高中数学人教A版第一章空间几何体单元测试 全国获奖

第一章空间几何体空间几何体的三视图与直观图三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()ABCD【思路点拨】eq\x(选项)eq\o(→,\s\up17(验证))eq\x(三视图)eq\o(→,\s\up17(对照))eq\x(选择)【解析】所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有B选项符合．【答案】B如图1－2，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A．6eq\r(3)B．9eq\r(3)C．12eq\r(3)D．18eq\r(3)【解析】由三视图可知该几何体为一个平行六面体(如图)，其底面是边长为3的正方形，高为eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以该几何体的体积为9eq\r(3)，故选B.【答案】B空间几何体的表面积、体积1.几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用．2．常见的计算方法(1)公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式求解．(2)割补法：割补法的思想是：通过分割或补形，将原几何体分割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．(3)等体积变换法：等积变换法的思想是：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原几何体的体积．已知三棱锥A－BCD的表面积为S，其内有半径为r的内切球O(球O与三棱锥A－BCD的每个面都相切，即球心O到A－BCD每个面的距离都为r)，求三棱锥A－BCD的体积．【思路点拨】分析三棱锥A－BCD的体积与以O为顶点，各个面为底面的4个小棱锥体积间的关系．【规范解答】连接AO，BO，CO，DO，则三棱锥A－BCD被分割成为四个小三棱锥：O－ABC，O－ABD，O－ACD，O－BCD，并且这四个小三棱锥的顶点都为O，高都为r，底面分别为△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.故有VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△ABD·r＋eq\f(1,3)S△ACD·r＋eq\f(1,3)S△BCD·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)r＝eq\f(1,3)Sr.某三棱锥的三视图如图1－3所示，该三棱锥的表面积是()图1－3A．28＋6eq\r(5) B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5) D．60＋12eq\r(5)【解析】由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图(1)所示．图(1)图(2)S△ACD＝eq\f(1,2)×AC×DM＝eq\f(1,2)×5×4＝△ABC＝eq\f(1,2)×AC×BC＝eq\f(1,2)×5×4＝10.在△CMB中，∠C＝90°，∴|BM|＝5.∵DM⊥面ABC，∴∠DMB＝90°，∴|DB|＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，∴△BCD为直角三角形，∠DCB＝90°，∴S△BCD＝eq\f(1,2)×5×4＝10.在△ABD中，如图(2)，S△ABD＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×6＝6eq\r(5)，∴S表＝10＋10＋10＋6eq\r(5)＝30＋6eq\r(5).故选B.【答案】B思想方法1.转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或者说未知解的问题)转化归结为已有知识范围内可解的问题的一种数学意识．立体几何中的有关问题，一般转化为平面问题来解决，其途径主要有以下两种：一是多面体常转化到它的底面、侧面、对角面内，而旋转体主要是利用轴截面；二是将多面体的表面或旋转体的侧面展开．如图1－4，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，并且a＞b＞c＞0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长．图1－4【思路点拨】eq\x(长方体表面展开)→eq\x(平面内两点间的距离)【规范解答】将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图．三个图形(1)(2)(3)中AC1的长分别为：eq\r(a＋b2＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2ab)，eq\r(a2＋b＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2bc)，eq\r(a＋c2＋b2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2ac).∵a＞b＞c＞0.∴ab＞ac＞bc＞0.故最短线路的长为eq\r(a2＋b2＋c2＋2bc).圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为()A．10cm\f(5,2)eq\r(π2＋4)cmC．5eq\r(2)cmD．5eq\r(π2＋1)cm【解析】如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长．∵AB＝BC＝5，∴A′B＝eq\x\to(AB)＝eq\f(1,2)×2π×eq\f(5,2)＝eq\f(5,2)π.∴A′C＝eq\r(\a\vs4\al(A′B2＋BC2))＝eq\r(\f(25,4)π2＋25)＝5eq\r(\f(π2,4)＋1)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4).【答案】B2．函数与方程思想函数与方程思想是指将抽象的数学问题转化为函数的性质或解方程(组)等问题解决，在立体几何中求几何体的高、棱长、侧面积、体积等往往利用这一思想方法．一个圆锥底面半径为R，高为eq\r(3)R，求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．【思路点拨】画出该几何体组合体的轴截面，利用相似三角形的知识建立等量关系，借助函数的知识求其最值．【规范解答】如图所示，△SAB为圆锥的一个轴截面，且该轴截面经过正四棱柱的对角面，DF为棱柱的底面对角线．设正四棱柱的高为h，底面正方形边长为a，则DE＝eq\f(\r(2),2)a.∵△SDE∽△SAO，∴eq\f(DE,AO)＝eq\f(SE,SO).∵AO＝R，SO＝eq\r(3)R，∴eq\f(\f(\r(2),2)a,R)＝eq\f(\r(3)R－h,\r(3)R)，∴h＝eq\r(3)R－eq\f(\r(6),2)a.∴S表＝2a2＋4ah＝2a2＋4aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)R－\f(\r(6),2)a)).整理得S表＝(2－2eq\r(6))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(3)R,\r(6)－1)))2＋eq\f(6R2,\r(6)－1)(0<a<eq\r(2)R)．∵2－2eq\r(6)<0，eq\f(\r(3)R,\r(6)－1)<eq\r(2)R，∴当a＝eq\f(\r(3)R,\r(6)－1)时，S表有最大值，为eq\f(6R2,\r(6)－1)，即圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值为eq\f(6R2,\r(6)－1)，即eq\f(6\r(6)＋1,5)R2.将一个底面圆的直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图1－5)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A.图1－5(1)求面积A以x为自变量的函数式；(2)求出截得棱柱的体积的最大值．【解】(1)横截面如图，由题意得A＝x·eq\r(4－x2)(0<x<2)．(2)棱柱的体积V＝A·h＝x·eq\r(4－x2)＝eq\r(－x2－22＋4)，由(1)知0<x<2，所以，当x＝eq\r(2)时，V取最大值，其值为2.3．数形结合思想数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的认识，实现数与形的转化，使问题化抽象为具体，化难为易．求函数f(x)＝eq\r(x2＋4)＋eq\r(x2－10x＋34)的最小值．【思路点拨】结合函数解析式的结构特征，将代数问题转化为几何问题．【规范解答】依题意：f(x)＝eq\r(x2＋22)＋eq\r(5－x2＋32)，构造长方体ABCD－A1B1C1D1，其三条棱长分别为AB＝2，BC＝3，BB1＝5(如图(1))，设BE＝x.(1)(2)则AE＝eq\r(x2＋22)，EC1＝eq\r(5－x2＋32)，所以f(x)＝AE＋EC1.这样，原题求函数f(x)的最小值，就转化为在长方体AC1的棱BB1上找一点E，使折线AEC1的长度最短．将长方体侧面展开(如图(2))．连接AC1，显然AE＋EC1≥AC1且AC1＝eq\r(2＋32＋52)＝5eq\r(2)，即f(x)min＝5eq\r(2).即函数f(x)＝eq\r(x2＋4)＋eq\r(x2－10x＋34)的最小值是5eq\r(2).若半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体的表面积之比为________．【解析】设半球的半径为R，内接正方体的棱长为a，过正方体的对角面作出它的截面图，如图．OE＝OF＝OD＝R，BC＝AD＝a，AB＝CD＝eq\r(2)a，所以OA＝e