高中数学苏教版本册总复习总复习 2023版学业分层测评23

学业分层测评(二十三)向量的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.已知一物体在共点力F1＝(2，2)，F2＝(3，1)的作用下产生位移s＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，则共点力对物体所做的功为________.【解析】对于合力F＝(5，3)，其所做的功为W＝F·s＝eq\f(5,2)＋eq\f(9,2)＝7.【答案】72.若A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状为________.【解析】eq\o(AB,\s\up15(→))＝(1，1)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝(－3，3)，eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝0，即eq\o(AB,\s\up15(→))⊥eq\o(AC,\s\up15(→))，故△ABC为直角三角形.【答案】直角三角形3.点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为________(速度单位：m/s，长度单位：m).【解析】5秒后点P的坐标为(－10，10)＋5(4，－3)＝(10，－5).【答案】(10，－5)4.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2­5­5，已知物体重力大小为10N，则每根绳子的拉力大小是________.图2­5­5【解析】因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10N.【答案】10N5.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))·eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))·eq\o(OA,\s\up15(→))，则点O是△ABC的________.【解析】由eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))·eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))·eq\o(OA,\s\up15(→))，可得eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))·eq\o(OC,\s\up15(→))＝0，(eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→)))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝0，即eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝0，eq\o(CA,\s\up15(→))⊥eq\o(OB,\s\up15(→))，同理可证eq\o(OC,\s\up15(→))⊥eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(OA,\s\up15(→))⊥eq\o(BC,\s\up15(→)).所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点.【答案】垂心6.等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1，2)，C(1，1)，则B的坐标为________.【解析】设B的坐标为(x，y)，则eq\o(CB,\s\up15(→))＝(x－1，y－1)，又eq\o(AC,\s\up15(→))＝(2，－1).由题意知：|eq\o(CB,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|，且eq\o(CB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＋y－12＝5，,2x－1－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))【答案】(0，－1)或(2，3)7.如图2­5­6，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________.【导学号：48582118】图2­5­6【解析】∵eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))，∴eq\o(AC,\s\up15(→))2＝eq\o(AB,\s\up15(→))2＋eq\o(AD,\s\up15(→))2＋2eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))，①又eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))，∴eq\o(BD,\s\up15(→))2＝eq\o(AD,\s\up15(→))2＋eq\o(AB,\s\up15(→))2－2eq\o(AD,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))，②∴①＋②得eq\o(AC,\s\up15(→))2＋eq\o(BD,\s\up15(→))2＝2(eq\o(AB,\s\up15(→))2＋eq\o(AD,\s\up15(→))2).又AD＝1，AB＝2，BD＝2，∴AC＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)8.当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为________.【解析】如图，|F1|＝|F2|＝eq\f(|G|,2cos\f(θ,2)).∵|F1|＝|F2|＝|G|，∴2coseq\f(θ,2)＝1，∴θ＝120°.【答案】120°二、解答题9.如图2­5­7所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.图2­5­7【证明】∵eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))，∴eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→)))·(eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝|eq\o(AD,\s\up15(→))|2－|eq\o(AB,\s\up15(→))|2＝0.∴eq\o(AC,\s\up15(→))⊥eq\o(BD,\s\up15(→)).∴AC⊥BD.10.已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1，1)，M是圆C上的任一点，点N在线段MA的延长线上，且eq\o(MA,\s\up15(→))＝2eq\o(AN,\s\up15(→))，求点N的轨迹方程.【导学号：48582119】【解】设N(x，y)，M(x0，y0).因为eq\o(MA,\s\up15(→))＝2eq\o(AN,\s\up15(→))，所以(1－x0，1－y0)＝2(x－1，y－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x0＝2x－2，,1－y0＝2y－2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3－2x，,y0＝3－2y，))又因为点M(x0，y0)在圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4上，所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，所以(2x)2＋(2y)2＝4，即x2＋y2＝1，所以点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.[能力提升]1.在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))，且|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))|＝|eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))|，则四边形ABCD的形状是________.【解析】eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))∥eq\o(DC,\s\up15(→))，且|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(DC,\s\up15(→))|，∴四边形ABCD是平行四边形，|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|，|eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))|＝|eq\o(DB,\s\up15(→))|，∴|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝|eq\o(DB,\s\up15(→))|，∴平行四边形是矩形.【答案】矩形2.已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝eq\r(3)，则eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝________.【解析】如图，在△AOB中，|AB|＝eq\r(3)，|OA|＝|OB|＝1，∴∠AOB＝120°，∴eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝|eq\o(OA,\s\up15(→))||eq\o(OB,\s\up15(→))|cos120°＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)3.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为eq\f(1,2)，则α与β的夹角θ的取值范围是________.【解析】以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝eq\f(1,2)，所以sinθ＝eq\f(1,2|β|)，又因为|β|≤1，所以eq\f(1,2|β|)≥eq\f(1,2)，即sinθ≥eq\f(1,2)且θ∈[0，π]，所以0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5,6)π)).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5,6)π))4.在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的角平分线的方程.【导学号：48582120】【解】eq\o(AB,\s\up15(→))＝(3，4)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝(－8，6)，∠A的角平分线的一个方向向量为：＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,