高中数学人教B版第一章立体几何初步 第1章2

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则它的表面积为()A．3eq\r(3)a2＋6ah \r(3)a2＋6hC．4eq\r(3)a2＋6ah \f(3,2)eq\r(3)a2＋6ah【解析】柱体的表面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其表面积为S侧＋2S底＝3eq\r(3)a2【答案】A2．长方体的体对角线长为5eq\r(2)，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是()A．20eq\r(2)π B．25eq\r(2)πC．50π D．200π【解析】∵对角线长为5eq\r(2)，∴2R＝5eq\r(2)，S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))2＝50π.【答案】C3．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为()A．1∶2 B．1∶1C．1∶4 D．1∶3【解析】以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以2所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1，选B.【答案】B4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是()A．54π B．8πC．4π D．16π【解析】S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.【答案】A5．(2023·安徽高考)一个四面体的三视图如图1­1­98所示，则该四面体的表面积是()图1­1­98A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)【解析】根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积＝2×eq\f(1,2)×2×1＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3).故选B.【答案】B二、填空题6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6cm,4cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.【解析】棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．【答案】727．(2023·潍坊高一检测)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的________倍．【解析】设轴截面正三角形的边长为2a，∴S底＝πa2，S侧＝πa×2a＝2πa2∴S侧＝2S底．【答案】2倍8．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为________．【解析】底面边长为a，则斜高为eq\f(a,2)，故S侧＝3×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)a＝eq\f(3,4)a2.而S底＝eq\f(\r(3),4)a2，故S表＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.【答案】eq\f(3＋\r(3),4)a2三、解答题9.如图1­1­99所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？图1­1­99【解】几何体的表面积为：S＝6×22－π×2×2＋2π××2＝24－π＋2π＝24＋π.10．正四棱台两底面边长分别为3和9.(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．【解】(1)如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F由题意知∠C1CO＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝eq\f(\r(2),2)×(9－3)＝3eq\r(2).在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝3eq\r(2)，又EF＝CE·sin45°＝3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝3，∴斜高C1F＝eq\r(C1E2＋EF2)＝eq\r(3\r(2)2＋32)＝3eq\r(3).∴S侧＝eq\f(1,2)(4×3＋4×9)×3eq\r(3)＝72eq\r(3).(2)由题意知，S上底＋S下底＝32＋92＝90，∴eq\f(1,2)(4×3＋4×9)·h斜＝32＋92＝90.∴h斜＝eq\f(90×2,12＋36)＝eq\f(15,4).又EF＝eq\f(9－3,2)＝3，h＝eq\r(h\o\al(2,斜)－EF2)＝eq\f(9,4).[能力提升]1．某四棱锥的三视图如图1­1­100所示，该四棱锥的表面积是()图1­1­100A．32 B．16＋16eq\r(2)C．48 D．16＋32eq\r(2)【解析】由三视图还原几何体的直观图如图所示．S表＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×2\r(2)))×4＋4×4＝16＋16eq\r(2).【答案】B2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为eq\r(2)，体对角线长为eq\r(6)，则这个棱柱的侧面积是()A．2 B．4C．6 D．8【解析】由已知得底面边长为1，侧棱长为eq\r(6－2)＝2.∴S侧＝1×2×4＝8.【答案】D3．一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4.将其绕较长底所在直线旋转一周，求所得旋转体的表面积是________．【解析】旋转所得几何体如图．由图可知，几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积之和，∴S＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π×42＋2π×4×2＋π×4×5＝52π.【答案】52π4．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？【导学号：60870026】【解】如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20.同理可得SB