高中数学苏教版第三章不等式不等关系 校赛得奖

不等关系

江苏省苏州实验中学

教材分析：

不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型，是解决许多实际问题的重要工具.将在学生已有认知的基础上，进一步对不等式进行研究，学会用不等式解决有关问题，从中感受数学的价值.本节课作为起始课，应努力通过具体情境，让学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景，并能通过对实际背景的分析、概况与抽象，建立不等式模型，为后续运用数学的方法研究不等式模型提供基础.

学情分析：

在本章学习之前，学生已有了不等式的一些初步认识，能比较两数的大小，已具备研究不等式的一些基础技能与方法，如解一元一次不等式（组），本节的学习就是在此学情基础上，进一步让学生系统感受不等关系的存在，能准确地根据实际背景建立不等式模型.

教学目标：

1.通过具体情景，感受日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；

2.根据实际背景学会列出不等关系及使用不等关系解决具体问题；

3.通过自主发现、小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力.

教学重点与难点：

重点：通过具体情景，建立不等式模型；

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系.

学法与教学用具：

学法：合作探究

教学用具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一.情境设置

“我们欣赏数学，我们需要数学.”——陈省身

(展示第一幅图片:

苏州“东方之门”)(直观不等)

师：看到这幅图有什么直观感受呢？

生：感受到“会当凌绝顶，一览众楼小”，看到了楼房的高低不等.

(展示第二幅图片：身高体重真的一样吗？)（思考不等）

师：这两个武警身高、体重真的完全一样吗？

生：要是精确到毫米级，甚至纳米级，那么两个人的身高是不一样的.

师：很好！说明在现实生活中“相等是相对的，不等是绝对的！”不等现象普遍存在于我们生活之中.

(展示第三幅图片：中国古代运用“不等”现象与杠杆原理制作的器械.)(运用不等）

师：我们的祖先就已经智慧地将不等关系和杠杆原理运用到生活中去了，制作了方便于生活的器械（如捣谷用的“娄”和提水用的“桔槔”）.

上面三幅图，我们一起经历了“直观不等现象——思考不等关系——运用不等关系”，这就是我们学习“不等关系”的原因.

【评注】情境设置中蕴含着研究问题的视角，即从实际情境中抽象出数学模型，通过思考和研究模型后，进而应用模型的过程.另外，本环节的数学文化渗透也能彰显数学的哲学思考与应用价值，从生活现象入手，让学生认识到学习“不等关系”的理性需求和生活价值.

二．数学活动

活动1：类比迁移，形成程式

师：我们已经学习过很多相等关系，能根据相应的等量关系列出方程（组），同样的道理，我们也能够根据某些不等关系列出不等式（组）.

问题1：现实中“不等关系”如何数学化？

●完成下列填空，并归纳出将不等关系数学化的基本步骤.

(1)我国《道路交通安全法》第91条明文规定：血液酒精c含量超过20mg/ml但不足80mg/ml的为酒驾，达到或超过80mg/ml的为醉驾.

“不等”意义词语：

数学表达式：

(2)某品牌乳饮料的质量检查规定，乳饮料中脂肪的含量m应不少于%，蛋白质的含量n应不少于%.

“不等”意义词语：

数学表达式：

(3)设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则不大于AB.

“不等”意义词语：

数学表达式：

●总结思维过程，形成思维程式

【评注】首先，从“相等关系”建构方程（组）的经验出发，类比到通过“不等关系”建构不等式（组），自然地让学生在两类“同构”知识中进行同化的心理活动，实际上，“相等”中相关性质、研究方法是研究“不等”的先行组织者.设置了通过生活情境（自然语言）向数学表达式（符号语言）的转化过程，这是本节课的教学目标之一，通过简单的实例帮助学生形成较为清晰完整的思维程式，为后面学习中的思维活动提供准备.

为了更系统地研究不等关系，需要研究一些基本的“不等模型”.

问题2：有哪些基本的“不等模型”呢？

活动2：故事串联，探求模型

春暖花开，适宜踏青，我们开启一段“踏青之旅”：

情境1：班级打算周末组织同学去苏州上方山公园踏青，已知门票为每位50元，40人以上（含40人）时可以打8折，经统计参加人数不足40人.

现在有两种购票方式：

一是按照40人购团体票，

二是按照实际人数购票;

哪种购票方式花费更少？(只列式不求解）

教师引导分析与示范：

票价人数

50<40

50×≥40

（1）实际问题抽取信息：

（2）解决什么问题？

更“少”所指对象：团体票总价与个体票总价；

若前者更“少”，则得到数量关系：团体票总价＜个体票总价；

（3）将数量关系转化为表达式：

解：设实际参加人数为x（x<40，x∈N*）人

50××40<50x

（一元一次不等式模型）

情境2：买好票进了公园，管理员又给大家出了一个问题：

公园若以每人50元的价格出售门票，每周约有游客2万人，经过调查，如果采取促销方案，价格每降低1元，游客数则会增加1000

人，若门票降低了x（x∈N*）元，要使公园的门票收入大于120万元，x应定在什么范围内？

采取小组讨论，着重探究过程：

（1）找

量：票价

人数

50

20000

50－x

20000+1000x

（2）找关系：总收入＞120

万元

（3）列

式：（50－x）（20000＋1000x）＞1200000

（一元二次不等式模型）

情境3：游玩了半天后，来到公园餐厅，能否帮厨师解决这个问题呢？

公园的绿色餐厅营养快餐由甲、乙和丙三种食物混合而成（维生素含量如下表）。

维生素A（单位/kg）维生素B（单位/kg）总重量（kg）

甲300700x

乙500100y

丙300300z

厨师现在欲将三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000单位的维生素A以及40000单位的维生素B，设甲、乙、丙各有xkg、ykg、zkg，那么x，y应满足怎样的关系？

师生共同探究：

（1）认真阅读文本信息和表格信息，读懂问题，弄清题意.

（2）找关系：（不要忽略实际问题的隐含条件）

总重量=100

维生素A的含量≥35000

维生素B的含量≥40000

（3）列式：

（二元一次不等式组模型）

【评注】通过一个“踏青”故事串联了苏教版教材中的三个引例，贴近学生生活实际，是对教材的加工运用（有时这样的加工可使文本理解变得简单流畅）；在教学中分别采用了“教师引导与示范”、“学生小组讨论”、“师生共同探究”等教学方法加以处理，主要是根据实际问题的难易程度和学生认知基础进行选择.另外，本环节主要是建立模型，不需要对模型进行求解.

三．数学应用

例1：（苏教版P74练习5）已知bg糖水中有ag(b>a>0)，若再添加mg糖（m>0)，则糖水变甜了.试根据这个事实写出所满足的不等关系.

学生自主分析：

生活常识：“变甜”即糖的浓度变大

添加后的浓度>之前的浓度

数学表达：

问题3：有了不等模型，如何用数学的眼光来研究他们呢？

问题在本例中如何从数学的角度证实结论的准确性呢？

师生活动

点评：“作差法”是研究不等式大小关系的基本方法.

【评注】在建模后，应让学生清楚接下去的学习方向是如何数学地研究“模型”，由此让学生体会学习的历程：感受模型——建构模型——研究模型——应用模型，这是本章的学习过程，应在起始课中有所体现，让学生明白本章如何进行学习.

四．课堂训练

（1）某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm

钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.写出满足上述所有不等关系的不等式.

(2)在图中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD、BD.试利用这个图形，比较与的大小.