【教案】正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用教学设计必修第一册

必修15.4.3正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用第9页共9页5.4.3正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用（一）教学内容正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用。（二）教学目标会用正弦函数、余弦函数的图象与性质解决一些简单的问题。（三）教学重点难点教学重点：正弦函数、余弦函数的图像与性质的应用。教学难点：探索求函数周期、单调区间的思路及所对结论的理解。（四）教学过程【环节一】知识点复习回顾导入：前面我们学习了正弦函数、余弦函数的图象和性质，这节课我们一起探讨它们的一些简单应用，请同学们思考下面问题。问题1：回顾正弦函数、余弦函数的性质和图象，完成下面表格：正弦函数余弦函数定义域值域图象周期奇偶性对称轴对称中心单调递增区间单调递减区间最大值点最小值点师生活动：学生完成后，互相批改，修改完善。正弦函数y＝sinx余弦函数y=cosx定义域RR值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期最小正周期单调区间k∈Z增区间减区间增区间减区间最值点k∈Z最大值点最小值点最大值点最小值点对称中心k∈Z对称轴k∈Z追问：（1）如何理解点也正弦函数的对称中心？（2）如何理解直线是正弦函数的对称轴？你能类比函数奇偶性的研究作出回答吗？师生活动：学生基于上节课课后作业，放在函数奇偶性的研究作答。代数论证作为选做内容。（1）直观感知：函数图象在点的特征与在点处的特征一样，呈现出关于点中心对称。代数论证：对于，，，得证。（2）直观感知：函数图象相对于直线的特征与相对于y轴的特征一样，呈现出关于直线的轴对称。代数论证：对于，，，得证。设计意图：复习公共正弦函数、余弦函数的图象和性质，为本机课的应用奠定基础。【环节二】例题分析与巩固例2求下列函数的周期：（1），；（2），；（3），.追问1：请说出周期性定义，并思考要想获得周期，得到怎样的关系式就可得出周期？对例2中函数表达式进行怎样变形？师生活动：由学生说出周期性定义：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对于每一个，都有，且，那么函数就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。周期函数的周期不止一个。我们更关系最小正周期。要得到周期，需要得到形式才能确定周期。我们目前知道正弦函数、余弦函数的周期均为，要想求出例2中函数的周期，需要从此出发，对比研究获得的形式。对于（1）显然有，即的形式成立；对于（2）要想利用，需先换元，可设，这样，也获得了的形式；对于（3），根据（1）（2）的处理经验，，，也获得了的形式；解法如下：（1），有，由周期函数的定义可知，原函数的周期为；（2）令，由，得，且的周期为，即，于是，所以，.由周期函数的定义可知，原函数的周期为.（3）令，由得，且的周期为，即，于是，所以.由周期函数的定义可知，原函数的周期为.追问2：对于上面3个问题，（3）的形式实际是（1）（2）形式的组合，据此你能抽象出这类函数的一般形式吗？师生活动：共同归纳其形式为：或。追问3：你能根据上面3个问题的解答，归纳出求解形如或的周期的步骤和一般方法吗？师生活动：学生梳理之后，交流展示。教师点拨、完善。周期问题求解的步骤如下：第1步：先用换元法转换。（可参考问题（2）进行说明）；第2步：利用已知的正弦函数余弦函数的周期找关系；第3步：根据定义变形变形为的形式；第4步，确定结论。周期与自变量的系数有关。根据（1）（2）（3）的函数形式和答案，可归纳为：。理由如下：形如或的函数（其中，，为常数，且，），设，由，得，根据正弦函数余弦函数周期为，有，可知与的周期都为，进一步推理如下：因为，则有，得到，即当自变量增加，函数值就重复出现；且增加量小于时，函数值不会重复出现。即是使等式成立的最小正数，从而，的周期为。同理，的周期为。根据这个结论，我们可以直接写出，和，的周期为。推广：如果函数的周期为T，则函数（）的周期为。设计意图：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具体步骤，进而帮助学生理解的周期的求解步骤，提升学生的数学运算素养。例3下列函数有最大值､最小值吗？如果有，请写出取最大值､最小值时自变量x的集合，并求出最大值､最小值.（1），；（2），；追问1：能转化为熟悉的形式求解吗？师生活动：先让学生思考，尝试解决，教师再点评指正。因为，，因此对于（1），，这样借助正弦函数的有界性，确定了函数的值域，同时也可得到最值；对于（2），为了能借助正弦函数的有界性，可设，，因，则，求的最值问题转化为求最值问题，由，利用不等式性质，有，这样通过换元就可解决最值问题。解法参考：容易知道，这两个函数都有最大值､最小值。（1）使函数，取得最大值的x的集合，就是使函数，取得最大值的x的集合；使函数，取得最小值的x的集合，就是使函数，取得最小值的x的集合，函数，的最大值是；最小值是.（2）令，因，则，使函数取得最大值的z的集合，就是使，取得最小值的之的集合，由，得，所以，使函数，取得最大值的x的集合是；同理，使函数，取得最小值的x的集合是，函数，的最大值是3，最小值是-3.追问2：你能归纳出形如，和，的函数求最值的一般思路和方法吗？师生活动：引导学生归纳得出先通过变量代换，转化为形如，和，，再利用正余弦函数的有界性，求最值或值域问题。设计意图：理解正余弦函数的有界性，利用转化的思想求解形如，和，的最值。例4不通过求值，比较下列各组数的大小：（1）与；（2）与.师生活动：学生先独立思考，解决问题，完成后教师点评。如果学生有困难，可以这样引导思考：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小。为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.解法参考：（1）因为，正弦函数在区间上单调递增，所以.（2），，因为，且函数在区间上单调递减，所以，即追问：你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试，并把你的想法和同学交流。师生活动：学生独立画图，教师利用几何画板展示图象，由学生解答。设计意图：尝试利用正弦函数、余弦函数的单调性解决比大小问题，通过类比之前的利用函数单调性比大小方法，完成本例题解答，并积累三角函数值比大小经验。例5求函数，单调递增区间。追问：你能转化为利用正弦函数的单调性求解吗？可以类比前面的哪个例题获得思路？师生活动：学生可以想到利用例，例3的想法进行转化。令，，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增.解法参考：令，，则，因为，的单调递增区间是，且由，得，所以，函数，的单调递增区间是.变式：求函数，的递增区间．追问：变式与例5有什么不同？这种不同对求函数单调区间有什么影响？你能想到什么方法破解？师生活动：学生会有困难，仿照例5进行解答，教师对有困难学生指导，其他同学自己完成。学生可能会有不同思路，让不同思路学生展示。最后教师归纳，引导学生注意可能出错的地方。解法参考：令，，则，因为，的单调递减区间是或，且由或，得或，所以，函数，的单调递增区间是，.设计意图：类比例2，例3求解，进一步熟练换元转化思想方法。问题2：通过学习正弦函数、余弦函数的图象与性质，你获得了哪些解题思想方法和解题经验？解题过程中有哪些需要注意的问题？师生活动：解题过程中用到的主要思想方法有定义法、换元法、类比转化、数形结合等。求解周期和单调区间时，主要系数的作用，特别是求单调区间是，自变量系数为负时的情况。（五）目标检测设计1课前预习1.1求下列函数的周期：（1）；（2）；参考解法：（1）令，而，即．．∴T=2π．（2）令，则，，∴T=4π1.2求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值与最小值。（1），；（2），参考解法：（1）当即时,函数取得最大值2;当时,函数取得最小值-2；（2）当即即时,函数取得最大值3；当，即即当时，函数取得最小值1.设计意图：检验预习效果，了解本节课的内容。2课堂检测不通过求值