北师大版九年级数学上册全册课时练习(一课时一练)

北师大版九年级数学上册全册课时练习1第一课时菱形的概念及其性质1．如图1－1－1，在▱ABCD中，若添加下列条件：①AB＝CD；②AB＝BC；③∠1＝∠2.其中能使▱ABCD成为菱形的有()图1－1－1A．0个B．1个C．2个D．3个2．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图1－1－2所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是()A．(3，1)B．(3，－1)C．(1，－3)D．(1，3)图1－1－2图1－1－33．如图1－1－3，P是菱形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是________cm4．如图1－1－4，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是()A．25B．20C．15D．10图1－1－4图1－1－55．如图1－1－5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OH的长为________．6．如图1－1－6，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形．求证：BE＝CE.图1－1－67．如图1－1－7，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的边长为()A．5B．10C．6D．88．已知菱形的边长是2cm，一条对角线长是2cmA．4cmB．2eq\r(3)cmC.eq\r(3)cmD．3cm图1－1－7图1－1－89．如图1－1－8，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠CBO＝________°.10．如图1－1－9，四边形ABCD是菱形，A(3，0)，B(0，4)，则点C的坐标为()图1－1－9A．(－5，4)B．(－5，5)C．(－4，4)D．(－4，3)11．一个菱形的边长为4cm，且有一个内角为60°，12．如图1－1－10，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝________°.图1－1－10图1－1－1113．如图1－1－11，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为________．14．如图1－1－12所示，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是________．图1－1－1215．如图1－1－13，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．图1－1－1316.如图1－1－14所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，请你猜想CE与CF在数量上有什么关系，并证明你的猜想．图1－1－1417．如图1－1－15，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝CE；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的度数．图1－1－15第二课时菱形的判定1．如图1－1－16，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是()图1－1－16A．AC＝ADB．BA＝BCC．∠ABC＝90°D．AC＝BD2．如图1－1－17，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．图1－1－173．下列命题中，正确的是()A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形图1－1－184．如图1－1－18，在▱ABCD中，AB＝13，AC＝10，当BD＝________时，四边形ABCD是菱形．5．如图1－1－19，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－196．用直尺和圆规作一个菱形，如图1－1－20，能判定四边形ABCD是菱形的依据是()图1－1－20A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形7．如图1－1－21，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－218．如图1－1－22所示，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是()A．AE＝AFB．EF⊥ACC．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线图1－1－22图1－1－239．如图1－1－23，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是()A．AB⊥ACB．AB＝ACC．AB＝BCD．AC＝BC10．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是________．图1－1－2411．如图1－1－24，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边满足条件____________时，四边形EFGH是菱形．12．如图1－1－25，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，作边AC的垂直平分线l交AB于点D，过点C作AB的平行线交l于点E，判断四边形DBCE的形状，并说明理由．图1－1－2513．如图1－1－26，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．图1－1－2614．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同且含60°角的三角板ABC与三角板AEF按如图1－1－27①所示方式放置，现将三角板AEF绕点A按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由．图1－1－27第3课时菱形的性质与判定的综合应用1．已知菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的面积是()A．192B．96C．48D图1－1－282．如图1－1－28，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD的面积是()A．6B．12C．24D．483．如图1－1－29，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为40cm，图1－1－294．如图1－1－30，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则四边形ABCD的周长为()A．4B．6C．8D．12图1－1－30图1－1－315．如图1－1－31，剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是()A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°6．如图1－1－32，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4图1－1－3图1－1－337．如图1－1－33，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．8．如图1－1－34所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，则AB＝________．图1－1－3图1－1－359．如图1－1－35，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF＝________°.10．如图1－1－36，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长．图1－1－36图1－1－3711．如图1－1－37，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形A．52cmB．40cmC．39cmD．12．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断()A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误图1－1－3913．如图1－1－39，菱形ABCD的边长为8cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为________cm214．如图1－1－40，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连接DP交对角线AC于点E，连接BE.(1)求证：∠APD＝∠CBE；(2)试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的eq\f(1,4)，为什么？图1－1－4015．如图1－1－41，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为O.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2eq\r(5)，求四边形ABCD的面积．图1－1－4116．教材“做一做”变式题明明将两张长为8cm，宽为2cm的长方形纸条交叉叠放，如图1－1－42①所示(1)请你帮助明明证明四边形ABCD是菱形；(2)明明又发现：如图②所示，当菱形的一条对角线与长方形纸条的一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．图1－1－422第1课时矩形的概念及其性质1．若矩形ABCD的两邻边长分别是1，2，则其对角线BD的长是()A.eq\r(3)B．3C.eq\r(5)D．2eq\r(5)2．如图1－2－1所示，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是()A．2B．3C．4D．5图1－2－1图1－2－23．如图1－2－2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是()A．30°B．22.5°C．15°D．10°4．如图1－2－3，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO.图1－2－35．如图1－2－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为()A．30°B．60°C．90°D．120°图1－2－4图1－2－56．如图1－2－5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是()A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm图1－2－67．如图1－2－6，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝________cm.8．如图1－2－7，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E.求证：BE＝BD.图1－2－79．若直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线的长是()A．5B．10C.eq\f(24,5)D.eq\f(12,5)图1－2－810．如图1－2－8，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为()A．15°B．25°C．35°D．45°11．如图1－2－9，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.图1－2－912．如图1－2－10，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为()A．3B．4C．5D．6图1－2－10图1－2－1113．如图1－2－11，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为()A．5B．8C．13D．2014．如图1－2－12，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，折叠矩形，使顶点D与对角线交点O重合，折痕为CE，已知△CDE的周长是10cm，则矩形ABCD的周长为()A．15cmB．18cmC．19cmD．20cm图1－2－12图1－2－1315．如图1－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝________cm.16．如图1－2－14，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．图1－2－1417．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1－2－15①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD.应用：如图1－2－15②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝FB，AF与BE交于点O.(1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；(2)连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．图1－2－15参考答案1．C2．A3．C.4．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC.∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC－∠DOC＝∠BOD－∠DOC，即∠AOD＝∠BOC.在△AOD和△BOC中，∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，∴△AOD≌△BOC，∴AO＝BO.5．B6．A7．2.58．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AD∥BC.又∵BE∥AC，∴四边形AEBC是平行四边形，∴BE＝AC，∴BE＝BD.9．A.10．C.11．证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE＝eq\f(1,2)AB.在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE＝eq\f(1,2)AB.∴CE＝DE.12．C13．D14．D15．616．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°.由平移的性质得：DE＝AC，EC＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC.在△ACD和△EDC中，AD＝EC，∠ADC＝∠ECD，CD＝DC，∴△ACD≌△EDC.(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形．17．解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠BFO.又∵∠AOE＝∠FOB，AE＝FB，∴△AOE≌△FOB，∴EO＝BO，∴AO是△ABE的边BE上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”．(2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”，∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC＝3.∵△AOB和△AOE是“友好三角形”，∴S△AOB＝S△AOE.∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE＝S△FOB，∴S△AOD＝S△ABF，∴S四边形CDOF＝S矩形ABCD－2S△ABF＝4×6－2×eq\f(1,2)×4×3＝12.第2课时矩形的判定1．如图1－2－16，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是()A．AB＝BCB．AO＝COC．∠ABC＝90°D．∠1＝∠22．木工师傅做一个矩形木框，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线的长为图1－2－16图1－2－173．如图1－2－17，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，当△ABC满足条件__________时，四边形AEDF是矩形．4．如图1－2－18，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．图1－2－18图1－2－195．如图1－2－19，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是()A．AO＝OCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．BD平分∠ABC6．如图1－2－20，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，要使▱ABCD为矩形，则OB的长为()A．4B．3C．2D．1图1－2－20图1－2－217．如图1－2－21，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了．(1)当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时，门框符合要求；(2)这种做法的根据是______________________．8．如图1－2－22，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，△OAB为等边三角形，BC＝eq\r(3).求四边形ABCD的周长．图1－2－229．对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有()A．1组B．2组C．3组D．4组图1－2－2310．如图1－2－23，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________．11．下列命题错误的是()A．有三个角是直角的四边形是矩形B．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形12．如图1－2－24，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.下列组合中，不能使四边形ABCD成为矩形的是()A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥图1－2－24图1－2－2513．如图1－2－25，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是()A．∠BAC＝90°B．BC＝2AEC．ED平分∠AEBD．AE⊥BC图1－2－2614．如图1－2－26，已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是四边的中点，只要四边形ABCD的对角线AC，BD再满足条件________，则四边形EFGH一定是矩形．15．如图1－2－27，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为角平分线．求证：四边形PMQN是矩形．图1－2－2716．如图1－2－28，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．图1－2－2817．如图1－2－29，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD＝eq\f(1,2)AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．图1－2－2918．如图1－2－30，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．图1－2－301．C2．合格3．答案不唯一，如∠BAC＝90°4．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°.∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形．又∵∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形．5．B6．B7．(1)等于(2)对角线相等的平行四边形是矩形8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA，BD＝2OB.∵△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.在Rt△ABC中，AC＝2OA＝2AB，BC＝eq\r(3)，由勾股定理，得AB＝eq\r(AC2－BC2)＝1，∴四边形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(1＋eq\r(3))．9．B1012.11．C12．C13．D14．AC⊥BD15．证明：∵PM，PN分别平分∠APQ，∠BPQ，∴∠MPQ＝eq\f(1,2)∠APQ，∠NPQ＝eq\f(1,2)∠BPQ.∵∠APQ＋∠BPQ＝180°，∴∠MPQ＋∠NPQ＝90°，即∠MPN＝90°.同理可证∠MQN＝90°.∵AB∥CD，∴∠APQ＋∠CQP＝180°，∴∠MPQ＋∠MQP＝90°，即∠PMQ＝90°，∴四边形PMQN是矩形．16．证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.∴CD∥AE，CD＝AE，∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB＝AC，AB＝DE，∴AC＝DE，∴平行四边形ADCE是矩形．17．解：(1)证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵O为AC的中点，∴OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.在△BOE和△DOF中，∠EBO＝∠FDO，∠BEO＝∠DFO，OE＝OF，∴△BOE≌△DOF(AAS)．(2)若OD＝eq\f(1,2)AC，则四边形ABCD是矩形．证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.∵OD＝eq\f(1,2)AC，∴OA＝OB＝OC＝OD，且BD＝AC，∴四边形ABCD是矩形．18．解：(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，如图所示，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝eq\r(122＋52)＝13，∴OC＝eq\f(1,2)EF＝6.5.(3)当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：当O为AC的中点时，AO＝CO.又∵OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．第3课时矩形的性质与判定的综合应用1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°，那么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是()A．22°，68°B．44°，66°C．24°，66°D．40°，50°4．如图1－2－31所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且EB平分∠AEC，则△ABE的面积为()A．2.4B．2C．1.8D．1.5图1－2－31图1－2－325．如图1－2－32，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________．6．在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图1－2－33所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝________cm.图1－2－33图1－2－347．如图1－2－34，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．8．如图1－2－35，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE＝CE.图1－2－359．如图1－2－36，在矩形ABCD中(AD＞AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F，在下列结论中，不一定正确的是()A．△AFD≌△DCEB．AF＝eq\f(1,2)ADC．AB＝AFD．BE＝AD－DF图1－2－36图1－2－3710．如图1－2－37，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是()A．2eq\r(3)B．3eq\r(3)C．4D．4eq\r(3)11．如图1－2－38，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为()图1－2－38A．4B．4.8C．5.2D．612．如图1－2－39，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，则对角线AC的长为________cm.图1－2－39图1－2－4013．如图1－2－40，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件____________时，四边形PEMF为矩形．14．如图1－2－41，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AE∥BC，DE∥AB，连接CE，DE交AC于点G.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)点F在BA的延长线上，请直接写出图中所有与∠FAE相等的角．图1－2－4115．如图1－2－42，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.求证：四边形EFPH为矩形．图1－2－4216．如图1－2－43，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．图1－2－4317．如图1－2－44，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.(1)求证：四边形DAEF是平行四边形．(2)探究下列问题(只填满足的条件，不需证明)：①当△ABC满足条件：____________时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足条件：____________时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足条件：____________时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在．图1－2－441．D2.A3.A4．D5．20.6．5.8.7．48．证明：如图，过点B作BF⊥CE于点F.∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°.∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，∴∠BCF＝∠D.在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD，∴△BCF≌△CDE(AAS)，∴BF＝CE.∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE＝BF，∴AE＝CE.9．B10．A.11．B12．513．2AB＝BC14．解：(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD.∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠AED＝∠EDC，∠EAC＝∠ACB，∠FAE＝∠B，∴∠FAE＝∠B＝∠ACB＝∠AEG＝∠EAG＝∠GDC.15．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP.∵AD＝BC，DE＝BP，∴AE＝CP.又∵AD∥BC，即AE∥CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形．∵在矩形ABCD中，∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，DE＝BP＝1，∴CE＝eq\r(5)，同理BE＝2eq\r(5)，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴四边形EFPH为矩形．16．解：(1)证法一：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.由折叠的性质可得：∠ABE＝eq\f(1,2)∠ABD，∠CDF＝eq\f(1,2)∠CDB，∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AB＝CD，,∠ABE＝∠CDF，))∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴DE＝BF，DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．证法二：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，DE∥BF.由折叠的性质得∠EBD＝eq\f(1,2)∠ABD，∠FDB＝eq\f(1,2)∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF.又∵DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．(2)∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝DE，∠FBD＝∠EBD＝∠ABE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠FBD＝∠EBD＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，BE＝2AE＝eq\f(4,3)eq\r(3)，∴BC＝AD＝AE＋DE＝AE＋BE＝eq\f(2\r(3),3)＋eq\f(4,3)eq\r(3)＝2eq\r(3).17．解：(1)证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，∴∠ABC＋∠FBA＝∠DBF＋∠FBA＝60°，∴∠ABC＝∠DBF.又∵BA＝BD，BC＝BF，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．(2)①∠BAC＝150°②AB＝AC≠BC③∠BAC＝60°3第1课时正方形的性质1．如图1－3－1，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为________．图1－3－1图1－3－22．如图1－3－2，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．3．如图1－3－3，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图1－3－34．如图1－3－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为()A．10°B．12.5°C．15°D．20°图1－3－4图1－3－55．如图1－3－5，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，则∠DCE＝________°.6．如图1－3－6，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．图1－3－67．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是()A．8B．4eq\r(2)C．8eq\r(2)D．16图1－3－78．如图1－3－7，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．9．如图1－3－8，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．图1－3－810．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是()A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)图1－3－9图1－3－1011.如图1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．12．如图1－3－11，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为()A．45°B．55°C．60°D．75°图1－3－11图1－3－1213.如图1－3－12，正方形ABCD的边长为eq\r(2)，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．14．如图1－3－13，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN图1－3－13图1－3－1415．如图1－3－14，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB2017B2018C16．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.图1－3－1517．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1－3－16①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图1－3－16②)，求证：EF2＝ME2＋NF2.图1－3－161．2eq\r(13)2.eq\r(2)－13．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．22.56．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABE＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝eq\f(1,2)×(180°－30°)＝75°.∵∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°－75°＝15°，同理可得∠ADE＝15°，∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°.7．A8．29．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，BC＝DC.∵E，F分别为DC，BC的中点，∴DE＝eq\f(1,2)DC，BF＝eq\f(1,2)BC，∴DE＝BF.在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠D＝∠B，DE＝BF，∴△ADE≌△ABF(SAS)．(2)由题知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝eq\f(1,2)×4＝2，CE＝CF＝eq\f(1,2)×4＝2，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－eq\f(1,2)×4×2－eq\f(1,2)×4×2－eq\f(1,2)×2×2＝6.10．C11．1012.C13．414．3cm15．(0，2100916．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF.在△AOE和△DOF中，AO＝DO，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，∴△AOE≌△DOF(SAS)，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即AM⊥DF.17．证明：(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AG＝AF，∠GAF＝90°.∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°，即∠GAE＝∠EAF.在△AEG和△AEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AG＝AF，,∠GAE＝∠EAF，,AE＝AE，))∴△AEG≌△AEF(SAS)．(2)把△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，如图，连接GM，则△ADF≌△ABG，∴DF＝BG.由(1)知△AEG≌△AEF，∴EG＝EF.∵∠CEF＝45°，∴△BME，△DNF，△CEF均为等腰直角三角形，∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝eq\r(2)DF，∴BE＝DF，∴BE＝BM＝DF＝BG，∴∠BMG＝45°，∴∠GME＝45°＋45°＝90°，∴EG2＝ME2＋MG2.又∵EG＝EF，MG＝eq\r(2)BM＝eq\r(2)DF＝NF，∴EF2＝ME2＋NF2.第2课时正方形的判定1．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明()A．AB＝BD且AC⊥BDB．∠A＝90°且AB＝ADC．∠A＝90°且AC＝BDD．AC和BD互相垂直平分2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________________．3．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是()A．OA＝OC，OB＝ODB．OA＝OB＝OC＝ODC．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BDD．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD图1－3－174．如图1－3－17，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成()A．22.5°角B．30°角C．45°角D．60°角5．如图1－3－18，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．请判断四边形PQEF的形状．图1－3－186．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：________，使其成为正方形．(只填一个即可)图1－3－197．如图1－3－19所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定的方法是__________________________．8．如图1－3－20所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．图1－3－209．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．对角线互相垂直的四边形C．菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形图1－3－2110．如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是()A．BC＝ACB．CF⊥BFC．BD＝DFD．AC＝BF图1－3－2211．如图1－3－22，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是()A．30B．34C．36D．4012．如图1－3－23，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．图1－3－2313．如图1－3－24，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为N.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？并给出证明．图1－3－2414．观察如图1－3－25所示图形的变化过程，解答以下问题：图1－3－25如图1－3－26，在△ABC中，D为BC边上的一动点(点D不与B，C两点重合)，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)试探索当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；(2)在(1)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？为什么？图1－3－2615．如图1－3－27，在四边形ABCD中，E，G分别是AD，BC的中点，F，H分别是BD，AC的中点．(1)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明你的结论；(2)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；(3)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并证明你的结论．图1－3－271．B2.AB＝BC(答案不唯一)3．D4．C.5．解：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，∴AF＝BP＝CQ＝DE.又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，∴FP＝PQ＝QE＝EF，∴四边形PQEF是菱形．∵△AFP≌△BPQ，∴∠APF＝∠BQP.∵∠BPQ＋∠BQP＝90°＝∠BPQ＋∠APF，∴∠FPQ＝90°，∴四边形PQEF为正方形．6．AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)7．有一组邻边相等的矩形是正方形8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．(2)AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．9．D10.D11．B12．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC，∴∠AED＝eq\f(1,2)∠AEC＝eq\f(1,2)×60°＝30°.又∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15°＋30°＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，∴四边形ABCD是正方形．13．解：(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝eq\f(1,2)×180°＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形．(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE为正方形．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°.∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD.又∵四边形ADCE是矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．14．解：(1)当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形．理由：∵AE∥DF，DE∥AF，∴四边形AEDF为平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE∥AF，∴∠FAD＝∠ADE，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF为菱形．(2)当∠BAC＝90°时，菱形AEDF是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形．15．解：(1)当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形．证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，G，H分别是BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB，GH∥AB，GH＝eq\f(1,2)AB，FG∥CD.∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．∵AB⊥CD，∴EF⊥FG，即∠EFG＝90°，∴四边形EFGH是矩形．(2)当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，∴EF＝eq\f(1,2)AB，GH＝eq\f(1,2)AB，FG＝eq\f(1,2)CD，EH＝eq\f(1,2)CD.又∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH是菱形．(3)当AB＝CD且AB⊥CD时，四边形EFGH是正方形．证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB，同理，EH∥CD，EH＝eq\f(1,2)CD，FG＝eq\f(1,2)CD，GH＝eq\f(1,2)AB.∵AB＝CD，∴EF＝EH＝GH＝FG，∴四边形EFGH是菱形．∵AB⊥CD，∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．1第1课时认识一元二次方程1．下列方程是一元二次方程的是()A．ax2＋bx＋c＝0B．3x2－2x＝3(x2－2)C．x3－2x－4＝0D．(x－1)2＋1＝02．若关于x的方程(m－2)x2＋mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是________．3．一元二次方程3x2－2x－5＝0的二次项系数和一次项系数分别为()A．－5和2B．3和－2C．3和2D．3和－54．一元二次方程3x(x－3)＝2x2＋1化为一般形式为__________．5．王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图2－1－1，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2图2－1－1A．(80－x)(70－x)＝3000B．80×70－4x2＝3000C．(80－2x)(70－2x)＝3000D．80×70－4x2－(70＋80)x＝30006．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何．”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步．”如果设矩形田地的长为x步，可列方程为______________．7．已知关于x的一元二次方程2bx2－(a＋1)x＝x(x－1)的二次项系数为1，一次项系数为－1，求a＋b的值．8．已知关于x的方程(m2－9)x2＋(m＋3)x－5＝0.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解；(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．9．若x2a＋b－2xa－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，求a，b的值．小明的想法如下：满足条件的a，b必须满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝2，,a－b＝2.))你觉得小明的这种想法全面吗？若不全面，请你说明另外满足的条件．答案1．D2．m≠23．B4．x2－9x－1＝05．C6.x(x－12)＝8647．解：由题意，得一元二次方程的一般形式为(2b－1)x2－ax＝0.∵方程的二次项系数为1，一次项系数为－1，∴2b－1＝1，－a＝－1，解得a＝1，b＝1，∴a＋b＝1＋1＝2.8．解：(1)根据一元一次方程的定义可知m2－9＝0，m＋3≠0，解得m＝3.此时化简方程为6x－5＝0，解得x＝eq\f(5,6).(2)根据一元二次方程的定义可知m2－9≠0，解得m≠±3.这个方程的二次项系数为m2－9，一次项系数为m＋3，常数项为－5.9．解：不全面，还有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝2，,a－b＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝2，,a－b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1，,a－b＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝0，,a－b＝2.))第2课时一元二次方程根的估算1．在数1，2，3，4中，是方程x2＋x－12＝0的解的为()A．1B．2C．3D．42．已知关于x的一元二次方程x2－5x＋b＝0的一个根是3，则实数b的值为()A．3B．5C．6D．－63．已知m是方程x2－x－1＝0的解，则式子2m2－A．2018B．2019C．2020D．4．根据下列表格中代数式ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)与x的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的大致范围是()x6.176.186.196.20ax2＋bx＋c－0.03－0.010.020.06A.6<x<6.17B．6.17<x<6.18C．6.18<x<6.19D．6.19<x<6.205．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：x00.511.11.21.3x2＋px＋q－15－8.75－2－0.590.842.29则方程x2＋px＋q＝0的解满足()A．整数部分是0，十分位是5B．整数部分是0，十分位是8C．整数部分是1，十分位是1D．整数部分是1，十分位是26．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，则m＋n的值为()A．1B．2C．－1D．－27．我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是()A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－1，x2＝－38．填写下表：x－3－2－101232x2－x－15通过此表探索方程2x2－x－15＝0的两个解．9．一小球以15m/s的初始速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式：h＝15t－5t2(1)填写下表：t/s0.250.511.251.51.7522.25h/m(2)你能根据表格中的数据猜测何时小球达到最高处吗？10．为了绿化学校校园，需将草皮移植到操场，若矩形操场的长比宽多14m，而操场的面积是3300m2，详解1．C2．C3．C4．C5．C6．D7．D8．解：表格从左至右依次填：6，－5，－12，－15，－14，－9，0.由表可知：－3<x1<－2，x2＝3，当x＝－2.5时，2x2－x－15＝0，所以方程2x2－x－15＝0的两个解为x1＝－2.5，x2＝3.9．解：(1)表格从左至右依次填：3.4375，6.25，10，10.9375，11.25，10.9375，10，8.4375.(2)1.5s时，小球达到最高处．10．解：设操场的宽为xm，根据题意，得x(x＋14)＝3300，即x2＋14x－3300＝0.∵3300≈3000＝50×60，且60－50＝10，也与14近似，∴x可从50附近取值进行估算．列表取值如下：x4549505152x2＋14x－3300－645－213－10015132从上表中可以看出，x的取值范围为50<x<51.再列表取值如下：x50.650.750.850.9x2＋14x－3300－31.24－19.71－8.163.41所以操场的宽的取值范围为大于50.8m且小于50.9m.2第1课时用配方法解简单的一元二次方程1．一元二次方程x2－16＝0的根是()A．x＝2B．x＝4C．x1＝2，x2＝－2D．x1＝4，x2＝－42．对于形如(x＋m)2＝n的方程，下列说法正确的是()A．可以直接开平方得x＝－m±eq\r(n)B．可以直接开平方得x＝－n±eq\r(m)C．当n≥0时，直接开平方得x＝－m±eq\r(n)D．当n≥0时，直接开平方得x＝－n±eq\r(m)3．一元二次方程(x＋6)2－9＝0的解是()A．x1＝6，x2＝－6B．x1＝x2＝－6C．x1＝－3，x2＝－9D．x1＝3，x2＝－94．已知关于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有实数根，则m的取值范围是()A．m≥－eq\f(3,4)B．m≥0C．m≥1D．m≥25．若一元二次方程(x＋6)2＝5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x＋6＝eq\r(5)，则另一个一次方程是________________．6．用直接开平方法解下列方程：(1)(2x＋1)2－6＝0；(2)(x－2)2＋4＝0.7．用配方法解方程x2＋2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x－1)2＝6B．(x＋1)2＝6C．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝98．将x2＋49配成完全平方式，需加上的一次项为()A．7xB．14xC．－14xD．±14x9．若x2－4x＋p＝(x＋q)2，则p，q的值分别是()A．p＝4，q＝2B．p＝4，q＝－2C．p＝－4，q＝2D．p＝－4，q＝－210．一元二次方程a2－4a11．用配方法解下列方程：(1)x2＋4x－2＝0；(2)x2－x－1＝0；(3)x2－3x＝3x＋7；(4)x2＋2x＋2＝6x＋4.12．若把x2＋2x－2＝0化为(x＋m)2＋k＝0的形式(m，k为常数)，则m＋k的值为()A．－2B．－4C．13．用配方法解关于x的方程x2＋px＋q＝0时，方程可变形为()A．(x＋eq\f(p,2))2＝eq\f(p2－4q,4)B．(x＋eq\f(p,2))2＝eq\f(4q－p2,4)C．(x－eq\f(p,2))2＝eq\f(p2－4q,4)D．(x－eq\f(p,2))2＝eq\f(4q－p2,4)14．代数式x2＋4x＋7的最小值是________．15．若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则eq\f(b,a)＝________．16．小明用配方法解一元二次方程x2－4x－1＝0的过程如下所示：解：x2－4x＝1，①x2－4x＋4＝1，②(x－2)2＝1，③x－2＝±1，④x1＝3，x2＝1.⑤(1)小明解方程的方法是________，他的求解过程从第________步开始出现错误，这一步的运算依据应该是____________________；(2)解这个方程．17．若a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，求a2－b218．在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修筑同样宽的三条道路，两条纵向、一条横向，横向与纵向互相垂直(如图2－2－1)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570图2－2－119．定义一种运算“*”：当a≥b时，a*b＝a2＋b2；当a＜b时，a*b＝a2－b2，则方程x*2＝12的解是________．20．将4个数a，b，c，d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))，我们将其称为二阶行列式，并定义eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋11－x,x－1x＋1))＝6，则x＝________．答案1．D2.C3．C4．B5．x＋6＝－eq\r(5)[解析]直接开平方，得x＋6＝±eq\r(5).6．解：(1)移项，得(2x＋1)2＝6，直接开平方，得2x＋1＝±eq\r(6)，即2x＝－1±eq\r(6)，解得x1＝eq\f(－1＋\r(6),2)，x2＝eq\f(－1－\r(6),2).(2)移项，得(x－2)2＝－4，∵(x－2)2≥0，－4＜0，∴该方程无实数根．7．B8．D9．B10．a1＝2＋eq\r(11)，a2＝2－eq\r(11)11．解：(1)移项，得x2＋4x＝2.配方，得x2＋4x＋4＝6.整理，得(x＋2)2＝6，∴x＋2＝±eq\r(6)，即x1＝－2＋eq\r(6)，x2＝－2－eq\r(6).(2)移项，得x2－x＝1.配方，得x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).整理，得(x－eq\f(1,2))2＝eq\f(5,4)，∴x－eq\f(1,2)＝±eq\f(\r(5),2)，即x1＝eq\f(1＋\r(5),2)，x2＝eq\f(1－\r(5),2).(3)原方程可化为x2－6x＝7.配方，得x2－6x＋9＝7＋9.整理，得(x－3)2＝16，∴x－3＝±4，即x1＝7，x2＝－1.(4)移项，得x2＋2x－6x＝4－2.合并同类项，得x2－4x＝2.配方，得x2－4x＋22＝2＋22.整理，得(x－2)2＝6，所以x－2＝eq\r(6)或x－2＝－eq\r(6)，即x1＝2＋eq\r(6)，x2＝2－eq\r(6).12．A13．A14．315．416．解：(1)小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第②步开始出现错误，这一步的运算依据应该是等式的基本性质．故答案为：配方法，②，等式的基本性质．(2)x2－4x＝1，x2－4x＋4＝1＋4，(x－2)2＝5，x－2＝±eq\r(5)，x＝2±eq\r(5)，∴x1＝2＋eq\r(5)，x2＝2－eq\r(5).17．解：∵a2＋2a＋b2－6b＋10＝0∴(a2＋2a＋1)＋(b2－6b＋9)＝0，即(a＋1)2＋(b－3)2＝0，∴a＝－1，b＝3，∴a2－b2＝(－1)2－32＝－8.18．解：设道路的宽为xm，由题意得(32－2x)(20－x)＝570，整理，得x2－36x＋35＝0，解得x1＝1，x2＝35.∵x＝35＞20，∴不合题意，舍去．答：道路的宽为1m.19．x1＝2eq\r(2)，x2＝－4[解析]当x≥2时，x*2＝x2＋22＝12，解得x1＝2eq\r(2)，x2＝－2eq\r(2).因为x≥2，所以x＝2eq\r(2)；当x＜2时，x*2＝x2－22＝12，解得x1＝4，x2＝－4.因为x＜2，所以x＝－4.综上可知，方程的解为x1＝2eq\r(2)，x2＝－4.20．±eq\r(2)[解析]定义eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋11－x,x－1x＋1))＝6，则(x＋1)2－(x－1)(1－x)＝6，化简得x2＝2，即x＝±eq\r(2).第2课时用配方法解复杂的一元二次方程1．解：6x2－x－1＝0eq\o(→,\s\up7(两边同时除以6),\s\do5(第一步))x2－eq\f(1,6)x－eq\f(1,6)＝0eq\o(→,\s\up7(移项),\s\do5(第二步))x2－eq\f(1,6)x＝eq\f(1,6)eq\o(→,\s\up7(配方),\s\do5(第三步))(x－eq\f(1,9))2＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,9)eq\o(→,\s\up7(两边开方),\s\do5(第四步))x－eq\f(1,9)＝±eq\r(\f(5,18))eq\o(→,\s\up7(移项),\s\do5(第五步))x1＝eq\f(1,9)＋eq\f(\r(10),6)，x2＝eq\f(1,9)－eq\f(\r(10),6).上述步骤中，发生第一次错误是在()A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步2．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为()A．(x－3)2＝eq\f(1,3)B．3(x－1)2＝eq\f(1,3)C．(x－1)2＝eq\f(2,3)D．(3x－1)2＝13．方程2x2＋3＝7x，经配方后得(x－eq\f(7,4))2＝________．4．将2x2－12x－12＝0变形为(x－m)2＝n的形式，则m＋n＝________．5．当x＝________时，代数式3x2＋2x＋5的值是6.6．用配方法解下列方程：(1)3x2＋4x－4＝0；(2)2x2＋1＝4x.7．如果一个一元二次方程的二次项是2x2，经过配方整理得(x＋eq\f(1,2))2＝1，那么它的一次项和常数项分别是()A．x，－eq\f(3,4)B．2x，－eq\f(1,2)C．2x，－eq\f(3,2)D．x，－eq\f(3,2)8．已知等腰三角形两边a，b满足a2＋b2－4a－10b＋29＝0，则此等腰三角形的周长为()A．9B．10C．12D9．把方程3x2＋4x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝________，k＝________．10．已知a，b，c是△ABC的三条边长，且满足a2＋2b2－2ab－2bc＋c2＝0，则该三角形是________三角形．11．证明：关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，不论a为何值，该方程都是一元二次方程．12．已知代数式A＝2m2＋3m＋7，代数式B＝m2＋5m＋5，13．已知x＝4满足方程x2－eq\f(3,2)mx＝m2，试求出所有满足该方程的x和m的值．14．如图2－2－2所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，(1)经过几秒钟，△PBQ的面积为8cm(2)经过几秒钟，P，Q两点间的距离为eq\r(53)cm?图2－2－215．请你参考黑板中老师的讲解，完成下列解答：图2－2－3(1)通过上面例题的讲解可知，当x＝________时，代数式x2＋2x＋3有最小值，且最小值是________．(2)对于代数式x4－2x2＋5，先用配方法说明不论x为何实数，这个代数式的值总是正数；再求出当x为何实数时，这个代数式的值最小，最小值是多少．(3)设一个边长为a(a＞3)的正方形的面积为S1，另一个矩形的面积为S2.若矩形的一边长比该正方形的边长小3，另一边长为4，试比较S1和S2的大小，并说明理由．详解1．C2．C3.eq\f(25,16)4.185．－1或eq\f(1,3)6．解：(1)方程的