【教案】正弦函数、余弦函数的性质教学设计（第2课时）必修第一册

课题：5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）一、教学内容：正弦函数、余弦函数的性质二、教学目标：（一）、了解周期函数、周期、最小正周期的含义达成上述目标的标志是：首先从观察正弦曲线入手，发现图象每隔２π个单位长度就会重复出现；再引导学生借助单位圆，从定义来说明，或从公式一入手进行分析，从函数解析式发现它的性质.在多角度的观察、描述与思考中，提升学生的直观想象和逻辑推理的素养.（二）、掌握y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．达成上述目标的标志是：通过对正弦函数的图象的观察分析，对于表格认真填写后，可以领悟知识，注重数形结合思想的渗透，培养直观想象和归纳概括能力.（三）、会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．达成上述目标的标志是：通过例1的分析，归纳方法.三、教学重点及难点（一）重点：y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．（二）难点：应用正、余弦函数的性质来求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．四、教学过程设计问题1：类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？师生活动:学生根据以往的函数性质会答我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征.从前面图像的研究中，我们已经看到，三角函数具有“周而复始”的变化规律，这就是三角函数最重要的性质：周期性.问题2：观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？师生活动:首先，学生可以根据图象说岀正弦函数的周期２π，４π，６π….教师适当启发，引导学生进一步说出－２π，－４π，－６π…，直至2k

π，k∈Z，即正弦函数的周期有无穷多个追问1：sin-2π3+π3=sin-2π3，sinπ3+π3=sinπ3，sin4π3+π3追问2：在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数？师生活动:教师启发学生观察正弦函数图象获得的正数：2

π.即为正弦函数的最小正周期.设计意图：直观理解正弦函数的周期性，了解最小正周期.问题3：请你阅读课本，回答下列问题：什么叫周期函数？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么？图象特征是什么？师生活动:周期性的知识梳理一般地，对于函数fx,如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fx+T=fx那么函数fx就叫做周期函数（periodicfunction周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上∀k∈Z，且k

如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期（一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是fx+T图象特征是周而复始变化．追问1：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？师生活动：明确周期函数的定义，并让学生回答正弦、余弦函数是否为周期函数，如果是，分别指出它们的周期和最小正周期.对于追问,学生先独立完成，之后进行展示交流，在此基础上教师进行梳理总结.结论：根据上述定义，我们知正弦函数是周期函数，2k

π（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数，2k

π（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．设计意图：了解一般周期函数及相关概念，为下面的研究作铺垫.追问2：例1你能求出下列三角函数的周期吗？（1）y＝3sinx，x∈R；（2）y＝cos2x，x∈R；（3）y=2sin12x-师生活动：依据定义解析(1)因为3sin(x+2π)=3sinx，所以由周期函数的定义知，y=3sinx的最小正周期为2π.(2)因为cos2(x+π)=cos(2x+2π)=cos2x，所以由周期函数的定义知，y=cos2x的最小正周期为π.(3)因为，所以由周期函数的定义知，的最小正周期为4π.设计意图：周期函数概念的认识.追问3：观察上面的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？师生活动：深刻理解题中所给的函数及有关量，分析知识间的联系性.总结规律：求函数最小正周期的常用方法：(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq\f(2π,|ω|).(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．设计意图：会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．问题4：对于一般的函数，我们通常要研究哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格.正弦函数余弦函数定义域值域图象周期奇偶性对称轴对称中心单调递增区间单调递减区间最大值点最小值点师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想象、数形结合，完成上述表格；之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流.注意，在此环节，只是利用图象得出结论，下一环节才从代数的角度分析.在完成表格时，因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性，学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑.对此，在学生展示交流过程中，教师可以通过如下追问促进学生的思考，帮助他们理解，并借助信息技术，引导学生进行直观想象.追问1：如何理解点(π，0)也是正弦函数y＝sinx(x∈R)的对称中心？如何理解直线x＝π2是正弦函数y＝sinx(x∈R)追问2：逐一列举正弦函数y＝sinx(x∈R)的单调递增区间，它们与区间［-π2，π师生活动：结合函数的图像，逐项完成，发现规律，总结知识点.设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序；培养学生运用类比、对比的方法研究对象的意识和能力.问题5： 阅读课本5.4.2节“2.奇偶性”“3.单调性”“4.最大值与最小值”的内容，回答下列问题：1.如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？2.分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题.设计意图：引导学生重视教科书的阅读，在直观感知的基础上系统、规范地认识函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性.追问：例题分析例2.判断下列函数的奇偶性:f(x)=QUOTE2sin2x；f(x)=sin(QUOTE3x4+QUOTE3π2)；f(x)=sin|x|；f(x)=QUOTE1-cosx+.QUOTEcosx-1例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．（1）y=cosx+1，x（2）y=-3sin2x，x∈R例4.不通过求值，指出下列各式的大小：(1)sin(-π18(2)cos(-23π5)，例5.求函数y=sin(12x+π3)，x师生活动：学生结合知识点进行分析和解决问题.设计意图：强化巩固知识点.五、课堂小结：1.正、余弦函数性质的研究方法：借助图象特征；2.正、余弦函数性质：周期性是最特别和最重要的，只要认识一个周期上函数的性质，那么整个定义域上函数的性质就完全清楚了，借助表格完成知识点探究.六、目标检测设计课前阅读课本201-205页，填写。1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是_______________.2.值域(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是_______________.(2)最值正弦函数y＝sinx(x∈R)①当且仅当_______________时,取得最大值1②当且仅当_______________时,取得最小值-1余弦函数y＝cosx(x∈R)①当且仅当_______________时,取得最大值1②当且仅当_______________时,取得最小值-13.周期定义：对于函数fx，如果存在一个_______________，使得x当取定义域内的每一个值时，都有_______________，那么函数就叫做周期函数，非零常数_______________叫做这个函数的周期对于一个周期函数fx，如果在它所有的周期中存在一个_______________，那么这个_______________就叫做fx根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k

π（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是24.奇偶性y＝sinx(x∈R)为_______________，其图象_______________对称y＝cosx(x∈R)为_______________，其图象_______________对称5.对称性正弦函数y＝sinx(x∈R)的对称中心是_______________，对称轴是直线_______________；余弦函数y＝cosx(x∈R)的对称中心是_______________，对称轴是直线_______________.(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴(中轴线)的交点).6.单调性正弦函数在每一个闭区间_______________上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间_______________上都是减函数，其值从1减小到-1.余弦函数在每一个闭区间_______________上都是增函数，其值从-1增加到1；余弦函数在每一个闭区间_______________上都是减函数，其值从1减小到-1.设计意图：导学课堂检测1．若函数（）是上的偶函数，则的值是（）A.0