高中数学北师大版1第三章变化率与导数 第3章2

第三章§2、一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知函数y＝f(x)在x＝a处可导，则eq\o(lim,\s\do5(h→a))eq\f(fh－fa,h－a)等于()A．f(a) B．f′(a)C．f(h) D．f′(h)解析：令Δx＝h－a，则h＝a＋Δx故：eq\o(lim,\s\do5(h→a))eq\f(fh－fa,h－a)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→a))eq\f(fa＋Δx－fa,Δx)＝f′(a)．答案：B2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3s末的瞬时速度是()A．7m/s B．C．5m/s D．解析：∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s3＋Δt－s3,Δt)＝eq\f(1－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32,Δt)＝eq\f(Δt2＋5Δt,Δt)＝Δt＋5∴s′(3)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))(Δt＋5)＝5.答案：C3．下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为eq\f(π,4)的是()A．(0,0) B．(2,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,16))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))解析：k＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.∵倾斜角为eq\f(π,4)，∴k＝1.∴2x＝1，x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,4)，故选D.答案：D4．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则b的值为()A．3 B．－3C．5 D．－5解析：由题意切点A(1,3)在直线y＝kx＋1上．∴3＝k＋1，得斜率k＝2，又∵y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋ax＋Δx＋b－x3－ax－b,Δx)＝3x3＋a＝k＝2即3x2＋a＝2∴把x＝1代入上述方程得a＝－1，再把切点A(1,3)坐标和a＝－1代入曲线方程得b＝3.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数y＝2x2＋4x＋1，则y′|x＝－1＝______，y′|x＝3＝______.解析：当x＝－1时，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2－1＋Δx2＋4－1＋Δx＋1－[2×－12＋4－1＋1],Δx)＝2Δx当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→0，当x＝3时，eq\f(Δy,Δx)＝16＋2Δx，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→16.答案：0166．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．解析：y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(31＋Δx2－41＋Δx＋2－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(2＋3Δx)＝2.所以直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0答案：2x－y＋4＝0三、解答题(每小题10分，共20分)7．利用导数的定义求函数y＝eq\f(1,\r(x))在x＝1处的导数．解析：Δy＝eq\f(1,\r(1＋Δx))－eq\f(1,\r(1))＝eq\f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx))＝eq\f(－Δx,\r(1＋Δx)·1＋\r(1＋Δx))，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx)).当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于－eq\f(1,2).∴f′(1)＝－eq\f(1,2).8．求经过点(2,0)且与曲线y＝eq\f(1,x)相切的直线方程．解析：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)．由y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx)－\f(1,x0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(－Δx,Δx·x0＋Δx·x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(－1,x0x0＋Δx)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0)).故所求直线方程为y－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．由点(2,0)在所求的直线上，得xeq\o\al(2,0)y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线y＝eq\f(1,x)上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所以直线方程为x＋y－2＝0.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x＋Δx2＋1－x2＋1,Δx)＝2x＋Δx则y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x，设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝f′(x0)＝2x0，由点斜式可得，所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)又因为切线过(1，a)，则y0＝xeq\o\al(2,0)＋1，所以a－(xeq