-Poiseuille公式。由流量公式可得到流体的粘性系数的计算公式如下：

第八页，共20页。油平均速度可得沿程阻力(zǔlì)系数公式为：

式中（3）解的应用(yìngyòng)与分析（ii）若是有限长圆管，本节公式在管道进出口处不适用。离进出口截面(jiémiàn)一定距离的流动才符合上述结果。（i）以上结果对应无限长圆管中不可压缩牛顿型流体的层流运动，又称“完全发展的圆管层流流动”，与实验结果符合良好。(e)沿程阻力系数

定义：无量纲数为圆管流动的沿程阻力系数。注意：第九页，共20页。二、两平行平板间流动(liúdòng)的速度场（1）物理问题(wèntí)及简化水平放置的两块无限大平行平板间充满了不可压缩牛顿流体，不计质量力,平板间的距离为2h，如图，已知上板以等速度U沿x轴正方向运动，下板固定。截面1和2上恒定(héngdìng)压强分别为P1和P2，求平板间速度分布及应力分布平面Couette流动示意图

第十页，共20页。（1）物理问题(wèntí)及简化流动的几何边界是平行(píngxíng)平面，流动方向平行(píngxíng)于X轴，用直角坐标描述该流场最合适。如图取固结于下平板的坐标系(x,y,z)，此时

流体的运动方程简化为：

边界条件是：

第十一页，共20页。（2）求解(qiújiě)速度场动量方程积分两次得：

应用边界条件得：，，于是所求问题的解为：流场性质(xìngzhì)：(a)它由两部分线性迭加组成(zǔchénɡ)，一部分是压降驱动的流动，速度是抛物线分布；另一部分由上平板拖动，速度呈线性分布。第十二页，共20页。（2）速度(sùdù)场(b)剪应力分布牛顿切应力公式可得

：表明一部分切应力由压降引起，呈线性分布；另一部分由上板移动所引起，切应力为常数。(c)流量公式：两平板(píngbǎn)间单位宽度的体积流量为：(d)截面(jiémiàn)平均速度第十三页，共20页。（2）速度(sùdù)场(e)平面(píngmiàn)Poiseuille流动两固定的平行平板间由压强差驱动的流动称平面Poiseuille流动，以上结果(jiēguǒ)中令U=0，得平面Poiseuille流动的速度分布及流动特性如下：即，平面Poiseuille流动的速度剖面也是抛物线，最大速度在y=0处：

流量：平均速度：第十四页，共20页。切应力分布：最大剪应力在平板上(y=h)：沿程阻力系数：式中：。

（2）速度(sùdù)场第十五页，共20页。三、Couette流动(liúdòng)

（1）物理问题及简化无限长同心圆柱和圆筒间充满不可压缩牛顿流体，内柱以等角速度绕轴旋转，这时在环形空间(kōngjiān)内的流动称为Couette流动。求圆柱环内的流体速度分布(fēnbù)和作用在柱面上的剪应力？图Taylor-Couette流动示意图

第十六页，共20页。（1）物理问题(wèntí)及简化根据该流场的几何特征，用柱坐标，将柱坐标的轴线和同心圆柱的轴线重合，已知：，分别为内圆柱的外径和和外圆筒的内径，内圆柱以ω等角速度转动。由边界条件的轴对称性和驱动条件的恒定性，推测流场是定常轴对称的，即：，，

柱坐标系中:连续(liánxù)方程自动满足；轴向动量方程:，压强只是r的函数；周向动量方程:径向动量方程:边界条件：第十七页，共20页。（2）速度(sùdù)场设代入方程，可得：，解得n=±1，即：利用边界条件，求出积分常数：最后得：第十八页，共20页。（3）应力(yìnglì)与力矩上式也可用作测量流体粘度的公式，只要测定内圆柱上流体作用力矩和转速以及内外圆柱的半径，就可由该式计算流体动力粘度系数。压强分布：可将速度分布公式代入径向动量(dòngliàng)方程积分求出，说明：压强的定解条件是必须给定流场一点的压