高中数学苏教版1第3章导数及其应用3．3导数在研究函数中的应用 第3章33

导数在研究函数中的应用3.3.1单调性1.了解函数的单调性与导数的关系.2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法，会求函数的单调区间.(重点、难点)[基础·初探]教材整理函数的单调性阅读教材P86思考以上部分，完成下列问题.1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0增函数f′(x)<0减函数2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)1.判断正误：(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增.()(2)f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)一定大于零.()(3)若f(x)＝eq\f(1,x)(x≠0)，则f′(x)＝－eq\f(1,x2)＜0，所以f(x)是单调减函数.()【解析】(1)×.反例：f(x)＝－eq\f(1,x)，f′(x)＝eq\f(1,x2)＞0，但f(x)在其定义域上不是增函数.(2)×.反例：f(x)＝x3在(－1,1)上是增函数，但f′(0)＝0.(3)×.f(x)＝eq\f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在其定义域上不是减函数.【答案】(1)×(2)×(3)×2.函数y＝x2(x－1)的单调增区间为________.【解析】y′＝2x(x－1)＋x2＝3x2－2x，令y′≥0，得3x2－2x≥0，x(3x－2)≥0，∴x≥eq\f(2,3)或x≤0，∴函数增区间为(－∞，0]和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).【答案】(－∞，0]和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]函数与其导函数图象之间的关系(1)如图3­3­1，设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是________(填序号).图3­3­1(2)已知函数y＝xf′(x)的图象如图3­3­2(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是________(填序号).图3­3­2【精彩点拨】(1)通过对各个选项中图象的变化判断是否符合题目的条件.(2)根据y＝xf′(x)函数图象中所反映的f′(x)的符号，确定y＝f(x)的单调区间，确定y＝f(x)的图象.【自主解答】(1)①，②，③均有可能；对于④，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合.(2)由题图知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，∴当x＜－1时，函数y＝f(x)单调递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，∴当－1＜x＜0时，函数y＝f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，∴当0＜x＜1时，函数y＝f(x)单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，∴当x＞1时，y＝f(x)单调递增.综上可知，③是y＝f(x)的大致图象.【答案】(1)④(2)③1.利用原函数图象可以判断导函数的正负，原函数的单调增区间即为f′(x)≥0的区间，原函数的减区间就是导函数f′(x)≤0的区间.2.利用导函数的图象可以判断原函数的单调区间，导函数在x轴上方的区间就是原函数的增区间，导函数在x轴下方的区间就是原函数的减区间.[再练一题]′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图3­3­3所示，则f(x)的图象可能是________(填序号).【导学号：24830079】图3­3­3【解析】由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，即函数f(x)在此区间为增函数；当0＜x＜x1时，f′(x)＜0，即函数f(x)在此区间为减函数；当x＞x1时，f′(x)＞0，即函数f(x)在此区间为增函数.观察选项易知③正确.【答案】③求函数的单调区间求下列各函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3－3x2；(2)f(x)＝eq\f(lnx,x).【精彩点拨】求定义域→求导数f′(x)→解f′(x)＞0的增区间→解f′(x)＜0的减区间【自主解答】(1)函数f(x)定义域为R，且f′(x)＝6x2－6x.令f′(x)＞0，即6x2－6x＞0，解得x＞1或x＜0；令f′(x)＜0，即6x2－6x＜0，解得0＜x＜1.所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)；单调递减区间是(0,1).(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).令f′(x)＞0，即eq\f(1－lnx,x2)＞0，得0＜x＜e；令f′(x)＜0，即eq\f(1－lnx,x2)＜0，得x＞e，所以f(x)的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e，＋∞).1.利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，不等式的解集就是函数的单调区间.2.利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式f′(x)＞0[或f′(x)＜0]时，要在定义域前提下求解.如果函数的单调区间不止一个时，要用“和”“及”等连结，而不能写成两个区间并集形式.[再练一题]2.求下列各函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－3x；(2)f(x)＝3x2－2lnx.【导学号：24830080】【解】(1)函数f(x)的定义域为R，且f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1).当f′(x)＞0时，x<－1或x＞1，此时函数f(x)递增；当f′(x)<0时，－1<x<1，此时函数f(x)递减.∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间是(－1,1).(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－eq\f(2,x)＝eq\f(23x2－1,x).令f′(x)＞0，即eq\f(23x2－1,x)＞0，∵x＞0，∴x＞eq\f(\r(3),3).∴函数f(x)的递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)).令f′(x)＜0，即eq\f(23x2－1,x)＜0，∵x＞0，∴0＜x＜eq\f(\r(3),3).∴函数f(x)的递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))).∴函数f(x)的递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))).根据函数的单调性求字母参数的取值范围若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.【精彩点拨】【自主解答】f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.由于导函数的二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.方法一：由上述讨论可知要是f′(x)≥0恒成立.只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥eq\f(1,3).经检验，当m＝eq\f(1,3)时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意.所以实数m的取值范围是m≥eq\f(1,3).方法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立.设g(x)＝－3x2－2x＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\f(1,3)，易知函数g(x)在R上的最大值为eq\f(1,3)，所以m≥eq\f(1,3).经检验，当m＝eq\f(1,3)时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意.所以实数m的取值范围是m≥eq\f(1,3).1.可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子集内都不恒等于0.2.已知f(x)在区间D上单调，求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法.通常将f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参数的取值范围.特别地，若f′(x)为二次函数，可以由相应方程的根的判别式求出参数的取值范围.[再练一题]3.若函数h(x)＝2x－eq\f(k,x)＋eq\f(k,3)在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________.【解析】根据条件，得h′(x)＝2＋eq\f(k,x2)＝eq\f(2x2＋k,x2)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞).【答案】[－2，＋∞)[探究共研型]求含参数函数的单调区间探究1函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax的导数f′(x)是什么？f′(x)＝0是否一定有实数根？【提示】f′(x)＝x2－2x＋a，f′(x)＝0即x2－2x＋a＝0不一定有实数根，当Δ＝4－4a＞0，即a＜1时，f′(x)＝0有不等实数根；当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，f′(x)＝0有两个相等的实数根；当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，f′(x)＝0没有实数根.探究2根据探究1的讨论，求函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax的单调区间.【提示】由探究1知，当Δ＝4－4a≤0，即a≥1时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax在定义域(－∞，＋∞)上单调递增，没有单调递减区间；当Δ＝4－4a＞0，即a＜1时，令f′(x)＞0，解得x＞1＋eq\r(1－a)或x＜1－eq\r(1－a)，令f′(x)＜0，解得1－eq\r(1－a)＜x＜1＋eq\r(1－a)，所以函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax的单调递增区间是(－∞，1－eq\r(1－a))，(1＋eq\r(1－a)，＋∞)，单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\r(1－a)，1＋\r(1－a))).探究3设f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)(a＋1)x2＋ax，f′(x)＝0一定有实数根吗？若有，它们的大小确定吗？试求函数f(x)的单调递减区间.【提示】f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)，所以f′(x)＝0有实数根a和1，但它们的大小不确定，所以求f(x)的单调区间要据此分类讨论：当a＞1时，由f′(x)＜0解得1＜x＜a，所以函数f(x)的单调递减区间是(1，a)；当a＝1时，因为f′(x)＝(x－1)2≥0，所以函数f(x)不存在单调递减区间；当a＜1时，由f′(x)＜0解得a＜x＜1，所以函数f(x)的单调递减区间是(a,1).探究4设函数f(x)＝eq\f(1,3)ax3－eq\f(3,2)ax2＋2ax＋1(a≠0)，则f′(x)＝ax2－3ax＋2a＝a(x－1)(x－2)，不等式f′(x)＜0的解一定是1＜x＜2吗？试求函数f(x)的单调递减区间.【提示】不一定是，只有a＞0时，不等式f′(x)＜0的解才是1＜x＜2，当a＜0时，不等式f′(x)＜0的解是x＜1或x＞2，所以当a＞0时，函数f(x)的单调递减区间为(1,2)，当a＜0时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，(2，＋∞).探究5通过以上讨论，在求含参数函数的单调区间时，一般要对参数进行讨论，那么要从哪几个方面考虑这类问题呢？【提示】首先要确定f′(x)＝0是否有根，若不确定，要分类讨论；在f′(x)＝0有根的情况下，如果根的大小不确定，则要按照其大小为分类标准进行讨论；如果f′(x)＝0的最高次幂的系数的正负不确定，那么还要按照其正负进行讨论.已知a∈R，求函数f(x)＝x2eax的单调区间.【精彩点拨】求导数f′(x)后对实数a的符号进行讨论，并解不等式可得函数f(x)的单调区间.【自主解答】函数的定义域为′(x)＝2xeax＋ax2eax＝(2x＋ax2)eax.①当a＝0时，若x＜0，则f′(x)＜0，若x＞0，则f′(x)＞0，∴当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数；②当a＞0时，由2x＋ax2＞0，解得x＜－eq\f(2,a)或x＞0，由2x＋ax2＜0，解得－eq\f(2,a)＜x＜0，∴当a＞0时，函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,a)))和(0，＋∞)内为增函数，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)，0))内为减函数.③当a＜0时，由2x＋ax2＞0，解得0＜x＜－eq\f(2,a)，由2x＋ax2＜0，解得x＜0或x＞－eq\f(2,a)，∴当a＜0时，函数f(x)在区间(－∞，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))内为减函数，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,a)))内为增函数.1.本题主要考查求函数单调性的一般方法以及函数求导公式和法则的综合应用.2.当解题过程中含有参数时，一般要对参数进行分类讨论，此时需注意应准确确定分类标准和分类讨论的准确性.[再练一题]4.求函数f(x)＝ex－ax(a∈R)的单调区间.【解】函数定义城为R，且f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无减区间；当a＞0时，由f′(x)＝ex－a＞0，得x＞lna，由f′(x)＜0，得x＜lna，所以f(x)在(lna，＋∞)上单调递增，在(－∞，lna)上单调递减.综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无减区间；当a＞0时f(x)的单调递增区间是(lna，＋∞)，单调递减区间是(－∞，lna).[构建·体系]1.函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调递减区间是________.【解析】f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，得1＜x＜2，∴函数f(x)的单调递减区间是(1,2).【答案】(1,2)2.函数y＝eq\f(1,2)x2－lnx的单调递减区间为________.【导学号：24830081】【解析】函数定义域为(0，＋∞)，y′＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x)当x∈(0，＋∞)时，令y′＜0，得0＜x＜1，仅f′(1)＝0.【答案】(0,1]3.若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是________(填序号).【解析】∵y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的.【答案】①4.函数y＝ax3－x在R上是减函数，则实数a的取值范围是________.【解析】因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在R上是减函数，所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，即3ax2≤1恒成立.当x＝0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；当x≠0时