高中数学北师大版第一章数列单元测试学业分层测评4

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2023·广州高二检测)在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于()A．40 B．42C．43 D．45【解析】法一：a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝13，又∵a1＝2，∴d＝3，a4＋a5＋a6＝a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42.法二：a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，d＝3，a5＝a1＋4d＝14.∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3×14＝42.【答案】B2．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则()A．a＝2，b＝5 B．a＝－2，b＝5C．a＝2，b＝－5 D．a＝－2，b＝－5【解析】由等差中项知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝b－1，,2b＝8＋a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝5.))【答案】A3．(2023·阜阳高二检测)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为()A．12 B．8C．6 D．4【解析】由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.【答案】B4．(2023·吉安高二检测)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－eq\f(1,2)a8的值为()A．4 B．6C．8 D．10【解析】由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－eq\f(1,2)a8＝eq\f(1,2)(2a7－a8)＝eq\f(1,2)(a6＋a8－a8)＝eq\f(1,2)a6＝8.【答案】C5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是()A．1 B．2C．4 D．6【解析】由题意知，a1＋a2＋a3＝3a2＝12，∴a2＝4，又a1·a2·a3＝48，∴a1·a3＝12，即a1·(a1＋2d)＝12.又a1＝4－d，∴(4－d)(4＋d)＝12，∴d＝±2，又{an}为递增数列，∴d＞0，∴d＝2.∴a1＝4－d＝2.【答案】B二、填空题6．(2023·陕西高考)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为__________．【解析】设数列首项为a1，则eq\f(a1＋2015,2)＝1010，故a1＝5.【答案】57．(2023·西安高二检测)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.【解析】∵a60＝a15＋45d，∴d＝eq\f(4,15)，∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.【答案】248．一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列且数列是递增的，面积为12，则它的周长是________．【解析】易知c为斜边，公差为d(d＞0)，则a＝b－d，c＝b＋d，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)bb－d＝12，,b＋d2＝b2＋b－d2，))解得b＝4eq\r(2)，d＝eq\r(2)，从而a＝3eq\r(2)，c＝5eq\r(2)，a＋b＋c＝12eq\r(2).【答案】12eq\r(2)三、解答题9．(1)已知{an}是等差数列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值；(2)已知在等差数列{an}中，若a49＝80，a59＝100，求a79.【解】(1)∵{an}是等差数列，∴a1＋a15＝a4＋a12＝a3＋a13＝2a8.又∵a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，∴a8＝2，即a3＋a13＝2a8＝2×2＝4.(2)∵{an}是等差数列，可设公差为d.由a59＝a49＋10d，知10d＝100－80，解得d＝2.又∵a79＝a59＋20d，∴a79＝100＋20×2＝140.10．已知a，b，c成等差数列，证明：a2(b＋c)，b2(a＋c)，c2(a＋b)成等差数列．【证明】∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)能构成等差数列．[能力提升]1．已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a10＝4，则a8的取值范围是()A．(2,4) B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(4，＋∞)【解析】设公差为d，则由a1＋a10＝4得2a1＋9d＝4，所以a1＝2－eq\f(9,2)d，所以a8＝a1＋7d＝2＋eq\f(5,2)d，因为d＞0，所以a8＝2＋eq\f(5,2)d＞2.【答案】C2．(2023·南昌高二检测)设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于()【导学号：67940010】A．－182 B．－78C．－148 D．－82【解析】a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.【答案】D3．已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))是等差数列，则a13＝________.【解析】由题意可得eq\f(1,a3－1)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,a7－1)＝eq\f(1,2)，设等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))的公差为d，则有eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)＋4d，解得d＝eq\f(1,12)，故eq\f(1,a13－1)＝eq\f(1,a7－1)＋6d＝eq\f(1,2)＋6×eq\f(1,12)＝1，所以a13－1＝1，即a13＝2.【答案】24．已知f(x)＝x2－2x－3，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－eq\f(3,2)，a3＝f(x)，求：(1)x的值；(2)通项an.【解】(1)由f(x)＝x2－2x－3，得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，a3＝x2－2x－3，又因为{an}为等差数列，所以2a2＝a1＋a3.即－3＝x2－